6.2.2.3 Модели с одним уравнением

Модели с одним уравнением пытаются улучшить алгебраические модели путем использования вихревой вязкости, которая зависит не только от локальных свойств течения, но и от свойств потока в том месте, откуда он пришел, т.е. от предыстории течения. В большинстве подходов отдельно определяются VиL, а по их значениям находится_т/. Почти без исключенийVидентифицируется сk^1/2, гдеk– кинетическая энергия единицы массы жидкости (удельная кинетическая энергия), связанная с турбулентными пульсациями скорости около среднего по времени значения. Уравнение переноса дляkможет быть получено из уравнений Навье-Стокса и это единственное дифференциальное уравнение в модели с одним уравнением. Модель замыкается (т.е. доводится до формы, содержащей только вычисляемые переменные) путем введения простых допущений относительно зависимостиVот нелокальных эффектов. Тогда можно вычислить с достаточной точностьюLпри помощи алгебраического соотношения (например, в области, прилегающей к стенке), в то время как уравнение дляkрешается для определения масштаба скоростиV.

Spalart и Allmaras [1992] предложили альтернативную формулировку модели с одним уравнением, в которой определяется турбулентная вязкость непосредственно из единственного уравнения переноса для _т, и эта модель очень хорошо себя показала для практически значимых турбулентных течений в аэрокосмической отрасли, особенно в США.

6.2.2.4 Модели с двумя уравнениями

В общем случае обычно решают два отдельных уравнения переноса для определения VиL, и это называют моделью с двумя уравнениями. В комбинации с уравнением переноса дляkрешают дополнительное уравнение переноса, которое дает значение величины, определяющей масштаб длиныL. Этот класс моделей (с двумя дифференциальными уравнениями) наиболее широко используется в промышленных приложениях, так как это простейший способ замыкания уравнений, который не требует ограничений на режим течения или геометрию.

Наиболее популярная версия модели с двумя уравнениями – это k-модель, где– коэффициент диссипации турбулентной энергии из-за воздействия сил вязкости на турбулентные вихри наименьшего масштаба (Launder и Spalding [1974]). Решается модельное уравнение переноса для, затемLопределяется какC_·k^3/2/, гдеC_– константа. Второй тип широко используемых моделей с двумя уравнениями –k-модель, где– частота больших вихрей (Wilcox [1998]). В ней решается модельное уравнение для, аLопределяется какk^1/2/. /В оригинале уравнения для второго параметра не спроста названы модельными! Если уравнение для k можно вывести из уравнений Навье-Стокса, то уравнение для  или для  просто постулируется/

k-модель очень хорошо работает для погранслоя в непосредственной близости к стенке, особенно при наличии сильного неблагоприятного градиента давления. Однако, она очень чувствительна к величинев свободном потоке и если не проявить должного внимания к заданию этой величины, то можно получить неправильный результат и для погранслоя и для свободного сдвигового течения.k-модель менее чувствительна к параметрам свободного потока, но она в общем случае не адекватна при наличии неблагоприятного градиента давления и Menter [1993, 1994a, 1994b, 1996] предложил модель, которая обладает преимуществамиk-модели вблизи стенки и постепенно переходит вk-модель вдали от стенки. Было показано, что эта модель позволяет избежать проблемы чувствительности к параметрам свободного потока без ухудшения характеристикk-модели около стенки.

Характеристики моделей с двумя уравнениями ухудшаются, когда турбулентность не является равновесной. Это случается когда отношение количества генерированной турбулентной энергии к количеству энергии рассеянной на малых масштабах (т.е. ) значительно отклоняется от «равновесного значения» или, что то же самое, когда безразмерная скорость деформации (т.е. абсолютная величина времени скорости деформации умноженная k/) становится слишком большой.

Делались различные попытки модификации моделей турбулентности с двумя уравнениями для учета неравновесных эффектов. Например, так называемая SST(shear stress transport – перенос напряжений сдвига) вариация модели Ментера [1993, 1996] – лучшая по характеристикам для неравновесных пограничных слоев, например, вблизи точки отрыва.