Методические указания СТРОЙМЕХ

Рис. 7. К определению усилий М и Q по линиям влияния при приложении сосредоточенной силы или момента в точке разрыва линии влияния

Сечение расположено слева от точки k (см. рис. 7, б). При этом вершина линии влияния изгибающего момента расположена под сечением, т.е. слева от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается правый участок линии влияния с тангенсом угла накло-

на tg 1прав

1, 2 / 2 0,6.

Изгибающий момент слева от точки k, согласно формуле (2), равен

M лев	F	y	F	y		F	y	q ω	M	tgφправ
к	1	1	2	2		3	3	1		1
20 1,2		6 0	9 (		0,133)		5 ( 1,2)		8 (	0,6) 24 кН · м.

Сечение расположено справа от точки k (см. рис. 7, в). Верши-

на линии влияния расположена справа от точки k. Под точкой приложения момента М оказывается левый участок линии влияния с

тангенсом угла наклона	tg φлев	1,2 / 3 0,4 .
	1

Изгибающий момент справа от точки k, согласно формуле (2), равен

M прав	F	y	F	y	F	y	q ω	M tgφлев
к	1	1	2	2	3	3	1	1

31

20 1,2	6 0		9 (		0,133) 5 ( 1,2) 8 0,4		16 кН · м.
б) Поперечная сила Qk						в сечении k (см. рис. 5, в, ж).
Вычисляем:
– площадь		участка			линии влияния Qk		под распределённой
нагрузкой: ω1		(0, 2		6) / 2		0,6 м;
– тангенс угла наклона участка Еk линии влияния:
– tg φ	(0,6 / 3)				0, 2 м-1;
1
– ординату линии влияния:
под силой F2:			y2	0;
под силой F3:			y3	0, 067.

б) В сечении k поперечная сила не определена: на линии влияния Qk в этой точке имеется скачок на единицу. На эпюре Q в точке приложения сосредоточенной силы F1 имеется скачок на величину силы F1 (см. рис. 3, б).

Определяем значения силы Q бесконечно близко слева и справа от сечения k. Схема участка EG линии влияния Qk показана на рис. 7, г–е.

Сечение расположено слева от точки k (см. рис. 7, д). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен под сечением, т.е.

слева от точки k. Под силой F оказывается ордината	управ	0, 4 .
1	1
Поперечная сила слева от точки k (см. рис. 7, д) равна

Qлев	F	yправ	F	y	F	y	q ω M	tgφ
к	1	1	2	2	3	3	1	1
20 0,4		6 0	9 0,067		5 0,6		8( 0,2)	12 кН.

Сечение расположено справа от точки k (см. рис. 7, г). Скачок на линии влияния поперечной силы расположен справа от точки k.

Под силой F оказывается ордината	улев	0,6.
1	1
Поперечная сила справа от точки k (см. рис. 7, е) равна

Qправ	F	yлев		F	y	F	y	q ω	M tgφ
к	1	1		2	2	3	3	1	1
20 (	0,6)		6 0		9 0,067		5 0,6 8(		0,2) 8 кН.

32

2.6.5. Сравним результаты, полученные по линиям влияния, со значениями, найденными при построении эпюр (см. табл. 2). Расхождения результатов расчётов не превышают 0,17%. Допускаются расхождения не более 0,5–1%.

			Таблица 2
Наименование	Значение, полученное	Значение, полученное	Расхождение
усилия	по линиям влияния	при построении эпюр
		(см. рис. 2)
RE	24 кН	24 кН	0
RA	-5,84 кН	-5,83 кН	0,17%
Мm	40 кН·м	40 кН · м	0
Qm	-20,84	-20,83 кН	0,05%
	24 кН · м	24 кН · м	0
	16 кН · м	16 кН · м	0
	12 кН	12 кН	0
	-8 кН	-8 кН	0

2.7. Определение прогиба n и угла поворота n сечения n

2.7.1. Для определения перемещений воспользуемся методом Мо-

ра.

Вычисление интеграла Мора производим с помощью формулы Симпсона в следующем порядке:

1) строим эпюру изгибающих моментов от действия заданной нагрузки – эп. M F (в рассматриваемом примере: эп. М на рис. 3, в); 2) выбираем вспомогательные единичные состояния. Для этого освобождаем сооружение от заданной нагрузки и в сечении n по направлению искомого перемещения прикладываем единичное воздействие: при определении линейного перемещения – сосредоточенную силу F1 1 (рис. 3, г); при определении угла поворота –

единичный момент М 2 1 (рис. 3, е);

33

Рис. 8. К правилу Симпсона вычисления интеграла Мора

3) строим эпюру изгибающих моментов от единичного воздействия: эп. M 1 (см. рис. 3, д); эп. M 2 (см. рис. 3, ж);

4) ось балки разбивается на n участков таким образом, чтобы в пределах каждого участка эпюры Mi и M F не имели переломов и скачков;

5) на каждом участке вычисляем ординаты обеих эпюр: в

начале участка ( Miн , MFн ); в

средине участка ( Mic , MFc ); в

конце участка ( Miк , MFк ); 6) вычисляем перемещение по формуле Симпсона (рис. 8):

n

l j

n

l j

Mi

M F

iF

dх

M

iн M Fн

4 Miс M Fс

Miк M Fк .

j 1 6 EI j

j

1 0 EI j

Используется следующее правило знаков: произведение ординат положительно, если обе ординаты лежат по одну сторону от оси.

2.7.2. Рассмотрим определение вертикального перемещения (прогиба) сечения n.

а) Строим единичную эпюру без использования «поэтажной» схемы (второй способ расчёта многопролётных шарнирно-консоль- ных балок, см. п. 2.3). Для определения опорных реакций помимо уравнений статики составляем дополнительные уравнения, выражающие равенство нулю изгибающего момента в шарнирах.

Определяем реакции RE						и RG,		рассматривая силы, действующие
справа от шарниров С и D:
M прав	R	1	R	6 0			R		R 6	;
D	Е		G					Е	G
M прав								0.
	R	7	R	12	F 2
C	Е		G

Подставляя значение RЕ во второе уравнение, получаем:

34

RG	6 7	RG	12 F 2			RG ( 42 12) 1 2 0
RG	2 / 30		0,067;
RЕ	RG	6	0,067 6			0, 4

Реакции в опорах, вызванные действием безразмерной единичной силы, будут также безразмерными.

Реакцию RB определяем из условия равновесия многопролётной балки в целом:

M A RB 3 RЕ 12 RG 17 F 7 0
RB	F 7 RЕ 12 RG 17 1 7 0,4 12							( 0,067) 17	1,111.
	3							3
Для определения реакции RA составляем уравнение моментов
левых сил относительно шарнира С:

M лев		R 5	R	2	0
C		А	В
RА	RВ	2 / 5	1,111 2 / 5					0, 444 .
Для проверки составляем уравнение
FY	RA	RB	RЕ	RG	F			0, 444 1,111 0, 4 0,067 1 0 .

Следовательно, реакции опор определены верно.

б) Для построения единичной эпюры изгибающих моментов вычисляем значения изгибающих моментов в сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных активных и реактивных сил:

MA = 0;

MВ = RA · 3 = – 0,444 · 3 = – 1,33 м;

Mп = RA · 7 + RВ · 4 = – 0,444 · 3 + 1,111 · 4 = 1,33 м;

MG = 0;

ME = RG · 5 = – 0,067 · 5 = – 0,34 м.

При построении эпюр учитываем, что изгибающие моменты в шарнирах C и D равны нулю.

в) Прогиб сечения n вычисляется следующим образом:

35

			M1				M	dх		3		(0		4	0,665 14,37							1,33 40)
n					EI						6EI
2		(1,33			40				4	0,665 17,5					0)		2			(0		4		0,665			6,5		1,33	8)
6EJ																		6EI
4		(1,33 8					4		0,665 14					0)	1				(0	4		0,17			6	0,34 12)
6EI																6EI
3		(0,34 12							4	0, 238			6	0,136			24)			2			(0,136 16					4	0,068		8	0)
6EI																					6EI

117,65 .

EI

Результат положительный, следовательно, перемещение совпадает с направлением силы F1 1.

2.7.3. Для определения угла поворота сечения n выбираем новое единичное состояние – снимаем с балки нагрузку и прикладываем единичный момент M 2 1 (см. рис. 3, е). Строим единичную эпюру M 2 (см. рис. 3, ж), предварительно вычисляя реакции опор (аналогично п. 2.6.2, а или п. 2.3 с использованием «поэтажной» схемы балки).

Тогда, согласно формуле Симпсона, угол поворота сечения n равен

φn				M 2				M	dх		3		(0		4	0,21 14,37									0,418 40)
						EI						6EI
2			(0,418					40		4	0,21 17,5					0)		2					(0		4	0,165		6,5	0,33 8)
	6EJ																				6EI
4			(0,66				8		4	0,33 14				0)		1			(0			4			0,085		6	0,17 12)
	6EI																6EI
	3		(0,17 12						4	0,119			6		0,068			24)
	6EI
2			(0,068 16						4		0,034			8	0)					12,61				.
	6EI																				EI

36

Результат отрицательный, следовательно, направление поворота сечения n противоположно направлению единичного момента M 2 . Сечение n поворачивается против часовой стрелки.

2.8. Изображение характера изогнутой оси балки

Схема изогнутой оси балки строится по эпюре изгибающих моментов. Для рассматриваемой шарнирно-консольной балки схема изогнутой оси показана на рис. 9, в.

При схематическом изображении изогнутой оси балки следует руководствоваться следующими правилами:

а) изогнутая ось состоит из участков, границами которых являются нулевые точки эпюры изгибающих моментом М;

б) каждый участок обращён выпуклостью в сторону отложенных на эпюре М ординат (в сторону растянутых волокон);

в) точка, расположенная на границе двух смежных участков, является точкой перегиба кривой (за исключением мест расположения шарниров, где изогнутая ось имеет изломы, а не точки перегиба);

г) изогнутая ось не должна отрываться от опор, т.е. должна быть связана с ними (на рис. 9, в линейные перемещения по направлению шарнирно-подвижных опор В, E, G, а также линейные перемещения в шарнирно-неподвижной опоре А равны нулю).

37

Рис. 9. Построение изображения изогнутой оси балки

3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Перечислите внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях плоских стержневых систем.

2.Охарактеризуйте основные типы опор, применяемых для крепления многопролётных шарнирно-консольных балок, и возникающие в них реакции.

3.Перечислите уравнения, которые могут быть составлены для определения опорных реакций многопролётных шарнирно-консольных балок. Сформулируйте критерий статической определимости многопролётных шарнирноконсольных балок.

4.Сформулируйте принципы построения геометрически неизменяемых статически определимых многопролётных шарнирно-консольных балок.

5.Сформулируйте принцип построения «поэтажной» схемы многопролётной статически определимой шарнирно-консольной балки.

6.Как передаются усилия в «поэтажных» схемах статически определимых многопролётных балок?

7.Как можно определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий в статически определимой шарнирно-консольной балке без построения «поэтажной» схемы?

8.Дайте определение понятия «линия влияния».

38

9.Приведите порядок построения линий влияния опорных реакций в многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балках.

10.Приведите порядок построения линий влияния внутренних усилий в сечениях многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балок.

11.Поясните физический смысл ординат линий влияния поперечной силы

иизгибающего момента (на примере линий влияния, построенных в данном РГЗ).

12.Поясните физический смысл ординаты линии влияния опорной реакции (на примере линии влияния, построенной в данном РГЗ).

13.Как определяются внутренние усилия в данном сечении (или опоре) от неподвижной нагрузки по линиям влияния?

14.Приведите формулу, по которой определяются перемещения в балках при действии нагрузки.

15.Какие способы используются для вычисления интеграла Мора при определении перемещений в балках и рамах?

16.Каков порядок определения перемещений с использованием интеграла

Мора?

17.Какое единичное состояние необходимо для определения линейного перемещения заданного сечения балки в заданном направлении?

18.Какое единичное состояние необходимо для определения углового перемещения заданного сечения балки?

19.Какое единичное состояние необходимо для определения угла взаимного поворота примыкающих к шарниру сечений?

20.Поясните принцип построения изогнутой оси балки по эпюре изгибающих моментов (на примере данного РГЗ).

Список рекомендуемой литературы

1.Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. I. Статически определимые системы: Учеб. пособие. – М.: Изд-во АСВ, 2000.

2.ГОСТ 2.105-95 ЕСКД. Общие требования к текстовым документам. – М.: Изд-во стандартов, 1996.

3.ГОСТ Р 21.1101-2009 СПДС. Основные требования к проектной и рабочей документации. – М.: Стандартинформ, 2010.

4.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учеб. – СПб.:

Лань, 2008.

5.Мухин Н.В., Першин А.Н., Шишман Б.А. Статика сооружения. – М.:

Высш. шк., 1980.

39

6.Руководство к решению задач по курсу строительной механики (статика стержневых систем) / Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев, М.Г. Ванюшенков и др.; Под ред. Г.К. Клейна. – М.: Высш. шк., 1980.

7.Строительная механика. Ч. II. Примеры выполнения контрольных работ для студентов строительных специальностей заочной и дистанционной форм обучения / Под общ. ред. А. Д. Ловцова. – Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2008.

40