Методические указания СТРОЙМЕХ
.pdfПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
Правила определения внутренних усилий в балке
В общем случае в элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. На рис. А.1 показаны положительные значения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении стержня.
При нагрузках, направленных по нормали к оси балки, имеем плоский прямой изгиб, когда в поперечном в сечении балки возникают два внутренних усилия – изгибающий момент и поперечная сила (соответствует условию рассматриваемой задачи).
При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в ее поперечных сечениях возникают, кроме поперечных сил и изгибающих моментов, также и продольные силы N.
Рис. А.1
Из уравнений равновесия для отсеченных частей по методу сечений следуют правила определения внутренних усилий.
Продольная сила N – это сумма проекций на ось X всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:
N |
FХ |
X . |
|
отс.ч |
отс.ч |
Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его.
При построении эпюр: положительные значения N, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре N обязательно указывается знак.
Поперечная (перерезывающая) сила Q – это сумма проекций на попереч-
41
ную ось Y сечения всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:
Q |
FY |
Y . |
|
отс.ч |
отс.ч |
Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки.
При построении эпюр положительные значения Q, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре Q обязательно указывается знак.
Изгибающий момент – это сумма моментов всех внешних усилий, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, взятых относительно центра массы сечения, с учетом правила знаков:
M M .
отс.ч
Изгибающий момент считается положительным, если он приводит к растяжению нижних волокон (выпуклостью вниз). На рис. А.2, показаны направления положительных моментов (с левого торца балки – по часовой стрелке, с правого – против часовой стрелки).
Рис. А.2
Эпюра М строится со стороны растянутых волокон, причем в соответствии с введенным правилом знаков, изгибающий момент, имеющий положительное значение, откладывается снизу эпюры (на нижних волокнах).
В инженерных расчетах знак на эпюре изгибающего момента обычно не ставят, эпюру М строят со стороны растянутого волокна, что считается достаточным для последующих расчетов. Это связано с тем, что бетон плохо сопротивляется растяжению, поэтому эпюра М указывает ту зону (те волокна), где имеет место растяжение и где следует закладывать стальную арматуру, которая и будет воспринимать растягивающие напряжения.
42
Приложение Б
Проверка правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
Эпюры внутренних усилий M и Q должны удовлетворять закономерностям, известным из курса сопротивления материалов. Поясним эти закономерности на примере эпюр M и Q для многопролётной балки, рассмотренной
впримере расчёта (см. рис. 3, а–в).
1.Эпюра изгибающих моментов:
-в сечениях, где действуют внешние сосредоточенные моменты, наблюдаются скачки эпюры М на величину внешнего момента, направленные в сторону действия М (см. рис. 3, в, сечение k);
-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют изломы эпюры М в направлении действия этих сил (см. рис. 3, в, сечения В, С, n, E, k);
-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра М линейная (см. рис. 3, в, участки DE, Ek, kG);
-на участках с распределенной нагрузкой q эпюра М криволинейная (параболическая) с выпуклостью в ту сторону, в которую направлена эта нагрузка (см. рис, 3, в, участки АВ, ВС, Сn, nD).
2. Эпюра поперечных сил:
-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют скачки эпюры на их величину в направлении действия сил (при перемещении вдоль базовой линии эпюры слева направо) (см. рис. 3,
б, сечения В, С, n, E, k);
-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра Q сохраняет постоянное значение и представляет собой прямую, параллельную нулевой линии (см. рис. 3, б, участки DE, Ek, kG);
-на участках с равномерно распределенными нагрузками эпюра Q наклонная, при этом наклон возрастает с увеличением интенсивности нагрузки (см. рис. 3, в, участки АВ, ВС, Сn, nD);
3. Между эпюрами М и Q существует взаимосвязь, определяемая теоремой Д.И. Журавского Q = dM /dх, поэтому:
- в сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающие моменты име-
ют экстремальные значения, т.е. при Q = 0: М = М max, min. В частности, на рис. 3, б, в показаны экстремумы эпюры M на участке CD. Экстремумы на эпюре
43
М наблюдаются также в точках B, E, где эпюра Q скачкообразно переходит через нулевую линию;
- при положительном значении Q эпюра М возрастает (нисходящие ординаты на эпюре М при ее построении на растянутых волокнах и движении слева направо), при отрицательном – уменьшается (восходящие ординаты на эпюре М).
4. Кроме качественной проверки эпюр М и Q можно провести их количественную проверку.
Так как Q = dM /dх = tgφМ, поперечная сила в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона, составляемого касательной к эпюре M с осью балки (угла φ). При построении эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах поперечная сила положительна, если нулевую линию эпюры следует вращать до совмещения с касательной к эпюре М по часовой стрелке на угол не более 90°.
Тогда эпюры поперечных сил можно построить по эпюрам моментов на основе зависимости Журавского в виде:
Q tgφМ |
МК МН |
|
l |
||
|
– для участков, где эпюра М имеет линейное очертание (отсутствует q), значе-
ние Q = const;
QН |
tgφМ |
МК МН |
|
ql |
; |
QК |
tgφМ |
МК МН |
|
ql |
|
l |
2 |
l |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
– для участков, где эпюра М имеет параболическое очертание (действует q), эпюра Q линейная со значениями ординат по краям.
Здесь МН и МК – изгибающие моменты соответственно в начале МН и в конце МК участка (положительные, если растягивают нижние (правые для вертикальных стержней) волокна); l – длина участка; QН и QК – поперечные силы соответственно в начале и в конце участка (берутся со своим знаком); q – действующая равномерно распределенная нагрузка (q > 0, если направлена вниз или слева направо для вертикальных стержней).
Для балки, указанной на рис. 3, а (эпюра изгибающих моментов – на рис. 3, в), имеем:
QА |
tgφАВ |
|
M В M А |
|
q lАВ |
|
40 0 5 3 |
|
|
5,83 кН; |
|||||||||
|
|
lАВ |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
слева |
|
|
|
M В M А |
|
|
q lАВ |
40 |
0 5 |
3 |
|
||||||||
QВ |
tg |
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,83 кН; |
|
lАВ |
2 |
3 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
44
QВсправа
QСслева
QСсправа
Qnслева
Qnсправа
QDслева
QDE
QEk
QEk
tg |
|
|
|
|
|
MС |
M В |
|
|
|
|
|
|
q lВС |
|
0 |
( |
|
|
40) |
|
|
|
|
|
5 2 |
25 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||
ВС |
|
|
|
|
lВС |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
tg |
|
|
|
MС |
M В |
|
|
|
|
q lВС |
|
|
0 |
( 40) |
|
|
|
|
5 2 |
|
15 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ВС |
|
|
|
|
lВС |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
tg |
|
|
|
|
Mn |
MC |
|
|
|
|
|
q lСn |
|
|
8 0 5 2 |
|
|
|
|
9 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сn |
|
|
|
|
lСn |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
tg |
|
|
|
|
|
|
Mn |
MC |
|
|
|
|
|
|
q lСn |
|
|
8 0 5 2 |
|
|
|
1 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Сn |
|
|
|
|
lСn |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
tg |
|
|
|
|
|
M D |
Mn |
|
|
|
|
|
|
q lnD |
|
|
0 8 5 4 |
|
|
|
8 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
nD |
|
|
|
|
lnD |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
tg |
|
|
|
|
|
|
M D |
|
Mn |
|
|
|
|
|
|
|
q lnD |
|
|
0 8 5 4 |
|
|
12 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
nD |
|
|
|
|
lnD |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
tg |
|
|
|
M E |
M D |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
12 кН; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
DE |
|
|
|
|
lED |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tg |
|
|
Mk M E 24 |
( 12) |
|
|
|
|
|
|
12 кН; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ek |
|
|
|
|
|
|
lEk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tg |
|
|
|
MG |
Mk |
0 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 кН . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
kG |
|
|
|
|
lkG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения поперечных сил совпадают со значениями, указанными на эпюре Q (см. рис. 3, б) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.
5. Изменение величины изгибающего момента на заданном участке элемента системы между двумя его сечениями равно площади эпюры поперечных сил, соответствующей этому участку (при условии, что в пределах его не приложены внешние моменты).
Условие является следствием дифференциальной зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом. Так как Q = dM /dх, то dM = Q∙dx = dAQ. Здесь dAQ – площадь элементарной полоски шириной dx эпюры Q. Интегрируя полученное выражение в пределах участка IK, получаем, что для любого участка IK можно записать: МК – МI = AQIK, откуда
МK = МI + AQIK.
Здесь индексы I и K указывают на те сечения, в которых действуют моменты (I – слева, K – справа), а AQIK – площадь эпюры поперечных сил на
45
участке элемента между сечениями I и K (значения ординат Q берутся с эпюры со своим знаком).
Для рассматриваемого примера (см. рис. 3, б, в) получаем:
M A |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
AAB |
0 |
5,83 |
20,83 |
3 |
40 кН м; |
||||||||
B |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M |
|
|
ABC |
|
40 |
25 |
|
15 |
2 |
40 |
40 0 кН м; |
|||||
C |
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
|
M |
|
|
ACn |
0 |
|
9 1 |
2 8 кН м; |
|
||||||||
n |
C |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Q |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M |
|
M |
|
AnD |
8 |
|
8 12 |
4 8 8 0 кН м; |
||||||||||
D |
n |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
E |
M |
D |
|
ADE |
0 ( 12 1) |
|
12 кН м; |
||||||||||
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
слева |
|
|
M |
Е |
AEk |
12 |
(12 3) |
24 кН м; |
|||||||||
|
k |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
G |
M |
справа AkG |
16 |
( |
|
8 2) |
0 кН м . |
||||||||||
|
|
|
k |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения изгибающих моментов совпадают со значениями, указанными на эпюре M (см. рис. 3, в) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.
46
Приложение В
Линии влияния в балках с жёсткой заделкой
Рис. В.1
47
Содержание |
|
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................. |
3 |
1. ПОРЯДОК ПОЛУЧЕНИЯ ЗАДАНИЯ И ТРЕБОВАНИЯ К ЕГО |
|
ОФОРМЛЕНИЮ |
|
....................................................................................................................... |
3 |
1.1. Исходные данные для выполнения работы ...................................... |
3 |
1.2. Требования к оформлению расчетно-графического задания ......... |
4 |
1.3. Методические рекомендации для студентов заочной формы |
|
обучения ............................................................................................................ |
5 |
1.4. Состав задания ..................................................................................... |
6 |
2. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ ............................................... |
9 |
2.1. Задание ................................................................................................. |
9 |
2.2. Проверка статической определимости и геометрической |
|
неизменяемости системы ........................................................................... |
9 |
2.3. Способы расчета многопролетных шарнирно-консольных |
|
балок ............................................................................................................ |
10 |
2.4. Построение эпюр M и Q ..................................................................... |
11 |
2.5. Построение линий влияния ................................................................ |
18 |
2.6. Определение усилий от заданной нагрузки по линиям |
|
влияния ........................................................................................................ |
27 |
2.7. Определение прогиба n и угла поворота n сечения n .............. |
33 |
2.8. Изображение характера изогнутой оси балки .................................. |
37 |
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ . .............................................................. |
32 |
Список рекомендуемой литературы ......................................................... |
47 |
ПРИЛОЖЕНИЯ .......................................................................................... |
40 |
Приложение А................................................................................................ |
|
Приложение Б ................................................................................................ |
|
Приложение В................................................................................................ |
|
48
Ведущий редактор: Н.А. Бачурина Ведущий технический редактор: Т.С. Камыгина
Лицензия А № 165724 от 11.04.06 г.
Подписано к печати |
.2015. Тир. 4. |
Уч.-изд. л. 2,3. Формат 60 |
84 1/16. Усл. п. л. 2,79. |
Гарнитура Таймс. Зак. |
|
49
ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет» 162600 г. Череповец, пр. Луначарского, 5
50