- •Лекция № 1 Введение Аналитическая геометрия
- •Лекция №1.
- •§ 4. Теорема Шаля для отрезков. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат. Расстояние между двумя точками, лежащими на оси координат
- •§ 5. Деление направленного отрезка в данном отношении
- •§ 6. Преобразование системы координат на прямой
- •§ 7. Векторы
§ 4. Теорема Шаля для отрезков. Координата направленного отрезка, заданного двумя точками декартовой оси координат. Расстояние между двумя точками, лежащими на оси координат
Теорема (1) Шаля. (Для отрезков). Если А, В, С три любые точки оси, то . (Число число числу ).
Доказательство. (1). Предположим, что точки А, В, С попарно различны. Если точки В лежит между точками А и С, то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС:
;
но так как в рассматриваемом случае направленные отрезки , и имеют одинаковое направление, то числа , и имеют один и тот же знак, а потому
.
__________________________________________
(2). Если точка С лежит между А и В, то
А
В
__________________________________________
(3). Если точка А лежит между точками В и С, то , т.е.
; но ,
В А С имеем .
__________________________________________
(4). Если точкиА и В совпадают, то
(5). Если точки В и С совпадают, то .
_________________________________________
(6). Наконец если точкиА и С
совпадают, то
.
Теорема 2. Координата направленного отрезка заданного двумя точками и оси координат, вычисляются по формуле
Доказательство. На основании теоремы Шаля , откуда
.
Теорема 3. Расстояние d между точками и оси координат вычисляется по формуле
Эта теорема является следствием предыдущей.
§ 5. Деление направленного отрезка в данном отношении
Пусть на одной и той же прямой лежат два направленных отрезка и , причем невырожденный направленный отрезок. Тогда отношение в случае, если направленный отрезок также невырожденный, называется число , абсолютная величина которого равна и которое положительно, если и имеют одинаковое направление, и отрицательно в противном случае. Если отрезок вырожденный, а отрезок невырожденный, то будем считать, что . Если отрезок вырожденный, то отношение не определяется.
Если отношение к равно , то пишут .
Пусть на некоторой прямой задан невырожденный направленный отрезок и путь С – какая-нибудь точка этой прямой, отличная от точки В.
Отношением, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , называется число , определяемое соотношением .
Из этого определения следует, что , если точка С лежит между
А В точками А и В, и в противном случае.
При этом , если точка А лежит между
точками В и С.
B C
И , если точка В лежит между точками А и С.
А С
Заметим, что отношение, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , никогда не равно -1.
Теорема 4. Если на оси координат заданы две различные точки и и, если точка делит направленный отрезок в отношении , то
; и
Доказательство. Из данного определения отношения , в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , а также из определения координаты направленного отрезка, лежащего на оси, следует
значит на основании теоремы 2 § 4 (то ,что координата направленного отрезка заданного двумя точками и оси координат, вычисляются по формуле ), имеем: , откуда .
Следствие. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов: . В самом деле: для середины отрезка .
Определение. Простым отношением (АВС) трех точек А, В, С лежащих на одной прямой и взятых в определенном порядке (А, В, С) называется число , равное
,
причем перед дробью ставится знак «+», если точка С лежит между А и В, и знак «-» в противном случае.
Определение. Сложным, или ангармоническим, отношением четырех точек А, В, С, D, лежащих на одной прямой (точки А и В различны, С и D различны), называется число
Если =-1, то говорят, что точкаС и D гармонически разделены точками А и В.
Теорема 5. Каково бы ни было число , существует и притом только одна точкаС, которая делит невырожденный направленный отрезок в отношении .
Доказательство. Введем на прямой АВ систему координат. Предполагая, что некоторая точка С(х) делит направленный отрезок в отношении, на основании предыдущей теоремы найдем
,
где и- координаты точекА и В. Этим доказана единственность точки С, делящей направленный отрезок в данном отношении , т.е. доказано, что если такая точка существует, то только одна.
Далее, точка С с координатой
делит направленный отрезок в отношении , так как из написанного соотношения следует
Точки С и В различны, так как разность их координат не равна нулю; в самом деле,
(т.к. это но поскольку по условию теоремы отрезок невырожденный).
Поэтому и из последнего равенства следует, что
.