§ 6. Преобразование системы координат на прямой

1. Преобразование системы координат на прямой.

Пусть на прямой линии введены 2 системы координат с одним и тем же положительным направлением и одним и тем же масштабным отрезком. Пусть О – начало координат одной из

них (назовем ее старой), а - начало координат

другой (назовем ее новой). Пусть М – произвольная точка прямой, пусть х – координата точки М в старой системе (будем называть ее старой координатой). Пусть - координата точкиМ в новой системе (назовем ее новой координатой). Пусть - координата нового начала в старой системе.

Тогда по теореме Шаля имеет место равенство , т.е.или, т.е. старая координата точкиМ равна новой координате этой точки, сложенной с координатой нового начала в старой системе.

Такое преобразование системы координат называется переносом системы координат.

Из равенства вытекает, что(это выражение новой координаты через старую).

При переносе системе координат координата направленного отрезка не меняется.

§ 7. Векторы

В настоящем параграфе дается определение вектора в трехмерном евклидовом пространстве (понятия вектора на плоскости и вектора на прямой являются частными случаями этого определения). Предварительно введем ряд дополнительных определений.

Два невырожденных направленных отрезка иназываются коллинеарными, если прямые АВ и СD или параллельны, или совпадают. Вырожденный направленный отрезок считается коллинеарным любому направленному отрезку.

Будем говорить, что два невырожденных направленных отрезка и, лежащих на параллельных прямых, имеют одинаковое направление, если точкиВ и D лежат по одну сторону от прямой АС. Если точки В и D лежат по разные сторон от прямой АС, то направленные отрезки иимеют противоположное направление (см.рис.3). В случае, если невырожденные направленные отрезкиилежат на одной прямойа, они имеют одинаковое направление, если на любой прямой b, параллельной а, найдется невырожденный направленный отрезок , имеющий одинаковое направление с каждым из направленных отрезкови. Если же любой неврожденный отрезок(лежащий на прямойb, параллельной прямой а имеет одинаковое направление с одним из направленных отрезков илии противоположное с другим, то направленные отрезкииимеют противоположное направление. Наконец, условимся считать, что вырожденный направленный отрезок имеет одинаковое направление с любым направленным отрезком.

Если направленные отрезки иколлинеарны, то будем писать; если при этом они имеют одинаковое направление, то, а если противоположное, то.

Два направленных отрезка иназываются равными, если выполнены следующие условия:

1. равны длины отрезков и;

2. направленные отрезки иколлинеарны;

3. направленные отрезки иимеют одинаковое направление.

Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков. Нулевым вектором называется класс всех вырожденных направленных отрезков.

Свободный вектор часто обозначают и изображают любым из направленных отрезковтого класса направленных отрезков, которым является вектор.

Отложить свободный вектор от точкиА – значит построить направленный отрезок входящий в класс направленных отрезков, образующих вектор.

В дальнейшем под словом «вектор» мы будем понимать свободный вектор.

Рассмотрим два произвольных вектора и. Пустьнаправленный отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор, а– направленный отрезок из класса направленных отрезков, образующих вектор.

Векторы иназываются коллинеарными, если коллинеарны направленные отрезкии. Если при этом направленные отрезкииимеют одинаковое направление, то векторыиимеют одинаковое направление, а если направленные отрезкииимеют противоположное направление, то векторыиимеют противоположное направление.

Если векторы иколлинеарны, то будем писать; если при этом они имеют одинаковое направление, то будем писать, а если противоположное, то. Если направленные отрезкииравны, то будем говорить, что векторыиравны, и писать. Длиной или модулем вектораназывается длина отрезкаАВ.

Длина вектора обозначается так: .

Теорема 6. Необходимым и достаточным условием равенства направленных отрезков иявляется совпадение середины отрезкаАD с серединой отрезка ВС.

Доказательство необходимости. Дано . Требуется доказать, что середина отрезкаАD совпадает с серединой отрезка ВС.

Пусть О – середина отрезка АD.

Рассмотрим преобразование S симметрии относительно точки О. При этом преобразовании каждой точке М ставится в соответствие точка , симметричная точкеМ относительно точки О, т.е. такая, что точка О является серединой отрезка . Каждый направленный отрезокпри преобразованииS переходит в направленный отрезок , такой, что(рис. 4).

Пусть– точка, в которую при преобразованииS перейдет точка В. Так как точка А переходит в точку D, то направленный отрезок перейдет в направленный отрезок(т.к. по условию теоремы) и, значит, точкииС совпадают, т.е. точка О является также и серединой отрезка ВС (рис.5).

Доказательство достаточности. Предположим, что середина отрезка AD совпадает с серединой отрезка ВС и докажем, что

.

Пусть О – середина отрезка AD; по условию О является и серединой отрезка ВС. Значит при преобразовании S симметрии относительно точки О точка А перейдет в D (рис.6), а точка В в точку С, поэтому .

Следствие. Если, то.

Понятие вектора и векторное исчисление возникло в связи с рассмотрением в физике и механике Рис. 6.

таких понятий, как скорость, уско-

рение и т.д. К понятию свободного вектора мы пришли из определения равенства направленных отрезков.

Существуют и другие определения равенства двух направленных отрезков: будем говорить, что направленные отрезки иравны, если выполнены следующие условия:

1. длины отрезков АВ и СD равны;

2. отрезки АВ и СD принадлежат одной прямой;

3. направленные отрезки иимеют одинаковое направление.

Тогда класс всех равных между собой направленных отрезков называют скользящим вектором.

Понятие скользящего вектора и векторное исчисление скользящих векторов возникло в механике (статике) при изучении взаимодействия сил, приложенных к твердому телу; (силу «нельзя» переносить параллельно самой себе, но можно переносить вдоль линии ее действия).