1. Виды напряженного состояния

 

Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке. Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. Наибольшее главное напряжение обозначается σ₁, наименьшее – σ₃, а промежуточное – σ₂, поэтому .

Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1).

 

 

Рис.1. Виды напряженного состояния в точке:  а – линейное; б – плоское; в – объемное

 

2. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боковым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 2, а). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z, а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 2, б).

 

 

Рис. 2. Плоское напряженное состояние

 

Согласно закону парности касательных напряжений , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках рав­ны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.

Главные площадки (рис. 3) составляют угол a₀ с исходными площадками, величину которого определяют из выражения

 

 

 

Рис. 3. Главные площадки и главные напряжения

Главные напряжения, обозначаемые как и, вычисляют по формуле

.

 

Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45°

 

Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации

 

 

и угловая деформация (относительный сдвиг) в виде угла сдвига (рис. 4,б).

 

Рис.4. Плоское напряженное состояние:  а – напряжения; б – деформации

 

Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:

 

Здесь – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода);– коэффициент Пуассона.

Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 5).

 

 

Рис. 5. Напряжения и деформации при чистом сдвиге

 

Такой случай называется чистым сдвигом, а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;

Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называетсяуглом сдвига (рис. 4 и 5).

Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге

,

 

где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см².

Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее часто записывают в следующей форме: