3. Объемное напряженное состояние

В общем случае на гранях бесконечно малого элемента могут действовать нормальные и касательные напряжения, положительные направления которых показаны на рис. 3.6.

 

 

Рис. 6. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда

 

Нормальные напряжения снабжаются индексом, который указывает координатную ось, вдоль которой направлено напряжение.

Из условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда вытекает закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно линии пересечения этих площадок, равны по величине.

Поэтому =;=;=QUOTEτyx=τxy;  τzx=τxz;  τyz=τzy .

Доказывается, что вокруг любой точки тела можно выделить такой бесконечно малый элемент, на гранях которого отсутствуют касательные напряжения, и могут действовать только нормальные напряжения. Грани такого элемента называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих гранях – главными напряжениями.

Главные напряжения обозначают ,,, причем индексы расставляют так, чтобы по алгебраическому значению первое главное напряжение было самым большим, а третье главное напряжение – самым маленьким:³³.

Напряжения, действующие на гранях бесконечно малого параллелепипеда, можно записать в виде таблицы, называемой тензором напряжений:

 

Значения главных напряжений получают из решения кубического уравнения

 

Коэффициенты этого уравнения I₁, I₂, I₃ называют первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений. При любых исходных осях x, y, z, т. е. при любой ориентации в пространстве граней элементарного параллелепипеда, для данной точки значения инвариантов остаются неизменными

 

 

Экстремальное касательное напряжение в точке действует на площадке, наклоненной под углом 45° к максимальному и минимальному из трех главных напряжений, и равно их полуразности (рис. 3.7).

 

 

Рис.7. Положение и величина наибольшего  касательного напряжения

Деформации бесконечно малого элемента при объемном напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации

 

 

и угловые деформации

 

Указанные деформации записывают в виде тензора деформаций

 

.

 

Совокупность относительных удлинений и углов сдвига для любых направлений, проведённых через точку тела, называется деформированным состоянием в точке.

Существуют такие три ортогональных направления, для которых углы сдвига отсутствуют, а относительные удлинения таковы, что. Указанные направления называютсяглавными осями деформированного состояния, а деформации –главными деформациями в точке. По аналогии с главными напряжениями деформации  и имеют экстремальные значения по сравнению с деформациями по другим направлениям.

Между деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:

 

4. Расчёты на прочность при сложном напряженном состоянии

Напряженное состояние в точке называется предельным, если происходит физическое разрушение материала или возникают пластические деформации.

Для того чтобы при оценке прочности материалов, находящихся в сложном напряженном состоянии, использовать характеристики прочности, полученные в опытах на растяжение и сжатие, каждому сложному напряженному состоянию ставится в соответствие равнопрочное ему линейное напряженное состояние (рис. 3.8). Такое линейное напряженное состояние называется эквивалентным.

 

Рис.8. Равнопрочные напряженные состояния:  а – исходное сложное; б – эквивалентное линейное

 

Для перехода от главных напряжений к эквивалентному напряжениюиспользуют различные теории прочности, предполагающие те или иные причины наступления предельного напряженного состояния (критерии прочности).

Известны четыре классические теории прочности.

Первая – теория наибольших нормальных напряжений, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные нормальные напряжения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется при растяжении хрупких материалов.

Вторая – теория наибольших относительных деформаций, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные относительные удлинения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется при сжатии хрупких материалов.

Третья – теория наибольших касательных напряжений, согласно которой предельное напряжённое состояние наступает, когда максимальные касательные напряжения достигают предельной величины для материала. Эта теория применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Четвёртая – энергетическая теория, по которой предельное напряжённое состояние наступает, когда удельная потенциальная энергия деформации, затраченная на изменение формы тела, достигает предельной величины для материала. Эта теория применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Есть ряд теорий прочности, которые не объясняют причину разрушения, а прогнозируют прочность материала по результатам опытов при простых деформациях. Среди таких теорий для строительных материалов, более прочных при сжатии, чем при растяжении, часто применяют теорию прочности О. Мора.

Выражения эквивалентных напряжений, вычисляемых по разным теориям прочности, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Эквивалентные напряжения

Теории прочности
Первая
Вторая
Третья
Четвёртая
О. Мора	, где – отношение пределов  прочности материала при растяжении и сжатии

Условие прочности по любой теории прочности: . Для частного случая плоского напряженного состояния (рис. 3.9) пос­ле выражения главных напряжений через исходные напряжения полу­ча­ем условия прочности в виде следующих формул: ;        Эти формулы используют при расчетах стальных стержней, когда стержень получает деформации кручения и растяжения (сжатия), кручения и изгиба, кручения с растяжением и изгибом.