- •1.3 Точность систем телекоммуникаций
- •2.4. Моделирование сигналов рядом Фурье
- •2.5 Моделирование сигналов рядом Котельникова
- •2.7 Моделирование сигналов функциями Уолша
- •2.8 Моделирование сигналов на основе преобразования Фурье
- •2.11 Моделирование сигналов на основе преобразования Лапласа
- •3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
- •3.1 Виды звеньев в системах телекоммуникаций
сразу перейти к выражению для его спектральной плотности:
S( ) 2 A0 ( ) An e j n ( n 1) e j n ( n 1) .
n1
2.11Моделирование сигналов на основе преобразования Лапласа
В последнее время все большее распространение получает описание сигналов на комплексной плоскости с помощью преобразования Лапласа. Эта тен-
|
|
|
Р |
денция характерна не только для теоретических методов исследования СТК, но |
|||
и для программ их математического моделирования на ПЭВМ. |
И |
||
Известно, что для преобразования по Лапласу комплекснозначная функ- |
|||
ция f(t ) должна отвечать следующим трем условиям: |
У |
|
|
|
|
удовлетворять условию Гёльдера, которое означает, что при всех t ( , ), за исключением конечного числа точек с разрывами первого рода
(на любом конечном интервале), существуют такие постоянные A 0, h0 0 и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|||||
0 1, что |
f(t h) f(t ) |
|
Ah |
|
|
для всех |
|
h |
h0 ; условие |
Гёльдера |
по |
|||||||||
смыслу соответствует условиям Дирихле; |
а |
Г |
t ( , |
) |
||||||||||||||||
возрастать не быстрее показательной функции, т.е. для всех |
||||||||||||||||||||
иметь такие постоянные M 0 |
и 0 |
к |
f(t ) |
|
|
Me 0t , где 0 |
показатель |
|||||||||||||
0 |
, что |
|
||||||||||||||||||
роста функции |
f(t ); |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
удовлетворять условию |
f(t ) 0 |
|
при t 0, что, впрочем, всегда можно |
|||||||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
к функции (t ) (t )f(t ), где |
|
|||||||||||||
обеспечить переходом от функции f(t ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1, |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.59) |
|
|
|
(t ) |
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда). |
|
|
||||||||||||||||||
Функцию |
f(t ), удовлетворяющую сформулированным условиям, назы- |
|||||||||||||||||||
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что все сигналы, исполь- |
|||
вают часто функцией-оригиналом. Важно отметить, |
зуемые при моде ировании СТК, описываются функциями-оригиналами, т.е. |
|||
и |
|
|
|
могут быть преолразованы по Лапласу. |
|
|
|
Прямое прео разование Лапласа исходному сигналу (функции времени |
|||
Б |
|
f(t ) F( p) изображение |
|
f(t )) став т во взаимно однозначное соответствие |
|||
|
|
|
|
|
F( p) f(t )e ptdt , |
|
(2.60) |
|
0 |
|
p j . Изображение |
являющееся функцией комплексного переменного |
F( p) строго определено в полуплоскости Re p 0 и является здесь аналити-
ческой функцией. Тем не менее в большинстве практических задач область определения распространяют и на полуплоскость Re p 0, где функция F( p)
имеет особые точки. Знание последних существенно упрощает вычисление ин-
тегралов. В полуплоскости Re p 0 plim F( p) 0 по любому пути, при кото-
ром , т.е. сходимость равномерна относительно arg p.
Обратный переход от изображения F( p) к сигналу (оригиналу) f(t ) выполняется с помощью обратного преобразования Лапласа:
|
1 |
a j |
|
|
f(t ) |
F( p)eptdp, |
(2.61) |
||
2 j |
||||
|
a j |
|
где контур интегрирования представляет бесконечную вертикальную прямую
определяется своим изображением с точностью до значенийУвИточкахРразрыва. Моделирование на комплексной плоскости часто сопровождается преобразованием изображения исходного сигнала в некоторую другую функцию F( p) комплексного переменного, от которой затем необходимо с помощью
Re p a (a 0 ) в области аналитичности функции F( p). Интеграл (2.61)
часто называют интегралом Римана-Меллина. Он в любой точке, где выполня-
ется условие Гёльдера, восстанавливает значение функции f(t ), т.е. оригинал
обратного преобразования (2.61) перейти к соответствующему ей оригиналу |
|||
(что в общем случае возможно не всегда). Для выполненияГ |
этого перехода, со- |
||
гласно так называемой теореме существования, функция |
F( p) должна быть |
||
|
|
к |
|
аналитической в полуплоскости Re p 0 и обладатьБздесь равномерной схо- |
|||
|
a j |
е |
|
димостью, а |
F( p)dp |
|
|
, т. . инт граладолжен абсолютно сходиться. |
a j |
|
|
стить, если использ вать известные свойства преобразования Лапласа. Анализ |
||
Нахождение изображения |
F( p) исследуемого сигнала (функции |
f(t )) |
непосредственно по выражению (2.60) представляет во многих случаях слож-
ную и значительную |
времени задачу, которую можно многократно упро- |
|||||||||||||||||||
задач, решаемых |
при |
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
м делир вании, показывает, что в основном применяются |
|||||||||||||||||||
|
|
|
л |
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующие свойства. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
б |
инейности. |
Если |
f (t ) F ( p) |
|
|
(i 1, |
|
N ), |
то |
|||||||||
|
Свойство |
|
|
|
||||||||||||||||
|
их |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) Ai fi(t ) F( p) AiFi( p) |
|
(Ai |
постоянные коэффициенты), |
т.е. |
||||||||||||||||
Б |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i 1 |
|
|
|
fi(t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
линейной суперпозиции оригиналов |
соответствует линейная суперпози- |
|||||||||||||||||||
ция |
изображений |
F ( p). Доказательство свойства выполняется подстанов- |
||||||||||||||||||
кой |
f(t ) в преобразование (2.60). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Теорема |
смещения. |
Если |
f |
(t ) F ( p ), |
то |
f |
2 |
(t ) f |
(t )ep0t |
|
|||||||||
F2( p) F1( p p0 |
) ( p0 0 j 0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
произвольное комплексное число), |
т.е. |
|||||||||||||||||||
умножению оригинала f1(t ) |
на комплекснозначную функцию ep0t |
соответст- |
||||||||||||||||||
вует “смещение” его изображения |
F( p) |
на p0. Доказательство теоремы вы- |
||||||||||||||||||
полняется подстановкой f2(t ) в интеграл (2.60). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема подобия. Если |
f1(t ) F1( p ), то |
f2(t ) f1(nt ) |
1p
F2( p) n F1 n . Доказательство теоремы выполняется подстановкой f2(t )
винтеграл (2.60) с последующей заменой t n в нем переменной.
Дифференцирование оригинала. Если при любом t (0, ) функция
f(t ) является дифференцируемой (в окрестности любой точки раскладывается
в |
ряд |
Тейлора) |
и |
f |
(t ) F ( p ), |
|
то |
|
f |
2 |
(t ) f ( n)(t ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
F2 ( p) p n F1 ( p) p n 1 f (0) |
p n 2 |
f (0) |
|
|
f (n 1) (0) , |
где |
||||||||||||||
f (k )(0) lim f (k )(t ), |
k |
|
. |
Доказательство |
свойства |
|
выполняют |
по |
||||||||||||
0, n 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
t 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
следующей схеме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью преобразования (2.60), используя метод интегрирования по |
|||||||||||||||||||
частям, устанавливают, |
что |
f ' (t ) pF( p) f(0). |
|
Рассматривают функцию |
||||||||||||||||
f " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|||
f ' (t ) ' . Используя выражение для изображения функции |
|
f ' (t ), получа- |
||||||||||||||||||
ют: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
||||
f " (t ) p pF( p) f(0) f ' (0) p2F( p) pf(0) f |
' (0). Представляя |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||
по аналогии производную f (3)(t ) третьего и более высоких порядков, прихо- |
||||||||||||||||||||
дят к общему выражению для изображения F ( p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Б |
|
f2(t ) f1( n)(t ) |
|||||||||
|
В |
случае, если |
f (k )(0) 0 |
(k |
|
|
|
|||||||||||||
|
0, |
n 1), то |
||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2(p) p F1(p), т.е. n-кратное дифф р нцирование оригинала при нулевых
начальных условиях соответству умнож нию его изображения на множитель |
|||||||||||||
pn |
дифференцирования оригиналае. |
|
|
|
|
||||||||
|
Дифференцирование |
изображения. |
Если |
F1( p) f1(t ), |
то |
||||||||
ференцирования |
|
зображения. Доказательство свойства осуществляют пред- |
|||||||||||
F ( p) F( n)( p) f |
2 |
(t ) ( 1)ntn f(t ), т.е. |
n-кратное |
дифференцирование |
|||||||||
2 |
|
1 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
||
изображения соответствуетоумножению оригинала на множитель ( 1)n tn |
диф- |
||||||||||||
|
|
б |
|
F( p) преобразованием (2.60) и её последовательным n- |
|||||||||
ставлением функции |
|||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
с выполнением операции дифференцирования |
||||||
кратным дифференцированиемл |
|||||||||||||
под знаком |
нтеграла, что возможно вследствие аналитичности функции F( p) |
||||||||||||
Б |
|
|
Re p 0. |
|
|
|
|
|
|||||
в полуплоскости |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Выполняя |
n-кратное дифференцирование изображения |
Г( p) функции |
||||||||||
f(t ) (t ) |
(2.59), можно |
получить f(t ) tn F( p) n!/ |
pn 1. Последнее |
является важным следствием из свойства дифференцирования изображения, широко используемым в практике моделирования.
|
Интегрирование |
оригинала. |
|
Если |
f1(t ) F1( p ), |
то |
|
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f2(t ) f1(t )dt F2( p) F1( p)/ p, т.е. |
интегрирование оригинала соответ- |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
ствует умножению его изображения на множитель 1/ p интегрирования оригинала. Доказательство свойства наиболее просто выполняется представлением f1(t ) в виде f1(t ) f2' (t ) и последующим использованием свойства диффе-
ренцирования оригинала. |
|
|
F1( p) f1(t ), |
|
Интегрирование |
изображения. |
Если |
то |
|
|
|
|
|
|
F2( p) F1( p)dp f2(t ) f1(t )/ t , т.е. интегрирование изображения соот-
p
ветствует умножению оригинала на множитель 1/ t интегрированияРизображения. Доказательство свойства осуществляют представлением функции F1( p ) преобразованием (2.60), подстановкой его в интегральноеИвыражение для
F2( p ) и последующим изменением порядка интегрирования, что возможно
вследствие аналитичности функции F1( p ) в полуплоскости Re p 0. |
|
|||||||||
Теорема |
умножения |
изображений. |
|
Г |
F1( p) f1(t ) |
и |
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
F ( p) f |
|
|
|
Б |
|
(t )d , т.е. произ- |
||||
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
У2 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ведению изображений соответствует свертка оригиналов. Доказательство тео- |
||
|
|
а |
ремы, называемой также теоремой Бореля, выполняют по следующей схеме: |
||
подставляют F( p) в интеграл (2.61), предст вляют изображение F1( p ) пря- |
||
|
большое |
|
мым преобразованием (2.60) Лапласа, переходят к двойному интегралу и заме- |
||
няют порядок интегрирования. |
|
кзначение имеет следствие из теоре- |
т |
||
В практике моделирования |
||
мы умножения изображений, две симм тричные формы которого образуются с |
|
|
|
|
|
о |
|
|
t |
' |
|
|
|
|
|
|||
дополнительным использованием свойств линейности и дифференцирования |
|||||||||||||||||
оригинала: |
|
и |
( p) f1 |
(0)F2( p) |
pF1( p) f1(0) F2( p) |
|
|||||||||||
|
|
pF1 |
( p)F2 |
|
|||||||||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
t |
f1 ( )f2(t )d , |
|
|
|
(2.62) |
||||
|
б |
|
|
|
f1(0)f2(t ) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pF1( p)F2( p) f2(0)F1( p) pF2( p) f2(0) F1( p) |
|
||||||||||||||
Из выражений (2.62) непосредственно вытекают все четыре разновидности ин- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
2(0)f1(t ) |
|
f2' ( |
)f1(t )d . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
теграла Дюамеля. |
|
|
|
|
|
|
|
f |
(t ) F ( p ) и |
f |
|
(t ) F ( p), |
|||||
Теорема умножения оригиналов. Если |
|
2 |
|||||||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
a j |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то f (t) f1(t) f2(t) F(p) |
|
F1(z)F2(p z)dz, где функция F( p) анали- |
|||||||||||||||
2 j |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тична в |
полуплоскости |
Re p 1 2 ; a 1; |
1( 2 ) показатель |
роста |
|||||||||||||
функции |
f1(t ) f2(t ) . Свойство означает: произведению оригиналов соответст- |
вует комплексная свертка их изображений. Доказательство выполняется аналогично теореме умножения изображений.
|
|
Теорема |
|
запаздывания. |
Если |
f1(t ) F1( p ), то при любом |
t0 0 |
|
f |
2 |
(t ) f |
(t t |
0 |
) F ( p) F ( p)e pt0 |
, т.е. запаздыванию оригинала (сигнала) |
||
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
соответствует умножение его изображения на множитель e pt0 запаздывания. Доказательство свойства выполняют подстановкой f2(t ) в интеграл (2.60) с последующей заменой t t0 в нем переменной.
|
|
|
Предельные соотношения. |
Если f(t ) и её производная f ' (t ) являются |
||||||||||||||
оригиналами и f(t ) F( p), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
||||||||
|
|
|
|
lim pF( p) lim f(t ) f(0), |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
lim pF( p) lim f(t ) f( ), (2.63) |
||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
t 0 0 |
|
|
|
|
p 0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
где функция |
pF( p) сходится при |
|
|
|
|
У |
|
||||||||
|
|
|
|
p ( p 0) |
равномерноРотноси- |
|||||||||||||
тельно arg p в полуплоскости Re |
p 0 |
аналитичности функции F( p). |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
||
|
|
|
В практике моделирования СТК широко применяют периодические сиг- |
|||||||||||||||
налы |
f(t ), |
которые строго существуют на бесконечном интервале ( , |
) |
|||||||||||||||
времени. С учетом |
|
этого введем в рассмотрение сигналы (рисунок 2.7) |
||||||||||||||||
|
|
|
f(t ), 0, |
T |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f(t ), 0, T |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, которые назовем соответственно |
|||||
f1(t ) |
, 0 |
|
и fT (t ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0, |
|
0, 0, T |
|
Б |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
периодическим |
|
в |
|
узком |
смысле |
|
и |
б зовым. |
|
Очевидно, |
что |
|||||||
f |
|
(t ) F |
( p) |
|
f |
|
|
|
как известно, изображение F ( p) |
|||||||||
T |
T |
(t )e ptdt, при этом, |
||||||||||||||||
|
|
T |
|
|
т |
к |
|
|
|
T |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналитично во всей откры ой комплексной плоскости (открытая p-плоскость не включает бесконечно удаленную очку P ).
выполняя суммирование образуемой при этом бесконечно убывающей геомет-
Сигнал |
f1(t ) |
|
|
периодическим копированием сигнала fT (t ) на |
интервале (0, |
). Это п зв ляет воспользоваться для нахождения его изобра- |
|||
жения F1( p ) |
|
образуется |
|
|
свойством л |
нейности и теоремой запаздывания. Поступая так и |
|||
|
|
и |
|
|
|
л |
|
|
и |
|
|
|
|
|
рической прогрессии, получаем |
|
|
|
||
Б |
б |
F( p) F ( p) |
FT ( p) |
. |
(2.64) |
|
|||||
1 |
1 e pT |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
f1(t )
0 T 2T 3T 4T 5T t
а
fT (t )
Рисунок 2.7 – Периодический (а) и базовый (б) сигналы
0 T |
б |
t |
|
Р |
|
|
|
|
|
|
И |
щающего одностороннее на весь бесконечный интервалГУ( , ) времени.
Классическое преобразование Лапласа ((2.60), (2.61)) является односто-
ронним. Существует понятие двустороннего преобразования Лапласа, обоб-
Применяя двустороннее преобразование, можно показать, что изображение F( p) периодического сигнала f(t ) также представляется выражением (2.64)
(это учтено при его написании). Изображение F( p) имеет особые точки (про- |
|
стые полюсы) pk j2 k/T |
(k 0, 1, 2, Б), являющиеся корнями уравне- |
ния 1 e pT 0. |
а |
|
|
Проведенный анализ показыва т сл дующее. |
|
Изображение F( p) периодичского, в том числе в узком смысле, сигнала |
образуется умножением изображения FT ( p) базового сигнала на множитель |
||||||||||
1 e pT 1 |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
периодичн с и. Особыми точками функции F( p) являются беско- |
||||||||||
нечное |
|
число |
|
пр стых |
(однократных) |
полюсов |
Pk j2 k /T |
|||
(k 0, |
1, |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
2, ), лежащих на мнимой оси комплексной плоскости (рису- |
||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
нок 2.8). По ожен е полюсов на мнимой оси определяется только периодом T |
||||||||||
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
повторения сигна а и не зависит от его формы. Любой периодический сигнал, |
||||||||||
преобразуемый по Лапласу, описывается функцией |
f(t ) с показателем |
0 |
0 |
|||||||
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
роста. Поэтому в интеграле (2.61) интегрирование можно выполнять вдоль лю- |
||||||||||
Б |
|
|
|
|
|
p a, удовлетворяющей условию a 0 (см. ри- |
||||
бой верт кальной прямой Re |
||||||||||
суноки2.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
4 T |
|
|
|
|
|
||
2 T |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
|
|
|
Р |
2 T |
|
|
И |
||||
|
|
|
|||||
4 T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
Рисунок 2.8 – Расположение особых точек изображения периодического |
|||||||
сигнала |
Б |
|
|
|
|||
Нахождение изображения |
|
|
|
||||
периодического |
сигнала является примером |
эффективного применения свойств преобразования Лапласа. Для демонстрации больших возможностей их применения р ссмотрим еще несколько примеров.
Пример 1. Найти изображение сигн |
|
|
f(t ) 2Atsin2t. |
|
|
|
|
|||||||||||
При |
отыскании |
изображения |
сигн |
|
|
типа |
f (t) tn sin( t) |
или |
||||||||||
f(t ) tn cos( t ) |
целесообразно |
|
|
|
ла |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
определить изображение вспомога- |
||||||||||||||
тельного |
сигнала |
fВ(t ) sin |
t |
( f |
к |
|
t), а |
затем |
воспользоваться |
|||||||||
В(t ) cos |
||||||||||||||||||
свойством дифференцирования |
вначале |
|
|
В рассматриваемом примере |
||||||||||||||
изображения. |
||||||||||||||||||
fВ(t ) 2Asin 2t . |
Ему |
с |
ве с вует |
|
изображение |
FВ ( p) 4A /( p2 |
4). |
|||||||||||
|
|
|
т |
f(t ) F( p) 8Ap/( p |
2 |
4) |
2 |
. |
|
|||||||||
Дифференцируя последнее, нах дим: |
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. |
о |
|
|
|
|
|
|
f (t) A(ebt eat)/t. В качестве |
||||||||||
|
зображение сигнала |
|||||||||||||||||
вспомогательногоНайтиf (t) используем сигнал (2.59). Ему отвечает изображение |
||||||||||||||||||
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F p 1 p. Далее применяем теорему смещения и свойство линейности. В со- |
|||||||||||||||||
B |
|
|
|
|
л |
|
|
eat ) A(p b) 1 A(p a) 1. Наконец, на |
|||||||||
ответств |
|
с н |
ми f(t ) A(ebt |
||||||||||||||
основан |
|
|
б |
|
интегрирования |
изображения |
имеем |
||||||||||
|
|
|
|
|
свойства |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
A |
|
|
|
p a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F( p) |
|
|
|
|
|
dp Aln |
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
p b |
|
|
|
|
||
|
|
p |
p b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sint |
|
||
|
Пример 3. |
Найти изображение сигнала |
f (t) Sit |
|
dt . |
В качестве |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вспомогательного используем сигнал fВ(t ) sint. Ему соответствует изобра-
жение F ( p) 1/( p2 |
1). Далее с помощью свойства интегрирования изобра- |
|||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|||
жения устанавливаем: (sint)/t |
|
|
|
|
|
arctg |
p arcctg p. Наконец, на |
|
|
2 1 |
2 |
||||||
|
p p |
|
|
|
основании свойства интегрирования оригинала имеем F( p) arcctg pp.
В общем случае переход от изображения F( p) к самому сигналу (оригиналу) f(t ) выполняет обратное преобразование Лапласа. Непосредственное вычисление интеграла (2.61) является сложной и громоздкой задачей. Поэтому на практике, по возможности, переход к оригиналу осуществляют с помощью
известных теорем разложения (наиболее часто используется вторая теорема). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
И |
|
|
|
||||||
Первая теорема разложения. Если изображение F( p) является правиль- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ной (аналитической) функцией в бесконечно удаленной точке limРF( p) |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|||
и имеет в её окрестности |
|
p |
|
R |
разложение |
F(p) |
|
|
k |
|
|
в ряд Лорана, |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
pk |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
tk 1 (t 0). ДоказательствоГтеоремы формально вы- |
|||||||||||||||||||||
F( p) f(t ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k 1(k |
1)! |
|
|
|
|
|
свойства |
|
|
1 |
|
|
|
1 p |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Блинейности и следствия из свой- |
||||||||||||||||||||
полняется совместным применением |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ства дифференцирования изображения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В качестве примера рассмотрим изображение F(p) |
|
|
|
|
|
e |
|
. Раскла- |
||||||||||||||||||||||
|
|
pn 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k n k |
|
|
|
|
теоремы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
k |
|
||||||||||
дывая функцию e 1 p |
в ряд Лоранае, имеем функцию F( p) |
|
1) |
, кото- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n k 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 k! p |
|
|
|
||||
рая удовлетворяет усл виям |
|
, что позволяет сразу перейти к оригиналу |
||||||||||||||||||||||||||||
f(t ) |
( 1) t |
|
|
|
. |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k |
0 k!(n |
k )! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вторая (обобщеннаяи ) теорема разложения. Если изображение F( p) яв- |
||||||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ляется функцией мероморфной (в качестве особых точек содержит только по- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и в полу- |
|||
люсы), анал тической в бесконечно удаленной точке lim F( p) |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
Б |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
плоскости Re |
p 0 |
и если абсолютно сходится интеграл |
|
|
F( p)dp, то |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f(t ) res F( p)ept . |
|
|
a j |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.65) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk |
f(t ) (оригинал) равен сумме вычетов в осо- |
|||||||||||||||
Это значит, что искомый сигнал |
бых точках (полюсах) его изображения F( p) (целая трансцендентная функция