ept аналитична во всей открытой p-плоскости). Доказательство теоремы выполняют с применением леммы Жордана и теоремы Коши о вычетах.

В общем случае изображение F( p), удовлетворяющее условиям обобщенной теоремы разложения, представляет отношение F( p) A( p )/ B( p) двух целых функций (целые функции подразделяются на целые рациональные и целые трансцендентные) и содержит l полюсов разного порядка. Учитывая это и механизм вычисления вычета в полюсе порядка n, выражение (2.65) принимает вид

									Р
	l	1		A(p)			)nk ept	nk 1
f (t)			lim		(p p	k			,	(2.66)
	k 1(nk 1)!p pk B(p)
где pk полюс порядка nk .								И
В задачах моделирования СТК наиболее часто полюсы								pk	являются про-

стыми. По крайней мере к этому целесообразно стремиться. При таком подходе

соотношение (2.66) существенно упрощается:								Б	У
l A pk			p		t
f t k 1		e		k		,		Г		(2.67)
	B pk
где B' ( pk ) B' ( p) p pk .							а
разложения широко применяется на практике.								зыв ет, что вычисление вычетов,
Анализ выражений (2.66) и (2.67) по
						е

основанное на операции дифференциров ния, выполняется достаточно просто, особенно в случае простых полюсов. По этой причине обобщенная теорема

		т
Как показано, изображение F( p) п риодического сигнала (см. (2.64)) со-
держит бесконечное	число		pk j2 k/T (k 0, 1, 2, ).
		прос ых полюсов
и

Применяя к нему об бщенную теорему разложения, получаем представление сигнала в форме ряда Фурье. Последнее с учетом простоты механизма (2.67) вычисления вычетов делает возможным разложение в ряд Фурье с помощью

преобразования Лап аса. Для его выполнения необходимо: а) с учетом выраже-
		б	F( p) представляемого периодического сигнала;
ния (2.64) найти изображение
б) вы	полнить
		олратное преобразование по алгоритму (2.67).
Б

3 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

3.1 Виды звеньев в системах телекоммуникаций

Современные СТК, являющиеся сложными физическими объектами, содержат большое количество различных по свойствам звеньев, которые с позиции их математического моделирования принято делить на линейные (инерционные, безынерционные) с постоянными параметрами, линейные (инерцион-

ные, безынерционные) с переменными параметрами и нелинейные (инерционные, безынерционные). Наиболее сложными для описания являются нелинейные инерционные звенья. Их при функциональном моделировании, как показано в подразд. 1.10, представляют совокупностью линейных инерционных, линейных и нелинейных безынерционных звеньев.

Линейное звено с постоянными параметрами (называемое также линей-

ным стационарным) обладает следующими свойствами:

активные и реактивные параметры R, L,C U t , I t

не зависят от

мгновенных значений токов I t и (или) напряжений U t в звене;

выполняется принцип линейной суперпозиции

Р

N

N

И

U

вых

t

U

вхi

t

U

вхi

t ,

(3.1)

i 1

i 1

т.е. реакция звена на линейную суперпозицию входных воздействий Uвхi t

				Г
	i 1, N				t на каждое
				равна линейной суперпозиции реакций Uвыхi t Uвхi

воздействие (при этом предполагаются нулевые начальные условия – отсутст-
вие в звене начального запаса энергии);	Б	У
на выходе звена не возникают спектральные компоненты, отсутствующие
	а
во входном воздействии (как известно, при прохождении через линейное ста-

ционарное звено гармоническое колеб ние изменяет только амплитуду и начальную фазу, форма колебания остаетсякнеизменной).

Линейное звено с переменными п р метр ми (называемое также линейным параметрическим) облада т сл дующими свойствами:

активные и реактивные парам тры R, L,C U t , I t не зависят от

мгновенных значений токов и (или) напряжений, однако изменяются во време-

е

ни (хотя бы один параме р) под воздействием внешней вынуждающей силы

(необязательно электрическ й природы);

выполняется пр нц пт(3.1) линейной суперпозиции;

на выходе звена возникают спектральные компоненты, отсутствующие во

о

и

m

0

л

входном воздейств , например, при приложении к резистору с сопротивлени-

б

0

гар-

ем R t R 1 mcos t (изменяющимся внешней вынуждающей силой)

монического

напряжения

U t U

cos t

в нем появляется

ток

I t

Um

1 mcos t cos t – амплитудно-модулированное колебание со

R

спектральнымии

компонентами на частотах 0 , 0

.

Нелинейное звено обладает следующими свойствами:

БR, L,C U t , I t ,

т.е. активные и реактивные параметры (хотя бы

один) зависят от мгновенных значений токов и (или) напряжений; не выполняется принцип (3.1) линейной суперпозиции;

на выходе звена возникают спектральные компоненты, отсутствующие во входном воздействии, при этом состав амплитудного спектра реакции зависит не только от формы, но, в отличие от линейного параметрического звена, также

от амплитуды воздействия.

Важно отметить следующее. Рассмотренные свойства звеньев никак не связаны с формой их практической реализации. Последняя может быть любой: с сосредоточенными параметрами; с распределенными параметрами; с аналоговой обработкой; с цифровой обработкой. Эти свойства определяют выбор подходящего математического описания и метода моделирования. Например, при моделировании нелинейных звеньев нельзя применять спектральный метод, метод моделирования по формуле Дюамеля и метод моделирования на основе операционного исчисления, в основе которых лежит принцип (3.1) линейной суперпозиции.

3.2 Моделирование линейных звеньев во временной области
					Р
Во временной области линейные звенья полностью описываются им-
пульсной g t и переходной h t характеристиками.				И		Uвх t в
Рассмотрим линейное звено. Подадим на его вход воздействие
виде одиночного импульса длительностью . Форма реакцииУU					t	будет за-
висеть от свойств звена и формы импульса U		t .		вых
	вх		удем уменьшать длитель-
			Г
ность . При значениях T0 , где T0 – период свободных (собственных) коле-
баний рассматриваемого звена, форма ре		Б
	уже мало зависит от формы воз-

действия. В пределе при 0 она определяетсяа только самим звеном. Очевидно, что при сокращении длит льности уменьшается энергия воздействия.

В пределе она становится бескон чнокциималой, вследствие чего реакция физиче-

ски отсутствует. Чтобы этого не происходилое , уменьшая длительность воздействия, необходимо одновременно увеличивать его амплитуду. Это в конечном

итоге приводит к идеальнегому в здейс вию Uвх t бесконечно малой длительности и бесконечно больш й .

амплитуды

Выполнить ф з ческ моделирование идеального воздействия невозможно, зато существует простая и эффективная математическая модель в

нейных звеньев используют также единичное ступенчатое воздействие (функцию Хевисайда) t (2.59). Реакция звена на это воздействие при нулевых на-

виде -функции (единичного импульса) (2.51). С учетом этой модели под им-
			и	g t понимают реакцию линейного звена на еди-
пульсной характеристикой
		л
ничный мпульс t при нулевых начальных условиях.
Пом мо функции t , при математическом моделировании свойств ли-
	б
и
Б

	чальных условиях является его переходной характеристикой h t .
	С учетом свойств функций t				и t (см. (2.51), (2.56), (2.59)) устанав-
	ливаем, что
		d t		t	t
	t		,	t t dt t dt.		(3.2)
		dt			0 0

Аналогичная взаимосвязь

		dh t			t
	g t		,	h t	g t dt	(3.3)
		dt			0 0
	существует между импульсной				и переходной	характеристиками, поскольку

t g t , t h t и в линейном звене выполняется принцип линейной суперпозиции (3.1), вследствие чего, в частности, между двумя реакциями существует такая же зависимость, как и между соответствующими им воздействиями.

		Из свойств -функции и соотношений (3.2)					вытекает, что t c 1, а
функция t является безразмерной. Учтем также,							что в зависимости от зада-
ния воздействия			fвх t и реакции					И
				fвых t возможны следующие случаи: размер-
ность fвх t			воздействия и	размерность		f		У
							вых t реакцииРсовпадают;
fвых t fвх t R ; fвых t fвх t R 1, где						R Ом. Тогда (в СИ)			им-
пульсная характеристика t может иметь размерность Ом c 1, Ом 1 c 1									или
	1				Б
c		, а переходная характеристика – Ом, Ом				либо быть безразмерной. Это
подтверждает абстрактный характер воздействий Гt , t и реакций g t ,									h t .
				а		характеристики (обладающие
Тем не менее импульсная g t и переходная h t

одинаковыми возможностями) полно определяют свойства линейного звена. При этом функция g t по форме соответствует реакции звена на реальное фи-

зическое воздействие большой амплитуды и малой длительности, а функция
h t – реакции на реальное							квоздействие с малой длительностью
фронта.						нчатое
Характеристики g t					и h t описывают свойства линейных звеньев, являю-
щихся	устойчивыми элек рическими цепями. Поэтому limg t g 0, а
limh t h . Ф					ступ			t
					п дставляя в прямое преобразование (2.60) Лапласа
t				рмально
функцию t и уч тывая фильтрующее свойство (2.52), можно получить, что ее
			и
изображение p 1. Из последнего с помощью свойства интегрирования ориги-
нала прямо вытекает изображение p 1 p функции t .
	л
Воздействие t обладает бесконечно большой энергией (см. подразд. 2.9).
	б
Поэтому оно, в отличие от любых воздействий, описываемых кусочно-
непрерывнымии		функциями с разрывами первого рода, мгновенно изменяет на-

пряженияБ на емкостях и ток в индуктивностях (что следует обязательно учитывать при моделировании звеньев на уровне принципиальной схемы). Чтобы убедиться в этом, предположим, что от идеального источника тока на емкость C при нулевых начальных условиях подается воздействие Iвх t AI t (импульс тока), под влиянием которого напряжение на емкости изменяется по за-

		1	t	0,	t 0,
	кону UC t			AI t dt A	C, t 0 0, т.е. мгновенно возрастает от 0 до
		C
				I

AI C и далее не изменяется. При этом в емкости (мгновенно) накапливается энергия ЭC CUC2 0 0 2 AI2 2C . Аналогично можно показать, что при подаче от идеального источника напряжения на индуктивность L при нулевых начальных условиях воздействия Uвх t AU t ток в индуктивности мгновенно возрастает от 0 до AU L и в ней накапливается энергия

Э	L	LI2	0 0 2 A2 2L .
		L	U
		3.3 Моделирование линейных звеньев в частотной области
		В частотной области линейные звенья описываются комплексной переда-

точной функцией, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками
(соответственно АЧХ и ФЧХ).				У	Р
Как известно, АЧХ		K
				представляет собой частотную зависимость от-
			И
ношения амплитуды (действующего значения) реакции линейного звена к ам-

плитуде (действующему значению) гармонического воздействия на его входе, а

ФЧХ

Б

– частотную зависимость разности фаз реакции звена и гармониче-

ского воздействия. Учитывая, что воздействие

fвх t Гможет задаваться в форме

напряжения

Uвх t Uвх.m

а

или

тока

cos t

U

щие им ФЧХ:

реакция

fвых t

Iвх t Iвх.m cos t I

и

–

в форме

напряжения

Uвых t Uвых.m cos t U

или то

Iвых t Iвых.m cos t I ,

K1

Uвых.m

; дующие

K

2 Iвых.m

;

то в общем случае различают сл

разновидности АЧХ и соответствую-

т

U

вх.m

Iвх.m

1 U U ;

2 I I ;

и

U

вых.m

Iвых.m

K

3

о

;

K4

;

Iвх.m

Uвх.m

(3.4)

3

U I ;

4 I U .

Ом,

Очевидно

K1

и

K2

1

1

л, АЧХ

являются безразмерными, K3

Б

Ом 1. ФЧХ

измеряются в радианах. При этом на прак-

K

4

б

1

4

K

(соответственно ФЧХ ), осталь-

тике в основном используют АЧХ

ные – значительно реже.

Согласно

символическому

методу

анализа

гармонические

колебания

Uвх t , Iвх t , Uвых t

и Iвых t

описываются комплексными амплитудами соот-

ветственно

U вх.m U вх.m e j U ,

Iвх.m Iвх.m e j I ,

Uвых.m Uвых.m e j U

и

Iвых.m Iвых.m e j I . С учетом этого

комплексную передаточную функцию

K линейного звена определяют как

частотную зависимость отношения комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воздействия. При этом аналогично (3.4) различают четыре разновидности функции K :

K

1

Uвых.m

;

K

2

Iвых.m

;

Uвх.m

Iвх.m

(3.5)

Uвых.m

Iвых.m

K

3

; K

4

.

Iвх.m

Uвх.m

Из выражений (3.4) и (3.5) вытекает, что в общем случае

K

K

ej ,

(3.6)

т.е. комплексная

передаточная функция одновременно определяет АЧХ

K

Р

и ФЧХ . Она также полно, как импульсная либо переходная характеристи-

ки, описывает свойства линейного звена и широко применяетсяУИпри моделировании СТК спектральным методом (на основе преобразования Фурье).

Наглядное отображение частотных свойств линейного звена обеспечива-

ется с помощью АЧХ и ФЧХ, т.е. парой характеристик, что используется на
практике в подавляющем большинстве	Г
	. Вместе с тем иногда эти свой-

ства представляют годографом комплексной передаточной функции. Как из-
вестно, годограф является кривой,					Б
					описывает в полярной системе ко-
вектора равна значению АЧХ, а угол, отсчитываемыйслучаев						в положительном направ-
				которую
ординат конец радиуса-вектора, при этом на текущей частоте длина радиуса-
			е
лении, – значению ФЧХ. Обычно годограф строят в частотном диапазоне
сание выполняют		методами. По одному из них АЧХ и ФЧХ аппрок-
0 .
При моделировании реальных звеньев (каналов) СТК с помощью функ-
	димо		располагать описанием их АЧХ и ФЧХ. Это опи-
ции K (3.6) необх

	разными
симируют отрезками пр стейших кривых (прямых, парабол, синусоид (коси-
л
нусоид)), что, однако, обеспечивает невысокую точность аппроксимации. Для
б

ее повышения требуется существенное увеличение количества аппроксими-

рующих кривых. Но тогда описание становится громоздким и неудобным в обращенпри. Поэтому на практике этот метод описания используют, как правило, моделировании только амплитудно-частотных либо фазочастотных искаженБй, например, в звеньях (каналах) с откорректированной характеристикой группового времени запаздывания, при исследовании устройств фазовой коррекции с идеальной АЧХ. К минимально-фазовым звеньям, обладающим в общем случае неравномерной АЧХ и нелинейной ФЧХ, его применяют только при наиболее простых видах амплитудно- и фазочастотных искажений. В более сложных случаях в качестве аппроксимирующих используют функции другого типа, например, полиномы третьей степени. При соответствующем подборе их коэффициентов можно существенно повысить точность аппроксимации. Эффективным методом получения требуемых выражений для АЧХ и ФЧХ являет-

ся применение для этого операторной передаточной функции K p . От нее, как известно, просто перейти к комплексной передаточной функции K , модуль

иаргумент которой образуют АЧХ и ФЧХ.

3.4Моделирование линейных звеньев на комплексной плоскости

Большое распространение получило описание свойств линейных звеньев СТК на комплексной плоскости с помощью операторной передаточной функции K p , которая представляет собой отношение лапласовского изображения

f

вых p реакции fвых t линейного звена к изображению

f

вх p произвольного

воздействия

fвх t , вызвавшего ее, при нулевых начальных условиях. По анало-

гии с комплексной передаточной функцией K

(см. (3.5)) в общем случае

Р

различают четыре разновидности операторной передаточной функции:

вых p

вых p

И

U

I

K1

p

;

K2 p

;

У

Uвх p

Iвх p

(3.7)

K3

p

U

вых p

;

K4 p

I

вых p

,

Г

Iвх p

Uвх p

Б

U

вх p U

t ;

где

вх

Iвх p

Iвых p

Iвых t .

Iвх t ; Uвых p

Uвых t ;

На практике в основном используется опер торн я функция K1 p .

При моделировании на компл

снойаплоскости важно правильно выбрать

вид операторной передаточной функциикK p , которая обязательно должна

принадлежать к классу функций, описывающих физически реализуемые линей-

ные звенья, или, как

е

, удовле ворять условиям физической реализуемо-

сти. В связи с этим отметим, ч

опера орная передаточная функция линейного

устойчивого звена с с сред

ченными параметрами представляется дробно-

рациональной функц ей

т

говорят

G p

K p

и

,

(3.8)

C V p

л

b pm 2 b

– полином степени m с действи-

где G p pm

b pm 1

б

1

2

m

тельными

V p p

n

c1p

n 1

c2 p

n 2

cn

– полином

коэффициентами;

Гурвица

n;

m n; C 0 – масштабный (нормирующий) множитель.

степени

Известно, что полином с действительными коэффициентами содержит

действительныеБ

и (или) комплексно-сопряженные корни. В общем случае на

расположение корней полинома G p ограничения не накладываются. Полином V p Гурвица – такой полином с действительными коэффициентами, все корни которого лежат в левой полуплоскости (имеют отрицательную действительную часть) (рисунок 3.1), что вытекает из требования устойчивости звена: расположение корней полинома V p в правой полуплоскости соответствует

неустойчивому звену, а на мнимой оси – звену, находящемуся на границе устойчивости.

						p
							Р
	0
						И
					У
– корни полинома V( p);				Г
				Б
		- корни полинома G( p)
Рисунок 3.1 – Корневой портрет передаточной функции K( p)
			а
По расположению корней полинома G p звенья делятся на минимально-
		к
и неминимально-фазовые. У минимально-ф зовых звеньев все корни полинома
	е

G p находятся в левой полуплос ости и (или) на мнимой оси. Если хотя бы

один из корней лежит в правой полуплос ости, то это соответствует немини- мально-фазовому звену.

Корни полиномов G p и V p , изображенные на комплексной плоско-

сти, можно назвать

невым пор ретом операторной передаточной функции

K p

(см. рисунок 3.1). Очевидно, что корни полинома V p являются полю-

и

сами передаточной функц ти (3.8), а корни полинома G p – ее нулями.

л

Из операторнойкорпередаточной функции K p заменой p j можно по-

лучить комп ексную передаточную функцию

K ,

а затем, представляя по-

следнюю в показате ьной форме, найти АЧХ

K

и ФЧХ линейного

прием

звена:

бK p p j K

K

ej .

(3.9)

Такой

часто используется в задачах моделирования СТК, где требуется

знание АЧХ и ФЧХ, причем для упрощения его выполнения рекомендуется
вначалеБпроделать следующие преобразования:	V p p j A 2 j B 2 ,
G p p j E 2 j D 2 , где A 2 , B 2 ,	E 2 и D 2 – полиномы с

действительными коэффициентами по четным степеням переменной . С их помощью на основании выражений (3.8) и (3.9) можно получить:

	K			1			E2 2 2D2 2														,
							A						B
				C			2		2			2		2				2					(3.10)
							D 2									B 2
arctg
							E 2				arctg						A 2					.

Как следует из соотношений (3.10), функция K , описывающая АЧХ,

является иррациональной и сложной для применения. Поэтому в задачах синтеза линейных звеньев с требуемыми АЧХ вместо нее используют функцию

R 2

K

2 K K

2m B1 2m 2

Bm

,

(3.11)

C2 2n A 2n 2 A

1

n

,

B 2 ,

которая

получена с учетом свойств

полиномов G p , V p ,

A 2

E 2 и

D 2 .

Р

Функция K является комплексно-сопряженной функции

K .

R 2 , описывающая

И

Функция

дробно-

квадрат АЧХ звена, является

У

рациональной. Используя ее, как будет показано ниже, можно найти оператор-

ную передаточную функцию K p , по которой затемГсинтезировать звено с

требуемой АЧХ.

ФЧХ описывается трансцендентной функциейБ

(см. (3.10)) перемен-

ной . Поэтому задача синтеза звена с требуемой ФЧХ значительно сложнее,

чем задача синтеза звена с требу мой АЧХа.

С целью расширения

возможност й моделирования и упрощения по-

к

p

Гурвица рекомендуется зада-

строения математической модели полином

V

вать в виде

е

r

q p2

2 , (3.12)

V p pn

c pn 1 c

p a

2a p a2

и

n

s

l

l

l

1

где a

0; a

тs 1

т.е.

l 1

что в общем

s

l

0; 0;

r 2q n,

предполагается,

оl

случае полином содерж т r

действительных и q пар комплексно-сопряженных

б

корней (однократных).

и

в отличие от других способов задания час-

Представлениел(3.8), (3.12),

тотных характеристик, описывает с высокой точностью минимально- и неми- нимальноБ-фазовые звенья практически с любой формой АЧХ и ФЧХ. Это позволяет моделировать каналы (звенья) типа: фильтра нижних частот (ФНЧ); фильтра верхних частот (ФВЧ); полосового (ПФ) и заграждающего (ЗФ) фильтров; фильтра с несколькими полосами пропускания. Можно также учитывать влияние фазокорректирующих звеньев. Нормированность комплексной переменной p позволяет использовать справочную литературу, где табулированы корни полиномов G p и V p типовых ФНЧ. Трансформируя корни с помощью реактансных или нереактансных преобразований, можно получить операторные передаточные функции звеньев типа ФВЧ, ПФ и ЗФ. Например, для

2 0.

синтеза функции K p ФВЧ необходимо выполнить реактансное преобразование первой степени, для синтеза передаточных функций ПФ и ЗФ с частотносимметричными характеристиками – реактансные преобразования второй степени (называемые также полосовыми), а в случае требования частотнонесимметричных характеристик – преобразования Зданека, являющиеся разновидностью нереактансных преобразований.

Применение подобных справочников – своеобразных каталогов операторных передаточных функций ФНЧ с различными характеристиками рабочего затухания (ХРЗ) – позволяет отыскать в большинстве случаев необходимое математическое выражение для функции K p . При этом отпадает необходимость аппроксимации и нахождения корней характеристических полиномов G p и

V p .	Р
	Как известно, каталоги операторных передаточных функций ФВЧ, ПФ и

ЗФ отсутствуют. В этих условиях для нахождения их математических моделей
	И
наиболее просто воспользоваться реактансными преобразованиями (первой
У
Г

степени для ФВЧ, второй степени для ПФ и ЗФ). Они сводятся к следующей замене нормированной комплексной переменной p pФНЧ , входящей в выражение для передаточной функции K p ФНЧ-прототипа:

1

1

1

1

Б

pФНЧ p

;

pФНЧ pПФ

p

;

pФНЧ

pЗФ

p

, (3.13)

ФВЧ

ПФ

ЗФ

где f0 fD f D – постояннаяапреобразования; f0 ,

fD ,

f D

– соот-

ветственно центральная и граничныекчастоты полосы пропускания (задержива-

ния) ПФ (ЗФ), причем

f 2

f

D

f

;

постоянная характеризует относитель-

0

D

е

ную ширину полосы пропускания (задерживания) ПФ (ЗФ).

Наиболее простым являе ся преобразование ФНЧ→ФВЧ. Оно на частот-

ной оси меняет

птл су пропускания и полосу задерживания: полоса

пропускания (задерж ван я) ФНЧ становится полосой задерживания (пропус-
	о
образуемого ФВЧместами, как аналогичная ФНЧ-прототипа, равна D 1.
л

кания) ФВЧ. Поэтому нормированная граничная частота полосы пропускания

иИзбвторого выражения (3.13) вытекает, что для нахождения нормированных (относ тельно центральной частоты) граничных частот ПФ необходимо разрешБть уравнение j1 j 1 j , которое после элементарных преобразований приводится к виду

(3.14)

При одинаковой постоянной преобразования нормированные граничные частоты ПФ и ЗФ совпадают. Поэтому применительно к ЗФ можно использовать уравнение (3.14). Анализ механизмов преобразования также показывает, что переход от ФНЧ к ЗФ выполняется как непосредственным преобразованием ФНЧ→ЗФ, так и по схеме ФНЧ→ФВЧ→ПФ, а переход от ФНЧ к ПФ – как прямым преобразованием ФНЧ→ПФ, так и по схеме ФНЧ→ФВЧ→ЗФ.

Важно отметить следующее. Вследствие погрешностей при выполнении указанных реактансных преобразований возрастает неравномерность ХРЗ синтезируемого фильтра в пределах его полосы пропускания в сравнении с аналогичной ХРЗ ФНЧ-прототипа. Учитывая это, для минимизации погрешностей преобразования коэффициенты полиномов G p и V p ФНЧ-прототипа необходимо брать с точностью, не менее семи знаков после запятой.

В качестве примера при 14 выполним реактансное преобразование ФНЧ→ПФ операторной передаточной функции ФНЧ модели С05-5-29. Для этого фильтра

2

2

2

p

K p

i

И

i 1

,

Р

C p a

2 p2

2a

l

p a2

2

s

l

l

l 1

У

где 1 2,1556276;

2 3,3628698;

Г

as

0,9012600;

C 35,7520250;

a1 0,6340732; a2

0,1974284; 1 0,8407096; 2

1,1965788.

Осуществив подстановку в соответствии со вторым выражением (3.13) и последующие преобразования, получим следующее выражение для передаточ-

а

ной функции ПФ с частотно-симметричной ХРЗ:

K p p

4

p

2

2

5

p

2Б

2

2

,

i

C

2a p a

l

l

l

i 1

е

l 1

где 1 1,0799457;

2

0,9259723; 3

0,8870839;

4

1,1272887;

C 500,5283500;

т

0,0219652;

a

0,0233256;

a 0,0321878;кa

3

a4 0,0067495;

1

2

a5 0,0073525;

1 0,9994818;

2

0,9703642;

о

5

1,0445115. Воспользовавшись (3.14), так-

3 1,0304148; 4 0,9590417

;

и

же найдем, что полоса пр пускания рассматриваемого ПФ ограничена диапазо-

ном нормированных част т 0,9649234 – 1,0363516.

л

3.5 Особенности операторных передаточных функций линейных

звеньев

б

и

передаточные

функции

K p линейных

звеньев имеют

Операторные

важные особенности, которые можно эффективно использовать при моделировании СТК. Одна из них относится к передаточным функциям минимально-

фазовых звеньев и состоит в том, что функцию K p								минимально-фазового
звенаБможно восстановить, зная его АЧХ				K		.		K		некоторого ми-
С учетом этого предположим, что известна АЧХ
нимально-фазового звена. Значит, известна и его функция								(3.11) R 2 . В по-
следней,	основываясь на взаимосвязи K p p j K операторной и ком-
плексной	передаточных	функций,		выполним				замену			p j

	2k 1 k p2k , k 1,2,		переменной , в результате которой перейдем к
	функции	1 m p2m 1 m 1B1 p2m 2 Bm
	H p2				(3.15)
		C2 1 n p2n 1 n 1 A1p2n 2 An
	комплексного переменного		p. Она является дробно-рациональной функцией и

содержит в числителе и знаменателе полиномы с действительными коэффициентами по четным степеням p.

Полином по четным степеням обладает известным свойством: если число

щественности коэффициентов полинома его комплексные корниРвстречаются только комплексно-сопряженными парами. Последнее означает, что корни по-

p pk является его корнем, то число p pk – тоже корень, поскольку четная

функция не изменяет значения при изменении знака аргумента. В силу же ве-

линомов с действительными коэффициентами по четным степеням переменно-

го p располагаются на

комплексной

плоскости

симметричноИотносительно

действительной и мнимой осей,

т.е. обладают так называемой квадрантной

симметрией.

У

Полином знаменателя функции (3.15) не содержитГкорней на мнимой оси

p-плоскости, иначе в этих точках

K

,

что противоречит условиям фи-

Б

зической реализуемости. Из 2n его

выделим корни, лежащие в левой

полуплоскости,

и

обозначим их

p1

,

p2

,

…,

pn .

Образуем

полином

V p p p1 p p2

p

pn

а

правой полуплоскости

нахо-

.

В

дятся

корни

p1 ,

p2,

корней

,

соответствующие

полиному

…,

pn

V p 1 n p p p p

2

еp p .

Таким образом, полином знаменателя

1

n

т

о

функции H p2 разлагае ся на произведение полинома V p Гурвица и сопря-

оси

V

p .

женного с ним пол н ма

сл

теля функции (3.15) принципиально может содержать

Полином ч

корни на мнимой

. Согласно свойству квадрантной симметрии, эти корни

являются кратными, причем кратность k

.

2,4,6, . С учетом этого из 2m кор-

G pполиномаp p01 p p02

p p0m

Оставшуюся

половину

ней

числителя выделим все корни,

лежащие в левой полуплоскости,

и полов ну з каждых кратных корней,

находящихся на мнимой оси (если та-

Б

их

p01,

p02 ,

…,

p0m . Образуем

полином

ковые естьб). Обозначим

корней

обозначим

p01 ,

p02 ,

…,

p0m .

Им

соответствует

полином

m

p p01 p p02 p p0m

и,

значит, полином числителя есть

G p 1

произведение

полиномов

G p

и

G p .

Тогда

с

учетом

(3.15)

H p2

G p

G p

, причем

H p2 p j R 2

K

2 .

Последнее оз-

CV p

CV p

	начает, что любая из функций K p	G p		, либо K p	G p		, образован-
		CV p			CV p

ная по однозначному алгоритму формирования полиномов G p и V p , является операторной передаточной функцией линейного звена с заданной АЧХ K . От функции K p в соответствии с соотношением (3.9) выполняется пе-

реход к ФЧХ .

Таким образом, по заданной АЧХ линейного минимально-фазового звена с точностью до знака определяется его передаточная функция K p и с точностью до ФЧХ. Можно также показать, что, наоборот, по заданной ФЧХ можно найти с точностью до постоянного действительного множителя АЧХ звена, т.е. в минимально-фазовых линейных звеньях существует взаимно однозначное

ся так называемое главное значение .

соответствие между АЧХ и ФЧХ.

Р

При описании линейных звеньев СТК на комплексной плоскости иногда

используют операторную p и комплексную постоянные передачи:

p lnK p ,

И

У

(3.16)

p p j

ln

K

j A j ,

Г

где K p K операторная (комплексная) передаточная функция;

K

АЧХ (ФЧХ);

A ln

K

лог рифмическое затухание зве-

Б

понимает-

на; вследствие многозначности логарифмичес ой функции под

а

к

В случае минимально-фазового лин йного звена, операторная передаточ-

ная функция

K p которого, как изв стно, не содержит нулей в правой полу-

плоскости, имеет место равенс вое

где 0 фикс рованнаячастота.

1

1

2

и

d 0,

(3.17)

0

2 j

т0

Из равенства (3.17) после элементарных преобразований с учетом (3.16)

вытекают выражения

и

л1

1

A

Б

A 0

d , 0

d ,

(3.18)

б

0

0

которые показывают, что АЧХ (представляемая через логарифмическое затухание) и ФЧХ минимально-фазового звена связаны известными соотношениями Гильберта. Из них, в частности, следует: значение АЧХ (ФЧХ) на конкретной (фиксированной) частоте 0 определяется поведением ФЧХ (АЧХ) во всем частотном диапазоне от 0 до . Соотношения (3.18) позволяют напрямую найти, не прибегая к синтезу передаточной функции K p , одну частотную характеристику звена по его второй характеристике, которая с учетом возможности численного вычисления интегралов (3.18) может быть задана также табличным способом, т.е. по результатам экспериментальных исследований.

Как показано, в минимально-фазовом линейном звене по известной АЧХ можно синтезировать передаточную функцию K p и по ней найти ФЧХ. В неминимально-фазовом звене из-за наличия нулей функции K p в правой полуплоскости это проделать нельзя, и значит, отсутствует взаимно однозначная связь между АЧХ и ФЧХ.

С учетом этого предположим, что z корней полинома G p функции (3.8) находятся в правой полуплоскости. Из этих корней образуем полином V0 p . Из остальных m z корней, расположенных в левой полуплоскости и

Р	p ,
(или) на мнимой оси, сформируем полином G0 p . Тогда G p G0 p V0

и передаточная функция неминимально-фазового звена преобразуется к виду

K p G0 p V0 p CV p . Далее введем в рассмотрение

z корней, проти-

воположных по знаку корням полинома V0

p , и составим из них полином

У

V0 p Гурвица. Образуем передаточную функцию K0 p G0

p V0 p CV p ,

которая будет соответствовать минимально-фазовому звену.ИС учетом послед-

него имеем

V0 p

Г

K p K0 p

K0 p KФ p

(3.19)

V p

0

а

или, переходя к комплексным передаточным функциям,

j

к

Б

K

K

e

K0

e

0

KФ

e

Ф

,

(3.20)

откуда

K

K0

KФ

,

0 Ф .

(3.21)

т

Анализ комплексной пер даточной функции KФ показывает, что АЧХ

KФ

1, а ФЧХ Ф с рос еом частоты от 0

до монотонно убывает от

о

0 до

z , где z

– п ряд к п линома V0 p . Это с учетом (3.19) – (3.21) позво-

ляет

заключить

и

неминимально-фазовое

линейное

следующее. Произвольное

звено можноПоследнеепредстав ть последовательным соединением минимально- фазового звена, меющего одинаковую с ним АЧХ 0 , и немини-

мально-фазовогобзвена с идеальной АЧХ KФ 1 и монотонно убывающей ФЧХиФ . звено часто называют фазовымK контуромK , либо чисто

фазовым звеном. Очевидно, при заданной АЧХ минимально возможный

Б K

фазовый набег на любой частоте равен 0 . Он соответствует минималь- но-фазовому звену (звену минимальной фазы) с передаточной функцией K0 p . Одну и ту же АЧХ может иметь множество неминимально-фазовых звеньев, различающихся видом фазового контура. На границе этого множества находится минимально-фазовое звено, которое по сравнению со всеми другими звеньями множества обеспечивает минимальный фазовый набег. На использовании свойств (3.19) – (3.21) построена технология моделирования фазокорректирующих звеньев в СТК.

3.6 Взаимосвязь временных и частотных характеристик линейных звеньев

В процессе моделирования СТК часто возникает потребность перехода от частотных характеристик линейных звеньев к их временным характеристикам и от временных характеристик к частотным. Это можно выполнить на основе функциональной взаимосвязи, существующей между этими характеристиками. Используя такую взаимосвязь, можно, например, по известным АЧХ и ФЧХ,

полученным по результатам экспериментальных исследований, рассчитать им-

Р

пульсную характеристику звена и затем применить ее при математическом мо-

делировании искажений сигналов.

Предположим, что на вход произвольного линейного звена с комплекс-

ной передаточной функцией K подается воздействие Uвх

t t . Его спек-

тральная

плотность

безразмерна и

составляет

У

S

1

S

вх

Г

t ,

являю-

(см. подразд. 2.9). Поэтому спектральная плотность реакции U

щейся

импульсной

характеристикой

g t этого

Ивых

равна

звена,

будет

Sвых Sвх K K . Применяя

к

Б

Sвых

спектральной плотности

преобразование (2.47),

можно найти реакцию Uвых t ,

а применяя к реакции

преобразование (2.46), – спектральную плотность Sвых . Учитывая это,

к

g t

1

K ej td ,

K

g t e j tdt g t e j tdt,

(3.22)

поскольку g t 0

2

е

а

0

при t 0.

т

Таким образом,

характ ристика произвольного линейного

импульсная

звена и его комплексная переда очная функция связаны парой преобразований (3.22) Фурье, т.е. импульснаяохарак еристика единственным образом определяет его частотные характеристикии (АЧХ и ФЧХ) и наоборот. Поскольку по из-

вестной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику, то последняя также однозначно определяет (определяется) АЧХ и ФЧХ линей-

ного звена.бл При моде ировании линейных искажений сигналов в СТК возникает не-

обходимость в использовании звеньев с одинаковой формой АЧХ и ФЧХ, но с

разнымиигран чными частотами полосы пропускания, что связано с изменениемБмасштаба по оси частот. В связи с этим рассмотрим звено с комплексной передаточной функцией K1 . В соответствии с выражением (3.22) ей соответствует импульсная характеристика g1 t . Теперь перейдем к звену с передаточной функцией K2 K1 a (при a 1 частотные характеристики сжимаются, а

при a 1 – растягиваются по частоте). Подставляя эту функцию в первый интеграл (3.22) и выполняя замену xa переменной, найдем:

K

g

t

1

g

t

. Импульсной характеристике

g

t h t соответст-

a

2

2

1

a

1

1

вует переходная характеристика h1 t . Учитывая последнее, подставим выра-

жение для g		t в интеграл (3.3),	что дает h t h		t			. Отсюда вытекает, что
	2		2	1	a

растяжение (сжатие) частотных характеристик линейного звена по частоте в a раз сопровождается таким же по величине сжатием (растяжением) его переходной и импульсной характеристик по времени при одновременном увеличении (уменьшении) размаха последней в a раз. Важно отметить следующее. При изменении масштаба частотных характеристик по частоте и соответствующем изменении масштаба временных характеристик по времени размах переходной характеристики, в отличие от размаха импульсной характеристики, остается неизменным. Это необходимо учитывать при моделировании.

Функции (2.51) t

соответствует изображение p 1 (см. подразд. 3.2).

Р

Поступая аналогично, как при получении выражений (3.22), можно показать, что

импульсная характеристика

g t и операторная передаточная функция

K p ли-

И

нейного звена связаны прямым и обратным преобразованиями Лапласа:

1

a j

У

g t

K p eptdp,

K p

g t e ptdt.

(3.23)

2 j

Г

a j

0

Первый интеграл (3.23) очень ч сто используют при моделировании час-

тотно-временных характеристик звеньев СТК.

Б

Если на вход линейного звена с опер торной передаточной функцией

K p подано единичное ступенчатое воздействиеа

(2.59) Uвх t t , то ему со-

ответствует реакция Uвых t – п р ходнаякхарактеристика

h t , имеющая изо-

вых p K p

p. С уч

ом этого обратимся к предельным соотно-

бражение U

е

p . Тогда

шениям (2.63), в которых примем F

p Uвых

lim K p lim

h t h 0 ,

lim K p limh t h ,

(3.24)

p

t 0 0

p 0

t

где

h 0

h

т

– начальное (установившееся) значение переходной ха-

рактеристики звена.

о

Анализ поведенияиоператорной K p (см. (3.8)) и комплексной K пе-

редаточных

функций

линейного

звена

показывает,

что

lim K p

л

lim K p lim K K0 (K ,

K0 – действительные

lim

K K и

p

p 0

0

б

значен я), т.е. операторная и комплексная передаточные функции имеют оди-

наковоеизначение на частоте и одинаковое (но в общем случае другое)

значение на нулевой частоте (на постоянном токе).

БИз этого вытекает, что установившееся значение переходной характери-

стики отличается от нуля тогда, когда не равно нулю значение K0 АЧХ на по-

стоянном токе. С другой стороны, если АЧХ на бесконечно большой частоте имеет ненулевое значение K (при m n в модели (3.8)), то переходная харак-

теристика в момент времени t 0 0 принимает скачком значение K . С уче-

том взаимосвязи (3.3) и свойства (2.56) это означает, что в составе импульсной характеристики присутствует составляющая K t . В таком случае говорят, что -функция «прорывается» на выход моделируемого звена.

Предельные соотношения (3.24) широко используются при моделировании СТК. С их помощью непосредственно по передаточной функции K p довольно просто установить требуемые для анализа начальное h 0 и установившееся h значения переходной характеристики звена. Оценка значения h 0 , например, необходима для правильного выбора алгоритма моделирования по

формуле Дюамеля.

Р

И

У

Г

Б

а

к

е

т

о

и

л

б

и

Б

4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

4.1 Методы математического моделирования линейных искажений сигналов

Моделирование линейных искажений сигналов в СТК основано на нахождении реакции Uвых (t) исследуемого звена (канала) на континуальное детер-

дом на основе операционного исчисления. Методы отличаются используемым математическим аппаратом, каждый из них имеет свои преимущества и недос-

минированное воздействие. Принципиально это возможно осуществить несколькими методами: а) непосредственным численным решениемРдифференциальных уравнений; б) методом разностных рекуррентных соотношений; в) моделированием по формуле Дюамеля; г) спектральным Иметодом; д) мето-

менения. Поэтому решение поставленной задачи во многомУзависит от правильного выбора метода математического моделированияБ .

татки, степень проявления которых определяется конкретнымиГ условиями при-

Как показано в разд. 1, в общем случае СТК, являясь сложной, стохасти-

ными коэффициентами. Эту систему ур внений, по возможности, упрощают

ческой и адаптивной, может быть описана системой (1.10) обыкновенных стохастических нелинейных дифференци льныхаур внений I порядка с перемен-

к свойств конкретной СТК (конкрттного моделируемого звена). В частности, за-

ров – линеаризация ”) и приводят опр деленному виду, который зависит от

(упрощение выполняется по схемее“детерминиз ция – замораживание парамет-

дача математического моделирования линейных искажений сигналов соответ-

нений применяют в случаяхэто, когда аналитическое решение системы (1.10) отсутствует вообщелбо решение нецелесообразно использовать ввиду его сложностиби громоздкости. Очевидно, что метод численного решения уравнений является наи о ее мощным аппаратом анализа и синтеза СТК. Он пригоден для математического моделирования всех видов звеньев: стационарных, нестационарных, линейных, нелинейных и др. Механизм численного решения дифференцБальных уравнений хорошо разработан. Применительно к моделированию наибольшее распространение получили сравнительно легко программируемые самоначинающиеся численные методы, основанные на разложении в ряд Тейлора: методы Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта. Но их реализация требует хорошей математической подготовки, большого объема подготовительной работы, значительных затрат оперативной памяти ПЭВМ (что, впрочем, для современных ПЭВМ не так важно) и времени счета, особенно при решении системы (1.10) с большим количеством уравнений. Поэтому на практике данный метод моделирования обычно используют только тогда, когда невоз-

ствует детерминированной с ационарной линейной СТК, описываемой систе-

мой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Метод непосредственни го численного решения дифференциальных урав-

можно применение других, например, при моделировании нелинейных инерционных звеньев.

Метод моделирования по формуле Дюамеля основан на одной из четырех разновидностей интеграла Дюамеля. Эти разновидности непосредственно вытекают из двух симметричных форм (2.62) следствия из теоремы умножения изображений.

Рассмотрим линейное звено, описываемое операторной передаточной функцией K(p). Как известно, его переходная характеристика h(t)

имеет изображение, равное K(p) p. Подадим на вход звена произвольное
воздействие U	Р	(t).
	вх (t). На выходе звена ему соответствует реакция Uвых

Воздействию Uвх (t) и реакции Uвых (t) соответствуют изображения Uвх(p)

и Uвых(p).

Обозначим Uвх (p) F1

(p) и

K ( p) p F2 ( p) . Тогда

Далее

У

t

pF1(p) F2(p) Uвх(p) K(p) Uвых(p).

обратимся к соотношениям

Г

в

(2.62), которые с учетом использованных обозначений трансформируютсяИ

четыре известные разновидности интеграла Дюамеля:

t

'

Б

Uвых(t) Uвх(0)h(t)

Uвх'

( )h(t

)d ,

(4.1)

t

а

0

Uвых(t) Uвх(0)h(t) Uвх(t )h( )d ,

(4.2)

0

е

Uвых(t) Uвх(t)h(0) Uвх( к)g(t )d ,

(4.3)

0

о

t

(t )g( )d ,

(4.4)

Uвых(t) Uвх(t)h(0) Uвх

0

где Uвх

(0) lim Uвх (t)ти h(0) lim

h(t) – начальные значения воздейст-

л

t 0 0

t 0 0

вия и переходной характер стики звена;

g(t) h'(t) – импульсная характери-

стика звена.

и

дности

Разновидности (4.1) и (4.2) интеграла Дюамеля получены из первой, а

разнов

(4.3) и (4.4) – из второй симметричных форм (2.62) с дополни-

Б

тельным прбменением свойства симметрии интеграла свертки. На практике по-

всеместно спользуется разновидность (4.3). При этом необходимо отметить следующее.

Как показано в подразд. 3.6, начальное значение переходной характери-

стики отлично от нуля, когда степени полиномов числителя G(p)											и знаменате-
ля V(p)	передаточной функции K(p) (3.8) моделируемого										звена равны
(m n),	что соответствует ненулевому значению						K			АЧХ на бесконечно
большой частоте. Реальные звенья СТК имеют			K				0			и h(0) 0. С учетом

этого моделирование по формуле Дюамеля выполняют по формуле

t

Uвых(t) Uвх( )g(t )d ,	(4.5)
0

полученной из соотношения (4.3) при нулевых начальных условиях (h(0) 0). Нахождение аналитического выражения для реакции (4.5) в случае моделирования реальных звеньев (каналов) требует громоздких математических преобразований даже при простых формах воздействия и часто оказывается вообще невозможным при усложнении последнего. Поэтому на практике инте-

грал (4.5) вычисляют на ПЭВМ одним из методов численного интегрирования,
причем в большинстве случаев применяют алгоритм					Р
n		n	И
Uвых(n t) Uвых.n Uвх(k t) g((n k) t) t t Uвх.k gn k , (4.6)
k 1		k 1
где t – интервал дискретизации; Uвх.k	Uвх (k	У
		t); gn k		g((n k) t).
Выражение (4.6) получено заменой	интеграла (4.5) суммой способом

прямоугольников. Возможно привлечение более точных методов численного интегрирования, например, метода Симпсона, метода трапеций. Интеграл Дюа-

меля (4.5), преобразованный для согласования с ПЭВМ в (4.6), получил назва-
ние алгоритма дискретной свертки. В таком виде онГсравнительно широко ис-
		алгоритма
пользуется на практике при моделировании линейных искажений сигналов в
СТК.	к		Б
	Положительными свойствами			дискретной свертки являются

возможность моделирования лин йных звеньев с постоянными и переменными

параметрами, отсутствие сложной подготовительной работы, простота самого
	т
алгоритма. Однако обращение к выраж нию (4.6) показывает, что объем вы-
числений зависит от эффек ивнойедлительности эф импульсной характеристи-
	о
ки g(t) и выбранного ин ервала t дискретизации, т.е. от числа шагов на от-
резке времени, в	к рого импульсная характеристика практически за-

тухает. Поэтому рассматр ваемый метод выгодно применять только тогда, ко-
	л	значительно меньше длительности входного воздействия,
гда длительность эф
б
т.е. при моде ированиитечениепрохождения протяженных по времени сигналов через
и

широкополосные звенья (каналы). Если длительности воздействия Uвх (t) и им-

пульсной характеристики g(t) сопоставимы (что, например, характерно для телевБз онных (ТВ) систем), то для достижения требуемой точности интервал дискретизации приходится выбирать достаточно малым. В результате резко возрастает количество шагов счета, и быстродействие метода оказывается невысоким. Отметим также, что алгоритм дискретной свертки предполагает, что известна импульсная характеристика моделируемого звена, отсчеты которой необходимо предварительно вычислить (либо получить по результатам измерений) и хранить в памяти ПЭВМ. Это дополнительно снижает быстродействие метода и увеличивает необходимый объем оперативной памяти.

Метод разностных рекуррентных соотношений основан на цифровой модели исследуемого звена (канала). При ее построении импульсная характе-

ристика g(t) и операторная передаточная функция K(p) моделируемого аналогового звена считаются известными. Последняя используется для нахождения передаточной функции K*(z) эквивалентного дискретного звена. Как из-

соответствует невысоким значениям ст п ней характеристических полиномов

вестно, функция K*(z)

является дискретным преобразованием Лапласа (Z –

преобразованием) импульсной реакции g*(t),

соответствующей импульсной

характеристике g(t):

K*(z) gn*Z n,

(4.7)

n 0

где gn* – значения импульсной реакции g*(t); Z epT ; здесь T – интер-

вал дискретизации.

Если функция K*(z) может быть представлена дробно-рациональнойР

функцией вида

2

k

И

K*(z)

0 1z 2z

... k z

(k m),

(4.8)

1 1z 2z2

... mzm

У

то ее идентификация для дискретных значений реакции Uвых(t)

звена на вход-

Г

ное воздействие Uвх(t) приводит к рекуррентному разностному уравнению

U

вых.n

U

U

U

Б...

U

вх.n k

U

1

0 вх.n

1 вх.n 1

2 вх.n 2

k

1 вых.n

2Uвых.n 2 ... mUвых.n m.

(4.9)

Алгоритм (4.9) при небольшом

оличествеачленов в числителе и знамена-

теле функции (4.8) (что при задании пкр даточной функции K(p) в форме (3.8)

е

G(p)		о
	и V(p)), позволяет уменьши ь время счета по сравнению с алгоритмом
(4.6) дискретной свертки за			использования уже рассчитанных значений ре-
	и
акции Uвых(t). Однако присчетусложнении передаточной функции K(p) объем
	л

вычислении резко возрастает. Одновременно усиливается эффект накопления

ошибок по мере роста номера отсчета n. Это ограничивает применимость метода теми случаями, когда в качестве модели линейного звена (канала) исполь-

нии СТК. Вбчастности, он используется в большинстве современных программ

зуется	фильтр	(ФНЧ, ФВЧ, ПФ или ЗФ) невысокого порядка.
Спектральный метод получил широкое распространение при исследова-
Б

математ ческого моделирования линейных искажений сигналов. По этому методу реакция Uвых(t) моделируемого звена (канала) находится с помощью обратного преобразования Фурье

	1
Uвых(t)		Sвх( )K( )e j td		(4.10)
	2
спектральной плотности Sвых( ) Sвх( )K( ) реакции, где			Sвх( )	– спек-

тральная плотность воздействия Uвх(t), определяемая прямым преобразовани-

ем Фурье (2.46); K( ) – комплексная передаточная функция звена.

При моделировании в качестве воздействий Uвх(t) обычно используют сигналы, описываемые элементарными кривыми, что позволяет найти точное аналитическое выражение для Sвх( ). Если исследуется влияние только ам- плитудно-частотных либо фазочастотных искажений упрощенного вида, когда АЧХ (ФЧХ) аппроксимируется несложным соотношением, то сравнительно просто получается аналитическое выражение также для реакции Uвых(t). Применение в качестве модели канала (звена) четырехполюсника минимальнофазового типа в виде фильтра высокого порядка делает значительно более сложным выражение его комплексной передаточной функции K( ), что затрудняет определение точного аналитического выражения для реакции Uвых(t).

В этом случае интеграл (4.10) вычисляют на ПЭВМ методом численного интег-
				Р
рирования. Так же поступают при нахождении спектральной характеристики
Sвх( ), причем для уменьшения времени счета при многократном переходе от
			И
временного представления сигналов к частотному и наоборот используют алго-
ритмы быстрого преобразования Фурье.		У
Спектральный метод не накладывает ограничений на форму АЧХ и ФЧХ
	Г
моделируемого звена и способ их задания, он мало чувствителен к ошибкам ок-
	Б
	а

ругления, которые не накапливаются. Единичные ошибки как бы распределяются по анализируемому интервалукоторых, в результ те чего их амплитуда становится

незначительной. Известно, однакое, что интегралом Фурье представляются

функции, удовлетворяющие условию Дирихле и абсолютной интегрируемости полняется. Тогда дополни ельно обращаются к аппарату обобщенных функций

ление на ПЭВМ реакции Uтвых(t) звена (канала) на воздействие Uвх(t) осуществляется многократным бращением к алгоритму быстрого преобразования Фурье для переходалот временного представления сигналов к частотному и об-

(см. подразд. 2.8). При решении н задач последнее требование не вы-

( -функция, ее производныеои др.), что не всегда удобно. Кроме того, вычис-

ратного преобразования. Причем число обращений тем больше, чем меньше интервалбдискретизации. Последний уменьшают для увеличения точности рас-

четов. Поэтому, несмотря на использование алгоритма быстрого преобразования Фурьеи, спектральный метод моделирования, как и рассмотренные выше методыБмодел рования, требует значительных объемов оперативной памяти ПЭВМ времени счета.

Метод моделирования на основе операционного исчисления получает все большее распространение при анализе и синтезе СТК. В качестве воздействия Uвх(t) при моделировании линейных искажений целесообразно использовать сигналы, представляемые совокупностью одной или нескольких элементарных кривых (отрезков прямых, гармонических функций и т.д.). Операторное изображение Uвх(p) указанного воздействия, получаемое на основании прямого преобразования Лапласа (2.60), является мероморфной функцией комплексного

переменного p (однозначная функция называется мероморфной, если ее особенностями являются только полюсы), причем, не сужая круга применимости

модели, можно всегда выбрать такой вид Uвх(t), чтобы изображение Uвх(p) содержало только однократные полюсы, не совпадающие с полюсами операторной передаточной функции K(p) моделируемого звена (канала).

Зная изображение Uвх(p)						и передаточную функцию K(p), находим вна-
чале изображение	Uвых	(p)			Uвх		(p)K(p) реакции, а затем,		применяя обратное
преобразование Лапласа (2.61), – саму реакцию (выходной сигнал):
			1	a j				(p)K(p)eptdp,
Uвых(t)							Uвх		(4.11)
			2 j
				a j
Р											(p)
где путь интегрирования лежит правее особых точек функции U
										вых

(3.12) передаточной функции K(p), нетрудно установить, что вычисление ин-

(целая трансцендентная функция ept аналитична во всей открытой комплекс-
ной плоскости).				И
		(p) и задаваемой выражениями (3.8),
Учитывая свойства изображения	Uвх
			У
		Г
		Б

теграла (4.11) Римана-Меллина выполняется с помощью обобщенной теоремы
				азано
разложения (2.65), т.е. сводится к простой опер ции нахождения вычетов в од-
				к			(p)ept .
нократных полюсах мероморфной фун ции M(p) Uвых
		Важно отметить следующее. Как по			в подразд. 2.11, изображение
		(p)	периодического, в том числе в уз ом смысле, воздействия Uвх(t) про-
	Uвх
			т
извольной формы в качестве особых точ к содержит бесконечное число про-
стых			(однократных) полюсов еp j2 k T		(T		– период повторе-
			го	k

ния,k 0, 1, 2,...), расп л женных на мнимой оси комплексной плоскости. Ре-
	и	линейного звена на периодическое воздействие яв-
акция Uвых(t) устойчив
ляется тоже период ческой.			Поэтому при ее нахождении вычеты необходимо
вычислять то ько в по юсах			pk изображения		(p) воздействия (полюсы пе-
				Uвх
б		не учитываются). При нахождении реакции Uвых(t)
редаточной функции K(p)
и

звена на периодическоел

в узком смысле воздействие Uвх(t) принимаются в рас-

чет все полюсы: изображения Uвх(p) и K(p). Причем сумма вычетов функции

M(p) в полюсах изображения Uвх(p) дает установившуюся (периодическую) составляющую Uуст(t), а сумма вычетов в полюсах функции K(p) – переход-

ную (затухающую) составляющую реакции U	вых	(t) U	уст	(t) U	пер	(t).
Б

Очевидно, что аппарат операционного исчисления хорошо согласуется с описанием звеньев в виде (3.8). Он позволяет сравнительно просто получить точное аналитическое выражение реакции Uвых(t), для определения численных значений которой необходимы, как правило, небольшие объем оперативной памяти и машинное время. Преимуществом этого метода моделирования явля-

ется возможность его использования при воздействиях Uвх(t), не удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости. Все виды применяемых на практике функций представимы интегралом Лапласа (2.60). С учетом сказанного рассматриваемый метод рекомендуется использовать при математическом моделировании линейных искажений сигналов в сочетании с описанием (3.8), (3.12)свойств линейных звеньев.

4.2 Математическое моделирование линейных искажений измерительных сигналов

СТК в целом, при выполнении которых обеспечиваются малые (допустимые)

При синтезе СТК возникает необходимость определения обоснованныхР допусков на неравномерность АЧХ и нелинейность ФЧХ отдельныхИзвеньев и

непосредственно по видеочастоте) либо ПФ (при передаче на несущей частоте).

процесса прохождения измерительных сигналов в исследуемомУканале (звене). В качестве модели последнего часто используютБФНЧ (при передаче сигнала

линейные искажения передаваемых (принимаемых) сигналов. Эффективным способом нахождения поля допусков является математическоеГ моделирование

Выбирая соответствующим образом характеристики ФНЧ (ПФ) и рассчитывая для каждого случая форму сигнала на выходеа, можно установить обоснованные допуски на неравномерность АЧХ икнелинейность ФЧХ моделируемого канала.

С учетом этого рассмотрим единичный модулированный скачок U (t) и периодическую последовательность Uп(t) прямоугольных импульсов (рису-

нок 4.1, а, б):			е1, iT,iT ,
	cos( 0t 0 ),t 0,
U (t)		о	Uп	(t)	, (i , ).			(4.12)
	0,t 0,			0,	iT ,(i 1)T
Эти воздействия испльзуют				при математическом и физическом модели-
ровании искажен й с гнал в в каналах типа ФНЧ и ПФ. Кроме того, линейной
	л		(t), Uп(t) и их сдвигов по времени с достаточ-
суперпозицией воздейств й U
ной степенью точностиипредставляются многие из нормируемых в СТК измери-
тельных сигна ов и их элементов. Поэтому, имея реакции h (t) и hп(t)								на воз-
и			и Uп(t) и учитывая свойство линейности пре-
действ я соответственно U (t)
Б

образованбя Лапласа, можно составить выражение для реакции моделируемого звена (канала) на интересующий измерительный сигнал.

Для нахождения реакций h (t) и hп(t) воспользуемся методом моделирования на основе операционного исчисления. В соответствии с его процедурой с помощью прямого преобразования Лапласа (2.60) найдем изображения воз-

действий U (t)			и U п (t ) :	U	(p) ( pcos 0 0 sin 0 ) ( p2 02 );
		(p) (1 e p )	(1 e pT ). Анализ функций				(p) и		(p) показывает, что
	Uп					U		Uп

их особыми точками являются однократные полюсы. С учетом свойств опера-

торной передаточной функции K(p), задаваемой выражениями (3.8) и (3.12),

изображения h (p) и hn(p) реакций также имеют в качестве особых точек только простые полюсы. Поэтому для нахождения самих реакций h (t) и hп(t) в соответствии с обобщенной теоремой разложения (2.65) необходимо по алго-

ритму (2.67) вычислить

вычеты

в

однократных

полюсах

функций

M (p)

(p)K(p)ept

и Mп(p)

(p)K(p)ept .

U

Uп

U t

Р

1,0

0

И

0

t

-1,0

У

Un t

а)

Г

Б

1,0

б)

0

T

T 2T

2T

а

t

к

Vu t

Uu t

е

Uu t

Vu t

1,0

т

0

/2k

/k

о

в)

t

Рисун

r

as cos 0

0 sin 0

ast

л

к 4.1 – Входные воздействия

Выполнив необход мые преобразования, имеем:

h (t)

K( 0)

cos( 0t 0 ( 0))

Kse

(as2

02)

и

alt

s 1

Б

q

б

Kl

e

(( 2

( 2

2

a

2)cos

0

2((

2

2

a2)

2 (2a

)2)

l

0

l

l

l 1

l

0

l

l

l

l

2al l2 0 sin 0)cos( lt l ) (al l ( 02 l2 al2)cos 0

2

2

2

(4.13)

0 l( 0

l al

)sin 0)sin( lt l));

alt

r

1

1

q

Kl

e

l11

hп(t)

K(0) Kse ast (

)

((

al211 l211

iT, iT

s 1

as11 as22

l 1

l

l22

)cos(

t

) (

al11

(a2

2 )eal (T )

l

l

a2

2

l22

l22

l11

l11

al22

)sin( lt l ));

(4.14)

(al222 l222)eal (T )

r K

s

e ast

a

q

Kl

e alt

a

h (t)

(e s

1)

(

e l

a

п

s11

l

2

2

l11

iT,(i 1)T s 1

l 1

(al11

l11)

cos(

(t )

)

l11

cos(

t

l

) a

eal

sin(

(t )

)

l

l

l

l11

l

l

al11sin( lt l )),

(4.15)

где K( 0)

K( 0)

ej ( 0)

(K(p))p j ;

Р

K

ej l ((p2

2a p a

2

2)K(p))

0

;

l

p a j

l

l

l

Ks

((p as )K(p))p as ;

i 0, 1, 2,...;

l

l

al11

(1 e

alT

cos

T

al

alT

sin

T

l

e

;

l11

l

l

l

al

as11 as (1 e asT ); as22 as (1 easT ) eas ;

Г

И

al22

al

Б

п

l

alT

alT

У

(e

sin l sin l (T

cos l cos l(T ))

(e

))

.

l22

l

al

а

Отметим следующее. Как показано в подразд. 2.11, при нахождении ре-

акции звена на периодическое воздействие (т ковой и является h

(t)) исполь-

к

зование общепринятого подхода к вычислению интеграла (4.11), состоящего в

е

приводит к представлению

применении известной теоремы Коши о вычетах,

реакции тригонометрическим рядом Фурье. В отличие от этого выражения (4.14) и (4.15), полученные с использованием нестандартного подхода к вычис-

лению контурного интеграла, предс авляют реакцию в любой точке периодиче-
та.			рядом
ского интервала не			Фурье, а конечной суммой (в замкнутом виде), число
слагаемых которой			пределяе ся порядком передаточной функции K(p). Это
уменьшает время счета на ПЭВМти повышает наглядность выходного результа-
		л		lim	h (t)	и h (t) lim		h (t)в со-
	Преде ьными переходами h(t)
	и	и		0 0, 0 0		1	T	п
отношениях (4.13) – (4.15) просто получить необходимые во многих случаях
выражен я для переходной характеристики h(t)					исследуемого звена (канала) и
Б
его реакцбh (t) на одиночный прямоугольный импульс. Одновременно
		1	h(t), 0, ,
								(4.16)
		h1(t)
			h(t) h(t ), , .
Соотношение (4.16) очень удобно для практического применения.
	Анализ построенных математических моделей (4.13)						– (4.16)	с учетом

выполнения по ним количественных расчетов на ПЭВМ показывает, что с целью упрощения составления программ и уменьшения объема работ по подготовке данных все программы расчета прохождения сигналов, независимо от используемой системы программирования, целесообразно разрабатывать на базе

единой подпрограммы (процедуры), реализующей машинный алгоритм вычис-

ления параметров K( 0),

K( 0)

, ( 0), Ks ,

Kl

и l , входящих в модели

(4.13) – (4.15). Обращение к определению этих параметров и выражениям (3.8),

(3.12) показывает, что величины K( 0),

K( 0)

и ( 0) представляют собой

численные значения соответственно комплексной передаточной функции, АЧХ и ФЧХ фильтра – модели исследуемого звена (канала) – на частоте 0. Поэтому упомянутая единая подпрограмма (процедура) является также основным элементом программы расчета частотных характеристик моделируемого канала.

В качестве примера составления на основе соотношений (4.13) – (4.15) математических моделей прохождения нормируемых измерительных сигналов найдем выражение для реакции Vu (t) на воздействие Uu (t) в виде sin2 им-

тая функция (2.59)), и воспользуемся теоремой з паздывания. В результате по-

пульса, наиболее часто применяемого при проектировании и эксплуатации ТВ

систем (рисунок 4.1, в)

Р

0, k ,

И

2

kt,

sin

Uu (t)

У

(4.17)

0, 0, k .

Для упрощения нахождения изображения

Uu

(p) рассматриваемого сиг-

нала представим функцию f (t) sin2 kt

в виде

Г

f (t) 0,5(1 cos2 kt), учтем,

что (t) 1 1 p и (t) cos2 kt

p

2

(p

2

2Б

4 k )

( (t) единичная ступенча-

а

к

лучим

		т						p
			1		1							p
	Uu	(p)		(				2	2	)(1 e k		).	(4.18)
2					p еp 4 k

Выражение (4.18) показывает, ч о воздействие Uu (t) представляет линейную

и

единичного воздействия, включающегося в мо-

суперпозицию ступенчат

мент t 0 косинусо дальнгонапряжения с частотой

2 k и нулевой начальной

фазой и их сдвига на время k . С учетом этого сразу приходим к выражению

Vu

(h(t) h

(t)) 2, 0,

k

,

(4.19)

(t)

1

и

л(h(t) h

(t) h(t

k

) h

(t

k

)) 2,

k

, ,

Б

1

1

h

(t) (h (t))

.

где

0 2 k , 0 0

б1

Соотношение (4.19) есть результат математического моделирования прохождения через исследуемое звено (канал) с заданными частотными характеристиками измерительного сигнал в виде sin2 импульса. Возможности модели позволяют исследовать линейные искажения в каналах минимально- и немини- мально-фазового типов, что объясняется принятым в форме (3.8) описанием линейных четырехполюсников.

4.3 Универсальный метод расчета линейных искажений сигналов

В процессе математического (физического) моделирования линейных искажений в СТК, наряду с непериодическими воздействиями, также широко применяются периодические. При их использовании реакцию моделируемого звена (канала) целесообразно представлять не тригонометрическим рядом Фурье, а в замкнутом виде. Это упрощает вычислительную процедуру, устраняет свойственные применению тригонометрического ряда проблемы улучшения

сходимости и оценки точности, повышает наглядность результата.	Р
Такие методы представления в замкнутом виде реакции линейной систе-

мы на периодическое воздействие известны. Они основаны на преобразовании (сворачивании) описывающего реакцию тригонометрического ряда одним из методов гармонического синтеза либо на непосредственном решении векторного (скалярного) дифференциального уравнения пространства состояний и по-

следующем представлении реакции сверткой воздействия и периодической
		И
функции Грина или в виде интегрального преобразования воздействия с ядром,
содержащим матрицу перехода. Известные методы отличаются сложностью,
	У
Г
Б
необходимостью проведения громоздких математических преобразований, зна-
чительных по объему даже для простейших воздействий и невысоких порядков

дифференциального уравнения (перед точной функции), плохим согласовани-

ем с используемым в инженерной пр	описанием свойств СТК. Поэтому
они практически не применяются.
Для нахождения реакции лин йнойасистемы на периодическое воздейст-

вие в замкнутом виде воспользу мся сл дующей теоремой и следствием из нее.

Теорема. Если на

ктике

имеет все

0,T д йствительная функция (t)

производные и

(u)

(t)

u 1

е

то при любом t 0,T преобразо-

ML

(u

0,1,2,...),

вание

(p)

t (t)e ptdt

представляется в виде

(p) F

(p)e pt

F

(p),

0

интервале

(p)

и F

1

0

где функции комплексного переменного F

(p) аналитичны в области

о

1

0

p

L и стремятся к нулю при

p равномерно относительно arg p.

Следствие.

и

(p)

–

дробно-рациональная функция, то функция

Ес и

F 0

л

F 1(p) тоже дро но-рациональна и многочлен ее знаменателя совпадает с мно-

гочленом знаменателя функции F

(p).

б

0

Очев дно, что если функция (t)

удовлетворяет условиям теоремы на

и

то F 0(p) (p), где (p) – изображение

полубесконечном интервале 0, ,

поБЛапласу функции (t). При условиях теоремы также справедливо соотно-

шение

(u)

(0)

u 1

t

u

(t)

tu

ML

MLeLt ,

u 0

u!

u 0

u!

и, значит, в класс охватываемых теоремой функций попадают все (имеющие производные), которые возрастают не быстрее функций экспоненциального типа. Они, как показано в подразд. 2.11, преобразуемы по Лапласу.

Введем в рассмотрение действительную функцию (t), определяемую на интервале 0, , удовлетворяющую на конечном интервале 0,T условиям приведенной теоремы, а также функции (рисунок 4.2):

f0 t

ft

ft

Р

f0 t

0

t1

t2

T

t1+T t2+T

2T

3T

t

Рисунок 4.2 – Воздействия t , 0 t

И

2,t

(i 1)

2

(t

t

) ,

У

(t), (i 1)(i 2)t

2

iT

1

1

1

(t)

2 , t

(i 1)

2 (Гt t ), ,

0, ,(i 1)(i 2)t

1

1

2

1

Б

(t) iT (t), 0,T ,

(t), ht1, ,

i

h

(t)

(t T),( , ),а

i

к

0,( ,ht1),

(4.20)

где0 t

t

2

T ;

i 0,1,2;

h 0,1.

1

е

С учетом полученных сведений найдем реакцию линейной системы, опи-

сываемой операторной передат чной функцией K(p)

(3.8), (3.12), на периоди-

т

о

ческое воздейств е 0(t). Для этого вначале рассмотрим воздействие 1(t) (см.

(4.20), рисунок 4.2). В

соответствии

с

(2.64)

его изображение

б

и

t1

pt

1(p) 1T

(p)

(1 e

pT

)

(p) (t)e

dt

содержит

бесконечное число

1T

и

л

0

Б

0), расположенных на мни-

однократных полюсов (корней уравнения 1 e pT

мой оси p плоскости. Как показано в подразд. 4.1, при нахождении реакции на периодическое воздействие вычеты необходимо вычислять только в полюсах его изображения. Поэтому реакция 1(t) системы на воздействие 1(t) будет определяться выражением

1 1 jR

(p)K(p)

1 2 jR

(p)K(p)

eptdp lim

1T

eptdp. (4.21)

1

(t) lim

1T

1 e pT

1 e pT

R 2 j

1 jR

R 2 j

2 jR

Контур интегрирования охватывает мнимую ось комплексной плоскости, на которой расположено бесконечное число полюсов (рисунок 4.3, а). Поэтому

стандартный подход вычисления (4.21) (теорема Коши о вычетах) приводит к реакции в форме ряда Фурье.

p

p

K

Q

CR,

CR

R

1

Р

2

L

И

S

O

- pn

, pof, pok

- pob

1T

У

a)

б)

p1b,p1f, p1k

Рисунок 4.3 – Расположение контуров интегрирования

В соответствии с теоремой изображение

(p) представим в виде

(p) F1(p)e pt1

F0

(p).

Г

(4.22)

1T

Далее обозначим: p

а

передаточной функции K(p);

полюсы (однократные)

'

'

'

точки

(Бполюсы, существенно особые)

pob(p1b ),pof (p1f

), pok

(p1k ) особые

функции F0(p) (F1(p)), расположенные

соответственно на действительной,

ми p0b, p0 f , p0k

. Для

акжесчитаем,

что все полюсы

p

не совпа-

мнимой осях и вне осей компл ксной плос ости (особую точку p

0

относим к

pof (p1f )); p1b, p1f , p1k

точ

к

0

1

которые не совпадают с точка-

те из

p1b, p1f

, p1k ,

упрощения

F (p) и F (p). Возьмем в уравнении (4.21)

дают с особыми точками функций

также 1 и 2 ,

при

p ,

p

, p

и

p1k лежали: в правой полуплоскости

чтобы т чки

л

0b

1b

0k

правее прямой Re p 1,

в левой – левее прямой Re p 2 (рисунок 4.3, б). Это

всегда можно сде ать

изолированных особых точках.

С учетом из оженного и соотношения (4.22) преобразуем уравнение

(4.21):

1

jR

2 jR

p(t t )

1

p(t t )

б1

(t) lim

F (p)K(p)e

1

dp lim

F (p)K(p)e

1

dp

1

R 2 j

1

1

R 2 j

1

и

jR

2 jR

Бlim

1

jR

F1(p)K(p)

1

jR

F1(p)K(p)

1

ep(t t1 T)dp lim

2

ep(t t1 T)dp

pT

pT

R 2 j

1

jR

1 e

R 2 j

2

jR

1 e

1

jR

1

jR

lim

1

F (p)K(p)eptdp lim

2

F (p)K(p)eptdp

R 2 j

0

R 2 j

0

1

2

jR

jR

1		1 jR	F (p)K(p)		ep(t T)dp lim		1	2 jR	F (p)K(p)		ep(t T)dp
lim			0						0
			1 e	pT					1 e	pT
R 2 j		1 jR			R 2 j			2 jR
8
1x(t).											(4.23)
x 1
					2						6
Для вычисления в (4.23) сумм 1x (t)							первого и второго и 1x(t) пя-
					x 1						x 5

того и шестого слагаемых применим теорему Коши. С учетом введенных обо-

2		6
значений при нахождении суммы 1x (t)		1x(t)		вычеты берутся в осо-
x 1	x 5

бых точках p1f (pof ).

Полученное решение справедливо на всем интервале

, .

Р

Согласно теореме lim F

(p) 0. Помня это,

из дуг окружности радиу-

p 1(0)

И

сом R, расположенных левее (правее) прямых Re p

2

(Re p

), и отрезков

У

1

последних образуем замкнутые контуры интегрирования

и '

, проходимые

в отрицательном направлении (см. рисунок 4.3,

ГR

R

б). Учитывая (3.8) и (3.12) и

лемму Жордана, устанавливаем, что на дуге C

'

R

(БC )

R

F (p)K(p)e

pT

p(t t )

F (p)K(p)

p(t t T)

lim

1

e

1

dp 0, lim

1

e

1

dp 0,

pT

pT

R

1 e

а

CR

R

'

1 e

C

R

(4.24)

к

причем первое равенство справедливоепри t t1 0, второе –

при t t1 T 0.

4

Тогда при вычислении суммы

1x (t) правомерно (с учетом временных ин-

x 3

тервалов,

где

т

вы равенства (4.24)) заменить предшествующее пре-

дельному переходу

о

нтегр рование вдоль отрезка KS (OQ) прямой Re p 2

и

R

'

(Re p 1) интегрированием вдоль контура

( R ) и воспользоваться теоре-

мой

о вычетах, которые здесь берутся по полюсам

p

функции K(p) и

справедл

особым точкам p1b ,

p1k

функции F1(p).

б

8

Поступая аналогично при вычислении суммы

(t)

и выполняя не-

1x

Коши

Б

8

x 7

приходим к выражениям 1в(t)

сложные преобразования результата 1x(t),

x 1

и1n(t), представляющим реакцию 1(t) на интервалах (0,t1) и (t1,T) соответственно. Далее формальной заменой t1, F1(p) на t2, F2(p) в выражениях 1в(t)

и1n(t) получаем соотношения для 2в(t) и 2n (t) – реакции системы на воз-

действие 2(t) (см. (4.20)). Функция F2(p) аналогична функции F1(p)в случае

воздействия 1(t). Наконец, учитывая равенство 0(t) 2(t) 1(t) и свойство линейности преобразования Лапласа, находим реакцию 0(t) на воздействие0(t) (см. рисунок 4.2):

0д(t)

0

1

F (p)K(p)

(t)

res

F (p)K(p)ept

1

res

1

ep(t t1)

e

pT

0в

0

p

1 e pT

(t)

p0 f , p0k ,

pT

p0b

0

e

0n

0д(t) 0(t),(0,t1)

Р

p(t t

F (p)K(p)

) 1

res

2

e

2

1

,

0в(t) 0(t),(t1,t2)

.

(4.25)

1 e

pT

pT

p

И

(t)

(t),(t

,T)

e

0n

0

2

На практике для решения задач моделирования линейных искажений в

СТК можно ограничиться воздействиями 0(t),

У

F0(p)

для которых функция

дробно-рациональна и имеет простые полюсы (дробно-рациональная функция

не имеет других особенностей, кроме полюсов). При этом функции

F1(p) и

Б

F2(p) также дробно-рациональны, причем многочлены знаменателей функций

Fz (p)

(z 0,1,2)

совпадают (см. следствие из теоремыГ), и степень многочлена

а

числителя каждой из них меньше ан логичной многочлена знаменателя (по-

к

d

m

скольку функции 1 2 T (p)аналитичны во всей открытой

p плоскости). По-

этому целесообразно представить

Fz (p) Az (p)

B(p),

(4.26)

где Az (p)

– многочлен числи

ля,

B(p) p (p2 2f ) (p ab)

е

f 1

b 1

n

и

(p2 2ak p

– многочлен знаменателя, содержащий простые кор-

ak2 k2)

k 1

т

ни;

ab(k)

0;

л

о0.

f

(k)

Учитывая (3.8), (3.12), (4.26) и принятое ранее предположение о несовпа-

дении полюсов

p

с особыми точками функций Fz (p),

заключаем, что нахож-

и

по выражению (4.25) сводится к вычислению вычетов в простых

ден е реакц

Б0д

p

,

p

и

p

функции

(p) и в простых полюсах

p

функций

полюсах

0b

0k

0

б0 f

1(p)

2(p)

( z (p) Fz (p)K(p)). Проведя вычисления и последующие пре-

образования, имеем

(t)

d

K f

N0 f

m

(t)

K

N

t

K

N

e abt

sin(

)

0в

0

00

f

f

0 f

b

0b

f

(t)

f 1

b 1

0n

n

Kk

N0k

0

r

DST

a

t

a

t

a t

'

k

s

s 1

k

e

sin( kt k 0k )

1 Kse

(N1se

DST

k 1

s

1

0

DST'

D

DlT

E

a

t

ST

q

Kl

a

t

a t

'

lT

N2se

s

2

DST

e

l

N1l

e

l

1

( DlT sin( l (t t1) l 1l) ElT

'

l

'

E

l 1

lT

DST

DlT

Р

D

И

)

lT

cos(

l

(t t )

l

N

2l

ealt2

D

sin(

(t t

2

)

l

2l

)

1

1l

lT

l

D'

У

lT

ElT

Б

ElT cos( l(t t2) l

2l ) ,

(4.27)

Г

ElT

а

где

к

1

K0, p

0,

е

p j

,

K

f

ej f

,

f

1

1

Kb , p ab ,

K(p)

т

Kk

ej k , p ak j k ,

1

p as

о

, p as ,

Ks

2

2al

2

2

Kl

e

j l

, p al

j l ,

p

p al

l

и

p

N00 , p 0,

N

e

j

0 f ,

p j f ,

p2 2f

0 f

F0 (p)

p ab

N0b , p ab ,

2

л

2

2

j 0k

,

p

2ak

p ak

k

N

0k

e

p ak j k ,

Б

бN , p a

,

F (p)

zs

s

z 1,2;

N

ej zl , p a

j

,

z

и

zl

l

l

'

(e asT 1) 1;

D

ST

(1 easT ) 1;

D

ST

E

lT

ealT sin

T U

lT

;

D

'

(ealT cos

T e2alT ) U

lT

);

(4.28)

l

lT

l

1 ealT cos lT /UlT .

UlT

1 2ealT cos lT e2alT ;

DlT

Выражения (4.27) представляют реакцию линейной системы, описываемой (3.8), (3.12), на произвольное периодическое воздействие 0(t) в замкну-

том виде. Их программирование существенно упрощается при использовании упомянутой в подразд. 4.2 единой подпрограммы (процедуры).

Выражения (4.27) – результат разложения реакции по конечной неортогональной системе функций, образованной из “собственных функций воздейст-

вия” (ep0 f t ,ep0bt ,ep0kt ) и “собственных функций линейной системы” (ep t ). Для заданного воздействия и заданной системы входящие в них коэффициенты, определяемые соотношениями (4.28), неизменны. Это и конечное (малое) число слагаемых уменьшает объем вычислений.

Выражения (4.27) обладают общностью, пригодны для периодических и
				Р
непериодических воздействий (в т.ч. для рассмотренных в подразд. 4.2 воздей-
ствий U (t) и Uп(t)). Действительно,		выполняя в них необходимые из пре-
дельных переходов при t1 0, t2		и T		И
			, можно получить выражения
для реакции на воздействия 2(t),	0T (t), 2T (t) и h (t) (см. (4.20)). Очевидно,
что в случае h (t) функция (t) должна удовлетворять условиям теоремы на
интервале 0, .			Г
			Б
Принципиально выражения (4.27) применимы такжеУпри кратных полю-
сах функций K(p) и Fz (p) и (или) совпадении их полюсов. В этом случае не-
		а
обходимо вначале все полюсы положить простыми и несовпадающими, а потом
выполнить в (4.27) предельные переходы, ведущие к совпадению соответст-
вующих простых полюсов.	к
Для сравнения рассматриваемого универс льного метода расчета и мето-

да на основе ряда Фурье получим выражение для реакции 0(t)

(на воздейст-

вие 0(t)), используя при

этом

1

общ принятый подход к вычислению интегра-

лов (4.21):

о

е

0(t) 2T

(0) 1T (0)

K0

2

j t

Re 2T ( )K( )e

и

T

T

л

2

j t

T

Re 1T ( )K( )e

,

(4.29)

б

1

( )

(p) p j

где 1(2)T (0)

1(2)T

(p) p 0

;

1(2)T

1(2)T

;

и

; K

K(p)

; 2 T .

K( ) K(p)

Б

p

0

p

0

j

Выражение (4.29) представляет результат разложения реакции линейной системы, описываемой передаточной функцией K(p), по бесконечной ортого-

нальной системе функций ep t ( p j ), которая определяется периодом T

повторения воздействия.

Как известно, корректное применение ряда Фурье в задачах моделирования искажений сигналов, помимо значительных вычислительных затрат, обусловленных плохой сходимостью тригонометрических рядов вообще, сопряжено с проблемой оценки сходимости решения и его точности. Получить такую

математическую оценку в большинстве случаев весьма затруднительно. Кроме того, при переходе от периодического воздействия 0(t) к непериодическому0T (t) выражение (4.29) теряет силу и в этом смысле не является общим. Поэтому при необходимости одновременного использования периодических и непериодических воздействий приходится применять разные выражения и соответственно разные алгоритмы и программы расчетов, что на практике неудобно.

С целью иллюстрации свойств сравниваемых методов из выражений

(4.27) и (4.29) получены расчетные соотношения для реакции ФНЧ третьего по-
рядка (модель С03),																																									имеющего																				операторную																															Р
																																																																																		передаточную														функ-
циюK(p) (p2																										2 )								(c(p a )(p2																					2a							p a2 2)), на периодическую (с пе-
																																													1															2						2								2															И
риодом T ) последовательность идеальных прямоугольных импульсов с ампли-
тудой U0																		и длительностью , фронт одного из которых совмещен с началом
координат:																								2														(a2													2 )(ea1T									ea1 )e a1t																							У
																			U			0													U		0
0b (t)																																										1
													ca (a2												2)										ca ((a											a							)2 2)(1 ea1T )
																		1				2						2									1							1							2									2										Б
																																																																													Г
																																					U0e a2t
		c			2			((a									a				2		)2							2)(a2															2)(1 2ea2T														cos T e2a2T )
												1																	2							2								2																					2
((B (ea2T																		cos								2	T e2a2T ) B ea2T sin T)cos																																									2	t (B (ea2T cos T e2a2T )
					2																																								1												2																			1													2
B e							a2T					sin T)sin																				t		(B									(1 e							a2T					cos T) B e																a2T				sin							2	T)e				a2		cos			2	(t )
			2																	2											2									2																				2 а1
(B (1 e																	a2T			cos T) B e																				a2T				т													a2										(t )),																												(4.30)
																																													sin								T)eкsin
				1																							2									2																2														2
													U						(a				2						2		)e			a T			(1 e									a							еa t																						U					e	a			2	t
																		0																1													1				)e					1																						0
0n(t)																						1
																		c((a								a				)2								2)(1 ea1T )																								c ((a									a						)2 2)(a2													2)
																									1				и																																			2						1						2									2				2			2
																													2									2
																								1																			((B					2	(ea2T cos														2	T e2a2T ) B ea2T sin T)cos																																	2	t
												a					T																																																																		1								2
	(1 2e																		cos 2T e															2aоT
															2																					2				)
										a2T								б2													2a2T																a2T																																	a2T												2a2T
(B1(e																cos 2T e																				) B2e															sin 2T)sin 2t																			(B2(e													cos 2T								e				)
B1e						a2T																					a2														) (B1(e																a2T					cos2 T								e				2a2T					) B2e							a2T			sin 2T)
												sin 2T)лe cos 2(t
e			a2						sin										(t )),																																																																												(4.31)
									и																																														U0						2									2
0(t)																																																											(					)
																															2							2										2																	2											2							2						2						2	2
										1
																																		a2 2 ) 2a1a2 )																																	a1													a2 2 2a2 )
	Бc (( (
(((							(					2				a				2								2) 2a a																			)(1 cos														) a											2			a					2		2						2a					2
																				2								2								1 2																																1												2					2						2
sin										)cos																t ((									( 2						a						2								2) 2a a															)sin										(a ( 2											a2					2)
																																															2							2								1 2																							1							2				2
2a										2)(1 cos																			))sin													t) U													2	/			ca				a			2						2			T ,																				(4.32)
				2																																															0										1				2							2

где B 2a			2			(a	2a	2	) (a2				2	2 )(a2			a a		2	2);
1		2	2			1					2		2	2				1			2
B	2	2a			2	(a2 a a				2	2)		2	(a 2a	2	)(a2		2			2 ).
		2				2	1				2			1			2			2

Выражения (4.30), (4.31), представляющие реакцию в замкнутом виде, содержат всего шесть (пять) слагаемых, чем выгодно отличаются от соотношения (4.32) – реакции в форме тригонометрического ряда Фурье.

На основании полученных сведений вытекает следующий алгоритм расчета линейных искажений сигналов по рассматриваемому методу:

в виде (3.8), (3.12) представляется математическая модель системы (кана-

ла);					Р
проверяется, удовлетворяет ли (образующая) функция (t) (см.						рису-
нок 4.2) условиям приведенной теоремы;				И
находятся функции Fz	(p) (z 0,1,2), которые представляются в					виде
(4.26);			У
		Г
по формулам (4.28) вычисляются значения параметров, которые подстав-
ляются в выражения (4.27).		Б

Алгоритм расчета не предусматривает сложных математических преобразований, соотношения (3.8), (3.12) и (4.26) описывают достаточные для практики моделирования множества систем и воздействий, выражения (4.27) применимы также для непериодических воздействий. Это делает рассматриваемый метод расчета универсальным, пригодным для моделирования линейных иска-

жений различных континуальных детерминированных сигналов (периодиче-
ских, непериодических финитных, н п риодическиха								бесконечно протяженных).
							к
						е
					т
				о
			и
		л
	б
и
Б

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первом разделе рассмотрены общие принципы описания, показатели качества и оценка точности СТК, обладающих триединым свойством сложности, стохастичности и адаптивности. Дана сравнительная характеристика их методов анализа и синтеза, включая оптимизацию параметров. Проанализированы этапы процедуры математического моделирования СТК. Сформулированы особенности последних как объекта моделирования и основные требования

к многофункциональной моделирующей программе. Рассмотрено неформаль-

перехода от формального описания к математической модели и технологияРих применения при выполнении этапов оптимизации: функциональной (структур-

ное и формальное описание СТК, показана целесообразность оптимизации

формального описания. Представлены современные подходы к проектирова-

нию СТК и способы их декомпозиции. Проанализированы основные принципы

	ной) схемы; математических моделей звеньев; математических моделей сигна-
	лов.		И
		Во втором разделе дана характеристика сигналов и помех в СТК. Рас-
		У
	смотрена строгая процедура представления континуальных детерминирован-
		Г
	ных сигналов во временной области ортогональной системой комплекснознач-

ных функций, сформулированы рекомендации поБконкретному выбору подходящей ортогональной системы. Предст влены механизмы моделирования сигналов рядами Фурье, Котельникова, ряд ми по полиномам Лежандра, Чебышева и рядами по функциям Лагерра, Эрмита и Уолша. Описана процедура моде-

лирования сигналов в частотной областик, рассмотрены используемые при этом

свойства преобразования Фурье ивенноособ нности их применения. Проанализированы свойства –функции, сущес расширяющей возможности моделирования СТК. Показаны механизмы совместного применения преобразования

Фурье и –функции	м делировании сигналов, задаваемых неинтегрируе-
мыми функциями,	т
	зак н мерностей убывания амплитудных спектров с рос-
том частоты. Оп санаопроцедура моделирования сигналов на комплексной

плоскости, рассмотрены используемые при этом свойства преобразования Лап-
		б	при
ласа, включая примеры их эффективного применения, предельные соотноше-
ние линейных звеньев во временной и частотной областях и на комплексной
ния	теоремы разложения, проанализированы особенности моделирования пе-
риод	ческ х сигналов.
Б
	В третьем разделе дана характеристика звеньев СТК. Рассмотрено описа-

плоскости, рекомендована для практического применения форма задания операторной передаточной функции, рассмотрены алгоритмы реактансных преобразований математических моделей звеньев и пример их выполнения. Проанализированы важные для практики свойства и особенности передаточных функций минимально-фазовых и неминимально-фазовых звеньев. Представлена взаимосвязь временных, частотных характеристик и операторных передаточных функций линейных звеньев, включая предельные соотношения операторной (комплексной) передаточной функции и переходной характеристики.

В четвертом разделе проведен сравнительный анализ методов математического моделирования линейных искажений сигналов в СТК: численного решения дифференциальных уравнений; моделирования по формуле Дюамеля; метода разностных рекуррентных соотношений; спектрального метода; метода на основе операционного исчисления. Рекомендована методология моделирования искажений, основанная на совместном применении описания линейных звеньев дробно-рациональной функцией комплексного переменного специального вида и метода моделирования на основе операционного исчисления. Представлена технология моделирования линейных искажений измерительных телекоммуникационных сигналов. Рассмотрены теоретические основы и алгоритм применения универсального метода расчета линейных искажений, основанного на представлении реакции линейной системы на периодическое воздействие не

тригонометрическим рядом Фурье, а в замкнутом виде.

Р

И

У

Г

Б

а

к

е

т

о

и

л

б

и

Б

ЛИТЕРАТУРА

1.Апанасевич В.В., Тихоненко О.М. Цифровое моделирование стохастических систем: Учеб. пособие для ун-тов. – Мн.: Университетское, 1986. – 127 с.

2.Борисов Ю.П., Цветнов В.В. Математическое моделирование радиотехнических систем и устройств. – М.: Радио и связь, 1985. – 176 с.

3.Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей: Учеб. для вузов – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.

4.Гультяев А.К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учеб.

курс. – СПб.: Питер, 2000. – 432 с. Р

5.ГОСТ 7845-92. Система вещательного телевидения. Основные параметры. Методы измерений. – М.: Изд-во стандартов, 1992. – 36Ис.

6.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Радио и связь, 1986. – 512 с. У

7.Зубарев Ю.Б., Кривошеев М.И., Красносельский И.Н. Цифровое телевизионное вещание: Основы, методы, системы. – М.: НИИРГ, 2001. – 568 с.

8.Ильинков В.А. Математическое моделированиеБлинейных искажений в телевизионных системах: Метод. пособие – Мн.: МРТИ, 1992. – 44 с.

9.Зааль Р. Справочник по расчету фильтров: Пер с нем. / Под ред. Н.Н. Слепова. – М.: Радио и связь, 1983. –а752 с.

10.Кривошеев М.И. Основы телевизионныхк измерений. 3-е изд., доп. и пер. – М.: Радио и связь, 1989. – 608 с.

11.Крот А.М., Минервина Ее.Б. Быстрые алгоритмы и программы цифровой спектральной обработки сигналов и изображений. – Мн.: Наука и техника, 1995. – 407 с. т

12.Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и

илопеременногохастических комплексногоБ

Радио и связь, 1990. – 272 с.

17.Прокис Дж. Цифровая связь / Пер. с англ. ; Под ред. Д.Д. Кловского. – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.

18.Прикладные математические методы анализа в радиотехнике: Учеб. пособие для вузов / Под ред. Г.В. Обрезкова. – М.: Высш. шк., 1985. – 343 с.

19.Полляк Ю.Г., Филимонов В.А. Статистическое машинное моделирование средств связи. – М.: Радио и связь, 1988. – 175 с.

20.Разевиг В.Д. Схемотехническое моделирование с помощью MicroCap 7. – М.: Горячая линия–Телеком, 2003. – 368 с.

21.Разевиг В.Д. Применение программ P-CAD и PSPICE для схемотехнического моделирования на ПЭВМ/ Под общ. ред. Г.М. Веденеева. – М.: Радио и связь, 1992. – 190 с.

22.Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение/ Пер. с англ. 2-е изд. – М.: Изд. дом “Вильямс”, 2003. – 1104 с.

23.Системы: декомпозиция, оптимизация и управление/ Сост. М. Сингх, А. Титли; Пер. с англ. А.В. Запорожца. – М.: Машиностроение, 1986. – 495 с.

24Тарасик В.П. Математическое моделирование техническихРадиосистем: Учеб. для вузов. – Мн.: Дизайн ПРО, 1997. – 640 с.

25.Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализИи синтез радиотехнических устройств и систем: Учеб. пособие для вузов. – М.: и связь, 1991. – 608 с. УГ

ния спектра/ Пер. с англ.; Под ред. В.И. Журавлева. – М.: Радио и связь, 2000. –
520 с.		Б
	28. Финаев В.И. Сборник задач по курсу “Моделирование систем”: Учеб.
	к
пособие – Таганрог: ТРТИ, 1991. – 57 с.

29. Шипилло В.П. Операторноуррентный анализ электрических цепей
						ре
и систем. – М.: Энергоатомиздат, 1991. –а311 с.
					т
				о
			и
		л
	б
и
Б

Св. план 2004 , поз. 98

Учебное издание

			Ильинков Валерий Андреевич,
			Беленкевич Наталья Ивановна,							Р
			Романов Вячеслав Евгеньевич
									И
								У
							Г
							Б
	МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СВОЙСТВ ЗВЕНЬЕВ И
СИГНАЛОВ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ
					к
				Учебное пособие
	по дисциплине “Моделирование систем телекоммуникаций”
				всехрадиовеформ обучения
			для студ нтов спациальностей
	“Системы радиосвязи,				щания и телевидения”,
				т
		“Многоканальные сист мы телекоммуникаций”
			о
	б		и
Редактор Т.Н.Крюкова
Корректор Е.Н.Батурчик
и
Компьютернаялверстка М.В. Шишло
Подписано в печать 16.12.04. Формат 60х84 1/16.							Бумага офсетная.
Гарнитура «Таймс».				Печать ризографическая.			Усл. печ. л. 6,16.
Уч.-изд. л. 5,5.			Тираж 150 экз.			Заказ 156.
Б
		Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования

«Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Лицензия на осуществление издательской деятельности №02330/0056964 от 01.04.2004. Лицензия на осуществление полиграфической деятельности №02330/0133108 от 30.04.2004. 220013, Минск, П. Бровки, 6