2.2 Площадь прямоугольника

С площадью прямоугольника учащиеся знакомятся, уже изучая математику в пятом классе, но более детальное ее рассмотрение начинается в курсе геометрии восьмого или девятого класса. И в обоих случаях площадь прямоугольника рассматривается как часть темы «Площадь многоугольника».

В пятом и шестом классе уже изучалась площадь прямоугольника и площадь круга, но ни определения площади, ни ее свойств рассмотрено не было. Теперь же учащимся предлагается определение площади как величины той части плоскости, которую занимает многоугольник, и рассматриваются некоторые свойства площади:

1) Равные многоугольники имеют равные площади.

2) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. (В учебнике эти два свойства названы основными).

3) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

На основе этих трех свойств доказывается теорема о том, что площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.[1, c. 144]

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольник со сторонами и площадью.Докажем, что .

a

S

b

Рисунок 2.2.1

Превратим наш прямоугольник в квадрат. Для этого увеличим его сторону до длины стороны (рисунок 2.2.2).

Рисунок 2.2.2

В итоге у нас получилось четыре квадрата. Мы знаем, что площадь квадрата равна . В то же время эти квадраты составлены из двух прямоугольников: одного прямоугольника с площадьюи такого же прямоугольника с такой же площадью, а также двух квадратов, у которых площадии. Исходя из того, что наш четырехугольник состоит не из одного четырехугольника, а из нескольких, то его площадь будет равна сумме всех площадей данных четырехугольников. Это выходит из свойства площадей:

, или .

А это означает, что . Значит, наша теорема доказана.

Тема площади прямоугольника играет важную роль в изучении площади вообще, так как служит основой для вывода площади треугольника, параллелограмма и др.

Пример 2.2.1.

Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 см, а вторая, смежная с ней – 5 см.

Решение:

Искомая площадь прямоугольника равна произведению двух заданных сторон:

Ответ:

Пример 2.2.2.

Найти площадь прямоугольника, если одна его сторона равна 3 м, а диагональ – 5 м.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник (рисунок 2.2.3), из которого по теореме Пифагора найдем длину катета :

Тогда искомая площадь равна:

Рисунок 2.2.3

Ответ:

Пример 2.2.3.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной иДоказать, что площадь треугольникаНайти площадь прямоугольника, вписанного в данный треугольник так, что одна его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а противоположная вершина – с точкой касания окружности и гипотенузы.

Решение:

Пусть – точки касания (рисунок 2.2.4); тогда – радиус вписанной окружности, – полупериметр. Далее, используя формулу, находим Так как в силу равенстватооткуда

Рисунок 2.2.4

Пусть – вписанный прямоугольник. Поскольку , используя геометрию с центром ви коэффициентом, найдём площадьтреугольника

.

Аналогично для площади треугольника имеем:

.

Искомая площадь

Ответ: .