2.7 Площадь правильного n-угольника

Вывод площади правильного n-угольника связан с радиусом вписанной в этот n-угольник окружности и радиусом окружности, описанной около него. При выводе этой формулы используется разбиение n-угольника на n треугольников. Если – площадь данного правильного многоугольника, а – его сторона,– периметр, аи– радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей, то. Докажем это: Соединив центр данного многоугольника с его вершинами, как показано на рисунке 2.7.1, мы разобьем его наn равных треугольников, площадь каждого из которых равна . Следовательно,. Далее,. [11,c. 174]

Рисунок 2.7.1

Рисунок 2.7.1

Пример 2.7.1.

Данный квадрат со стороной a срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.

Решение:

Пусть (рисунок 2.7.2). Тогда или, откуда

Рисунок 2.7.2

Следовательно, искомая площадь

Ответ:

Пример 2.7.2.

Вся дуга окружности радиуса R разделена на четыре большие и четыре малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в 2 раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Решение:

Пусть малая дуга содержит градусов. Тогда, откуда Значит, восьмиугольник содержит четыре треугольника с центральным углом(их суммарная площадь) и четыре треугольника с центральным углом(их суммарная площадь). Искомая площадь составляет

Ответ:

Пример 2.7.3.

Дан квадрат со стороной. На каждой стороне квадрата вне его построена трапеция так, что верхние основания этих трапеций и их боковые стороны образуют правильный двенадцатиугольник. Вычислить его площадь.

Решение:

Искомая площадь , где и– радиусы окружности, описанной около квадрата и двенадцатиугольника (рисунок 2.7.3). Так как сторона квадрата равна , то. Имеемгде⏊ Но , поскольку . Таким образом,

, то есть

Рисунок 2.7.3

Ответ:

3 Задачи планиметрии из централизованного тестирования

2004

Вариант 1

В8. В равнобедренном треугольнике через вершины основанияии точку(лежит на высоте, проведённой к основанию, и делит её в отношении,считая от основания) проведены прямыеи(D AB; E AC). Найдите площадь треугольника , если площадь трапецииравна 64. [12,c.64]

Решение:

Введём обозначения:

Из рисунка следует, что Отсюда

Составляем систему:

Рисунок 3.1

Из системы получаем:

Решая это уравнение найдём :

Подставляем во второе уравнение системы, получаем:

Найдём площадь треугольника

Ответ:

2005

Вариант 1

А8. В равнобедренном треугольнике со сторонамиипроведена высотак боковой стороне. Еслии– центры окружностей, описанных около треугольникови, то расстояние между точкамииравно…[13,c. 80]

Решение:

В условии задачи не сказано конкретно, чему равны боковые стороны и и основание. Если, а, то не будет выполняться неравенство треугольника. Поэтому, а. Далее нужно вспомнить тот факт, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. Поэтому центры окружностей, описанных около треугольников и , точки и – соответственно середины сторон и.

B

О₂

Н

А С

О₁

Рисунок 3.2

Таким образом, – средняя линия треугольника и

Ответ:

2006

Вариант 1

B4. Четырёхугольник вписан в окружность. Если,,, то градусная мера угла между прямымииравна…[14,c. 63]

Решение:

Так как по условию нам дано, что ,,, то ТогдаНам известно, что четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равныЗначит,

Рисунок 3.3

А из этого следует, что Из треугольникаможно найти угол, который нам и нужен. Итак,Получаем, что

Ответ:

2007

Вариант 1

А12. Большее основание трапеции равно 114. Найдите меньшее основание трапеции, если расстояние между серединами её диагоналей равно 19. [15, c. 62]

Решение:

Рисунок 3.4

Обозначим меньшее основание трапеции

Треугольники и подобны. Получаем соотношение:

Из подобия треугольников получаем:

Разделим второе уравнение на первое:

Следовательно:

Получаем, что меньшее основание трапеции равно

Ответ:

2008

Вариант 1

А11. Параллельно стороне треугольникапроведена прямая, пересекающая сторонув точкетак, что. Если площадь треугольникаравна 50, то площадь получившейся трапеции равна…[16,c. 72]

Решение:

Рисунок 3.5

Пусть Из условия нам дано, что

Отсюда Тогда,Следовательно,Теперь найдём площадь трапецииПолучаем, что

Ответ:

2009

Вариант 1

А13. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезке, длины, которых относятся как 1:4. Если высота равна 8, то гипотенуза равна…[17, c. 72]

Решение:

Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле:

B

K

A C

Рисунок 3.6

По условию нам дано, что . Значит,

Отсюда получаем, что . Тогда

Ответ:

2010

Вариант 1

А12. Величины двух углов треугольника равны и, а высота, проведённая из вершины большего угла, равна 9. Найдите меньшую сторону треугольника.

Решение:

Рисунок 3.7

Пусть , значит Так как–

высота треугольника , то . Поскольку треугольникпрямоугольный, то катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Из свойства получаем: Значит,

Ответ:

2011

Вариант 1

А16. В ромб площадью вписан круг площадью . Сторона ромба равна…

Решение:

;

;

;

.

Так как площадь ромба по условию равна , тоТогда,

Отсюда получаем, что

Рисунок 3.8

Ответ:

2012

Вариант 1

А11. Четырёхугольник , в котором, вписан в окружность. Найдите градусную меру угла.

Решение:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Значит,

Рисунок 3.9

Ответ:

2013

Вариант 1

В3. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 10, а синус противолежащего угла равен . Найдите площадь треугольника.

Решение:

Рисунок 3.10

1. Найдём косинус углапо формуле

, отсюда

Так как угол − острый, то выбираем знак «»:

.

2. Для нахождения длины боковой стороны (рисунок 3.10) применим теорему косинусов:

или

или илиили

3. Находим площадь треугольника по формуле:

;

Ответ: .

2014

Вариант 1

Задача В3. В окружность радиусом 6 вписан треугольник, длины двух сторон которого равны 6 и 10. Найдите длину высоты треугольника, проведенной к его третьей стороне.

Решение:

Выполним вспомогательный чертеж для решения задачи. Пусть – заданный треугольник, у которого.

Проведем высоту треугольника.

Рисунок 3.11

В подобных задачах самый сложный момент ─ это понять, как связать параметры треугольника (углы или стороны) с параметрами окружности. Ведь задачу мы решаем про треугольник, однако, поскольку дан радиус описанной окружности, то это нужно как-то использовать для получения недостающих сведений о самом треугольнике.

Одна из самых известных связей между треугольником и описанной окружностью доказывается в теореме синусов. Запишем выводы этой теоремы для угла :

Здесь – ­радиус описанной около треугольника окружности. Отсюда получаем:

Значит, .

Высоту найдем из прямоугольного треугольника:

Ответ: .