Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

		Ответ:	Если					, то два решения
						3
	2
R		sin 1 sin				; если				, то одно
								3
			2

R2 sin 1 sin . Указание. Отрезки, от-

2

секаемые окружностью на прямых, проходящих через концы одного основания параллельно боковым сторонам и пересекающихся в центре окружности, – диаметры.

Шестиугольник и окружность

283. (ЕГЭ, 2012). Точка О – центр пра-

вильного шестиугольника ABCDEF, в котором АС 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников АОВ,

COD и EOF.

Ответ: 7 или 3. Указание. Меньшая диа-

гональ правильного шестиугольника равна

АС AB3. Отсюда сторона данного шестиугольника (данных равносторонних тре-

угольников) равна АB 7 3 .

		2
K	B	C	L
	A	O	D
	F	E
		M
	Рис. 144а

Радиусы окружностей, описанных около

этих треугольников, равны	7 3		3		7	.

2 3 2

1-й случай: искомая окружность касается всех трех данных окружностей внутренним образом (рис. 144а). Если OK, OL и OM – диаметры данных окружностей, перпендикулярных сторонам АВ, CD и FE соответственно, то искомая окружность с центром О и радиусом 7 касается данных окружностей в точках K, L, M.

2-й случай: искомая окружность с центром Q радиуса х касается внутренним образом описанной окружности треугольника COD и внешним образом описанных окружностей

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

треугольников АОВ и EOF (рис. 144б). Пусть точка Р – основание перпендикуляра, опущенного из центра N описанной окружности треугольника АОВ на прямую OL. Тогда

NP OB 73 ,

2 4

OP ON sin ONP 7 sin30 7 , 2 4

OQ OL QL 7 x,

PQ OP OQ 7 7 x 35 x,

4	4
QN x 7 .
	2
B	C
	L
N	Q
A	D
P O

F E

Рис. 144б

Используя теорему Пифагора в треугольнике PQN, составим уравнение

		7 2			35			2	7				2
	x						x				3
													. Отсюда x 3.
		2				4				4

284. Точка О – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 4. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, вписанных в четырехугольники АВOF, CDOB и EFOD.

Ответ: 2 3. Указание. Рассмотреть два случая касания: внешним образом, внутренним образом (рис. 145).

C D

O

B E

A F

Рис. 145

91

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Касающиеся окружности

285. Окружность S с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности S , если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12.

Ответ: 2(2 1). Указание. Использовать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутрен-

нем. Радиус окружности, вписанной в прямо-

угольный треугольник, равен 5 12 13 2.

2

1-й случай: пусть окружность S касается вписанной окружности внешним образом (рис. 146). Из прямоугольного треугольника

	СОМ имеем OM			CO	2		. Значит,
						2
				cos45
	CK CO OK 2		2 .
		2

B

K1

O M

K

A C

Рис. 146

2-й случай, когда окружность S касается вписанной окружности внутренним образом, рассмотрите самостоятельно.

286. (МИОО, 2010). Дана окружность радиуса 4 с центром в точке O, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.

Ответ: 2 или 14, или 6, или 14 . Указа-

3

ние. 1-й случай: пусть искомая окружность с центром O1 радиуса х касается внешним об-

разом данной окружности, причем точка O1 лежит между А (вершина угла) и О (рис. 147). Так как BAO1 30 , то AO1 2x . Исполь-

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

зуя равенство AO AO1 O1O, составим уравнение 10 2x (x 4), x 2.

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

O4

O 4 O3

2x O1x O2 x

A B

Рис. 147

287. (ЕГЭ, 2011). Дана окружность радиуса 4 с центром в точке O, расположенной на биссектрисе угла, равного 60°. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от точки O до вершины угла равно 10.

Ответ: 2 или 14. Указание. См. . упраж-

нение 286.

	288.		Окружности радиусов R и r
(R	r)		касаются внешним образом. К

ним проведена общая внешняя касательная; А и В – точки касания. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом данных окружностей и касающейся прямой АВ.

Rr

Ответ: ( R r)2 . Указание. Использо-

вать опорную задачу: отрезок общей внеш-

ней касательной к двум касающимся окруж-

ностям радиусов r1 и r2 равен 2rr1 2 . См. «Решебник», Глава 3, задача 9.

289. Две окружности радиусов R и r (R r) касаются в точке А. Определите сторону равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в

92

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

точке А,

а две другие лежат на разных

Ответ: 24

7

или 16 57 , или 4,8.

окружностях.

11

11

Ответ:

Rr

3

или

Rr

3

.

Указание. 1-й

случай: пусть

окружности

касаются внешним образом, касательные

R2 Rr r2

R2 Rr r2

проведены из

центра большей

окружности

Указание. См. предыдущую задачу.

(рис. 149а). Проведем радиусы из центра O1

290. Две окружности радиусов R и r

в точки касания. В прямоугольном треуголь-

(R r) касаются. Найдите радиус треть-

нике

O1AO2

находим

катет

ей окружности, касающейся первых двух

AO2

(3 8)

2

2

4 7 .

Высота АС, опу-

окружностей и прямой, проходящей че-

3

щенная

на

гипотенузу

OO ,

равна

рез центры данных.

1

2

4Rr(R r)

4Rr(R r)

3 4 7

12 7

. Тогда AB 24 7 .

Ответ:

2

или

(R r)

2 .

11

11

11

(R r)

C

O1

A

O2

R

C

r

R

O1

O2

x

x

K

x P

B

O

Рис. 148а

Рис. 149а

Указание. Выразить площадь треугольни-

A

ка O1O2O двумя способами:

по формуле S

O1O2O

1OO x

C

и

2

1 2

O1

O2

по формуле Герона (полупериметр равен

R r x в случае рис. 148а и R в случае рис.

B

148б).

P

Рис. 149б

Второй случай, когда окружности касают-

ся внешним образом и касательные проведе-

O

ны из центра меньшей окружности (рис.

x

149б), рассмотрите самостоятельно.

x

Третий случай, когда окружности касают-

r

r

ся внутренним образом и касательные прове-

H

O2

C

O1

R

дены из центра большей

окружности (рис.

149в), рассмотрите самостоятельно.

Рис. 148б

291. Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B – точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

A

D C

O1 O2

B

Рис. 149в

93

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

292. Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом в точке A. На окружности радиуса r взята точка В, диаметрально противоположная точке А, и в этой точке проведена касательная l. Найдите радиус окружности, касающейся двух данных окружностей и прямой l.

Ответ: R r или	r(R r)	. Указание. 1-й
	R

случай: пусть искомая окружность касается прямой l в точке В (рис. 150а). Поэтому ее радиус равен R r .

	l
B	O1 A O2
	O3

Рис. 150а

	2-й случай: пусть искомая окружность с
центром O3				радиуса x касается прямой l
в точке C B (рис.												150б). Стороны тре-
угольника				OO O								равны	OO R r ,
					1			2		3			1		2
OO r x,					O O R x.								Высота					тре-
1	3				2					3
угольника				OO O							равна O H CB 2									,
																			rx
				1	2			3				3
а площадь S						1			OO			O H (R r)					.
																rx
					2					1	2	3
		l
	B			O1		H A						O2

C	O3

Рис. 150б

С другой стороны по формуле Герона площадь треугольника OO1 2O3 равна

(R r x) R r x . Приравнивая площа-

ди, получаем уравнение с решением

x r(R r) . R

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

293. Через центры двух равных касающихся окружностей радиуса r проведена окружность радиуса 2r. Из некоторой точки, находящейся на последней окружности, описана окружность, касательная к первым двум. Найдите ее радиус.

Ответ: r(6 2 1). Указание. На ри-

сунке 151 представлены четыре возможные окружности – с центрами в точках А (две концентрические) и D (две концентрические).

Рассмотрим одну окружность с центром в точке А и радиуса AK x. Из прямоугольных треугольников АСЕ и FCE получим

AC2 AE2 EC2 (AF FE)2 EC2 .

A

			x
			F
			K
M	r		r
	r		E r
	B		C
		D
			L
	Рис. 151
Так как AC AK KC x r ,				AF 2r,

EF FC2 EC2 4r2 r2 r3, то

(x r)2 (2r r3)2 r2 . Отсюда (x r)2 r2(8 43),

(x r)2 r2(6 2)2 , x r r(6 2), x r(6 2 1).

Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

294. В окружности, радиус которой равен 10, проведена хорда AB 12. Точка С лежит на хорде АВ так, что AC:BC 1:3. Найдите радиус окружности, касающейся данной окружности и касающейся хорды АВ в точке С.

Ответ: 0,75 или 6,75. Указание. См. «Ре-

шебник», Глава 3, задача 8.

94

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

295. (МИЭТ, 2003). Две окружности касаются внешним образом. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую окружность в точках A и B. Найдите радиус первой окружности, если известно, что AB 12, MB 6, а радиус второй окружности равен 10.

O1 r	10	O2
r	F	10

M 6 B 6 E 6 A

Рис. 152а

Ответ: 3 или 27. Указание. Условию за-

дачи удовлетворяют два случая: центры окружностей расположены по одну сторону от прямой или – по разные. Задача сводится к составлению и решению уравнения

(r 10)2 (8 r)2 122 (рис. 152а,б).

r	M
	6	B10 O2
O1
r	6
	E 6 10
F		A

Рис. 152б

296. (МИЭТ, 2003). Две окружности касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите радиус меньшей окружности, если известно, что длины отрезков AM 28, MB 4, а радиус большей окружности равен 20.

Ответ: 7 или 1,75. Указание. См. . уп-

ражнение 295.

297.Окружности S1 и S2 радиусов 16

и9 соответственно касаются в точке A. Через точку B, лежащую на окружности

S1 , проведена прямая, касающаяся ок-

ружности S2 в точке M. Найдите BM, если известно, что AB 4.

Ответ: 5 или 7 . Указание. См. «Пособие»,

пример 31.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

298. Отношение радиусов окружностей S1 и S2, касающихся в точке В, рав-

но k (k 1). Из точки А, лежащей на ок-

ружности S1, проведена прямая, касаю-

щаяся окружности S2 в точке С. Найдите

АС, если известно, что хорда, высекаемая окружностью S2 на прямой АВ, равна b.

Ответ: bk2 k . Указание. См. «Пособие»,

пример 31.

299. (МИОО, 2010). На стороне пря-

мого угла с вершиной A взята точка О, причем AO 7. С центром в точке О проведена окружность S радиуса 1. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

P2		r2	O2
			r2
r1	O1
P1
	r1
A	H1	O	H2
		Рис. 153

Ответ: 4 или 12. Указание. Использовать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутреннем.

Тогда, искомые радиусы находятся из уравнения ( (7 r))2 r2 (r 1)2 (рис. 153).

300. Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Ответ: 4 или 24. Указание. Пусть окруж-

ность S с центром О и радиуса R пересекает стороны данного прямого угла в точках А и

В, AC 8,

BC 6, искомая окружность с

95

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

центром Q радиуса r касается сторон данного

Случай внешнего касания рассмотрите

угла АС и ВС в точках N и K соответственно,

самостоятельно.

а окружность S – в точке М (рис. 154а,б).

301. Окружности радиусов 2 и 1 каса-

A

ются в точке А. Найдите сторону равно-

стороннего треугольника, одна из вершин

которого находится в точке А, а две дру-

гие лежат на разных окружностях.

Ответ:

2 или

2 21 . Указание. 1-й слу-

O

чай: пусть

7

окружности

касаются внешним

N

Q

образом (рис. 155а). Обозначим искомую

S

F

сторону равностороннего треугольника через

H r K

M

а. Пусть

O1 AB ,

0 90 , тогда

O2 AC 120 .

Из равнобедренного тре-

C

B

угольника

O1 AB по теореме синусов нахо-

Рис. 154а

дим a 2O1Bcos 4cos .

Аналогично из

треугольника O2 AC получаем

Радиус

окружности S,

описанной около

треугольника АВС, равен R

1

AB 5. Пусть

a 2O2Ccos(120 ) 2cos(120 )

2

cos

3sin cos

ОН – перпендикуляр, опущенный на прямую

a

1 a2 .

ВС, тогда

3

1 cos2

3

OH 1 AC 4 и CH 1 BC 3.

4

16

2

2

Отсюда

5a 3

16 a2 ,

25a2

3(16 a2),

Так

как

QCK 45 ,

то

CK QK r.

a 2 21 .

Пусть QF OH, тогда QF KH |r 3|,

7

OF |OH FH | |OH QK | |4 r|.

B

Если

окружности

касаются

внутренним

C

образом, то OQ OM QM 5 r.

Для прямоугольного треугольника OFQ,

O1

A

O2

используя теорему Пифагора, имеем

уравнение

(5 r)2 (4 r)2 (r 3)2, r 4.

Рис. 155а

Второй случай, когда окружности касают-

ся внутренним образом (рис. 155б), рассмот-

рите самостоятельно.

A

	N
		O2
	A	O1
		C
	S
		B
	C H B
		K
		Рис. 154б
		Рис. 155б
		96
	23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

302. В прямоугольном секторе АОВ из

точки В как из центра проведена дуга ОС (С – точка пересечения этой дуги с дугой АВ) радиуса ВО. Окружность S1 касается дуги АВ, дуги ОС и прямой ОА, причем точки касания различны, а окружность S2 касается дуги АВ, прямой ОА и ок-

ружности S1 (точки касания также попарно различны). Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2 .

Ответ: 4(2 3). Указание. См. «Пособие»,

3

пример 25, или «Решебник», Глава 4, задача 8.

303. Угол ABC равен 60 , причем

AB BC a. Окружность S1 касается

AB в точке A, а окружность S2 касается BC в точке C, кроме того, эти окружности касаются внешним образом. Найдите радиусы этих окружностей, если известно, что их отношение равно двум.

	Ответ:											35 3 3							a			и							35 3		3		a ,			или
																													2
																4
a		3			и			a				3		,			или			a					3				и	2a		3			,	или
6										3												3							3
	35		3			3			a и								35	3			3			a .
4
																2

A

O1

K

O2

B C

Рис. 156а

Указание. 1-й случай: пусть центры обеих окружностей лежат внутри угла (рис. 156а).

Пусть O1A AB , O2C BC , O1A O2C K .

Так как ABK CBK , то

ABK CBK 30 и AK CK a3 .

											3
Пусть				O2C r ,		тогда					O1A 2r ,
O K	a				2r , O K	a				r . Используем
			3					3
1		3	2				3

теорему косинусов в треугольнике O1O2K :

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

									2								2
					3									a 3
9r2			a					2r									r
					3									3
a								a
				3							3
2					2r								r cos120 .
		3								3

Отсюда 35 33 a .

4

A

O1

C

B

O2

Рис. 156б

Остальные три случая расположения центров окружностей относительно сторон данного угла (рис. 156б, 156в, 156г) рассмотрите самостоятельно.

O1

A

O2

B C

Рис. 156в

O1

A K

B C

O2

Рис. 156г

97

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Пересекающиеся окружности

304. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BD 6, BС 14.

Ответ: 4 или 10. Указание. См. «Посо-

бие», пример 6.

305. Окружности радиусов 25 и 30 пересекаются в точках А и В. Найдите расстояние между центрами окружностей, если AB 48.

Ответ: 25 или 11. Указание. См. «Пособие»,

пример 33.

306. (МИОО, 2012). Две окружности пересекаются в точкахA и B. Через точкуA проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BD 3, BC 7.

Ответ: 2 или 5. Указание. См. «Пособие»,

пример 6.

307. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BC a, BD b.

Ответ:	a b	или	|a b|	. Указание. См.
2			2
упражнение 306.

308. Расстояние между центрами двух окружностей равно 20, длинарадиуса одной из них равна 10. Окружности пересекаются в точках А и В, причем AB 12. Найдите длинурадиуса второй окружности.

Ответ: 65 или 2205 . Указание. Рас-

смотреть два случая расположения центров окружностей относительно AB (рис. 157а,б).

	B
	C
O1	O2
	A

Рис. 157а

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

B
C	O2
O1
A

Рис. 157б

309. (МИОО, 2010). Расстояния от общей хорды двух пересекающихся окружностей до их центров относятся как

2:5. Общая хорда имеет длину 23, а радиус одной из окружностей в два раза больше радиуса другой окружности. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Ответ: 3 или 7. Указание. См. предыду-

щие упражнения.

310. Окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Известно,

что		АО1В 90 ,							АО2В 60 ,
ОО				1.		Найдите длины					радиусов
		3
1	2
окружностей.
						или					2(2
Ответ:					; 2		2(2		3);			3).
				2

Указание. См. «Пособие», пример 34.

311. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного квадрата, а для другой – стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен r.

Ответ:	r( 3		1)	или	r( 3		1)	. Указа-
2					2

ние. См. предыдущие упражнения.

312. (МИОО, 2010). Две окружности,

касающиеся прямой в точках A и В, пе-

ресекаются в точках C и	D, причем
AB 8, CD 15. Найдите	медиану СЕ
треугольника АВС.

Ответ: 16 или 1. Указание. Продолжить хорду CD до пересечения с данной прямой и применить теорему о секущей и касательной.

98

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

313. (ЕГЭ, 2013). Окружность радиуса

62 вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.

Ответ: 42 или 414 . Указание. Найти радиус второй окружности (22 или 102 ), учитывая, что центры окружностей лежат на биссектрисе прямого угла. Зная стороны треугольника, образованного радиусами окружностей и отрезком между центрами, найти его высоту (половину искомой хорды).

314. (ЕГЭ, 2012). Угол С треугольника АВС равен 60 , D – отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что DB:DC 2:3. Найдите угол А.

Ответ. arcsin	5 93	или arcsin	93	. Ука-
62			62

зание. См. «Решебник», Глава 2, задача 5.

315. (ЕГЭ, 2012). Угол С треугольника АВС равен 30 , D – отличная от А точка пересечения окружностей, построенных на сторонах АВ и АС как на диаметрах. Известно, что DB:DC 2:5. Найдите синус угол А.

Ответ. 3 111 или 7 111 . Указание.

74 74

См. «Решебник», Глава 2, задача 5.

316. (МГУ, 1984, аналог). Две окруж-

ности радиусов 8 и 6 пересекаются в точках A и В. Через центры O1 и O2 окруж-

ностей проведена прямая; C1 и C2 – две из четырех точек пересечения этой прямой с окружностями, причем точка C1

лежит на окружности с центром O1 , а

длина отрезка C1C2					больше 16. Найдите
расстояние между точками O1 и O2 , если
произведение		площадей				треугольников
C1O1A и C2O2B равно 336.
Ответ:	6 2			. Указание. Общая хорда
			2
двух окружностей перпендикулярна							линии
центров и	делится				ею	пополам.	Пусть
AB 2h	(рис.		158а,б).			Тогда	SC O A
							1	1

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

	1	AF CO 4h	и	S			1	BF C O
					C2O2B
2		1 1				2			2 2
3h. Отсюда 12h2			336, h2			28 и

O1F O1A2 h2 6,

FO2 O2A2 h2 8 .

Тогда O1O2 O1F O2F (рис. 158а и 158б).

				B				B
C	1	8	O1	F		C	1	OO2
					C			1
				6		2		F C
				O2				2
				A				A
				а				б
				Рис. 158
		317. (ФЦТ, 2012). Радиусы окружно-
стей S1			и S2 с центрами O1					и O2 равны 1

и 7 соответственно, расстояние между точками O1 и O2 равно 5. Хорда АВ ок-

ружности S2 касается окружности S1 в

точке М, причем точки O1 и O2 лежат по одну сторону от прямой АВ. Найдите длину отрезка АВ, если известно, что

AM :MB 1:6.

Ответ: 73, или 7143 . Указание. См. 6

«Решебник», Глава 3, задача 5.

Непересекающиеся окружности

		318.	Найдите радиус
		окружности, касающейся
	двух		концентрических	3	O
	окружностей радиусов 3			3
	и 5.			2
		Ответ: 1 или 4. Указа-		Рис. 159
	ние. См. рис. 159.

319. (МИОО, 2010). Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34.

Ответ: 16 или 30. Указание. См. «Пособие»,

пример 29.

320. (МИОО, 2010). Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9

99

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

равно 17. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей внешней касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Ответ: 225 или 225 , или 225 , или 25.

64

16

4

4

Указание. Использовать опорную задачу:

отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r1 и r2

равен 2rr1 2 .

Длина общей внешней касательной данных окружностей равна

AB a2 (R r)2 172 (9 1)2 15.

Пусть x – радиус искомой окружности, С, А, В – точки касания искомой окружности, данных окружностей с данной общей внешней касательной соответственно (рис. 160а,б). Тогда для касающихся окружностей длины общих внешних касательных равны

AC 2rx 2x ,

BC 2Rx 6x .

1-й и 2-й случаи (рис. 160а): пусть искомая окружность касается данных окружностей внешним образом и точка С лежит между А и

В, тогда AC CB AB или 2x 6x 15.

Отсюда x 225.

64

B

A C1

C O2

O1

Если точка А лежит между С и В, то

CB AC AB или 6x 2x 15. Отсюда

x 225. 16

3-й и 4-й случаи (рис. 160б). При внутреннем касании искомой окружности с одной из

данных окружностей получаем x 25 или

4

x 225. 4

321. (МИОО, 2010). Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей внутренней касательной. Найдите радиус третьей окружности.

Ответ: 189 или 21.

4 4

Указание. Использовать формулу длины общей внутренней касательной

AB a2 (R r)2 ,

где a расстояние между центрами, а R,r радиусы окружностей, и рассмотреть два случая расположения искомой окружности относительно касательной (рис. 161а,б).

		B
	189	9
O1	17	O2
A	x
	O

Рис. 161а

Рис. 160а	B

B

O1 A

O2

A

O1 O2

Рис. 161б

Рис. 160б

100

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/