Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

322.Даны две окружности радиусов 3

и4. Расстояние между их центрами равно

25. К этим окружностям проведена общая внутренняя касательная. Найдите радиус окружности, касающейся общей внутренней касательной и обеих данных окружностей.

Ответ: 36 или 48. Указание. См. «Посо-

бие», пример 5.

Три окружности

323. Найдите радиусы трех попарно касающихся окружностей с центрами в вершинахтреугольника со сторонами 8, 9и 10.

Ответ: (4,5; 3,5; 5,5), (13,5; 5,5; 3,5), (5,5; 13,5; 4,5), (3,5; 4,5; 13,5). Указание.

Пусть AB 8, BC 9 и AC 10.

B

9–x 9–x

F	D

x–1	x

A

x–1

E

x

C

Рис. 162а

1-й случай: пусть окружности касаются внешним образом (рис. 162а). Если окружность с центром С имеет радиус х, то последовательно получаем окружность с центром В радиуса 9 x, окружность с центром А ра-

диуса x 1.	AC AE EC , то
Так как		получаем
уравнение	x 1 x 10. Отсюда	x 5,5.

Следовательно, находим радиусы окружно-

стей (3,5; 4,5; 5,5).

x	–	8

B

2-й случай: окружность с центром А касается окружностей с центрами В и С внутренним образом, окружности с центрами В и С касаются внешним образом (рис. 162б).

Если радиус окружности с центром А равен х, то радиусы окружностей с центрами В

и С будут	соответственно		равны	x 8 и
x 10.	Так	как	BC 9,	то
(x 8) (x 10) 9. Отсюда			x 13,5. Радиу-

сы окружностей равны (3,5; 5,5; 13,5). Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

324. Точка В – середина отрезка АС,

причем AC 6. Проведены три окружности радиуса 5 с центрами А, В и С. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся всех трех данных.

9 9

Ответ: или . Указание. См. рис.

2010

163.Использовать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутреннем.

Тогда, например, для треугольника AOC

медиана	OB 5 r,	стороны	AO 5 r,
OC 5 r	и AC 6.	Из формулы для ме-
дианы получаем уравнение
4(5 r)2 2(5 r)2 2(5 r)2			62 .

Отсюда r 9 .

10
	O	r
			5
	r	5
		–
5	–
		r
A		3 B	3	C
			O1
		Рис. 163

				325.	Дан отрезок длины 20. Три ок-
		C	ружности радиуса 4 имеют центры в кон-
	A		цах отрезка и в его середине. Найдите
		x–10
			радиус		четвертой окружности, касаю-

щейся трех данных.

Рис. 162б

101

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Ответ: 6,25 или 12,5. Указание. Пусть х –

радиус	искомой	окружности,	тогда
O1O4 x 4 , O4O2		x 4 (рис.	164а). В

прямоугольном треугольнике O1O4O2 имеем

(x 4)2 (x 4)2 102 . Отсюда x 6,25.

	O2
O1	O3
	O4

Рис. 164а

Второй случай (рис. 164б) рассмотрите самостоятельно.

	K	O3
O1	O2

O4

Рис. 164б

Другие симметричные расположения искомой окружности приводят к тем же результатам.

326. Три окружности радиуса r попарно касаются друг друга. Найдите радиус окружности, касающейся всех этих окружностей.

	Ответ: r	2			1 . Указание. Использо-
		3

вать теорему: точка касания окружностей лежит на линии центров и расстояние между их центрами равно сумме радиусов при внешнем касании и разности – при внутреннем (рис. 165).

A1
rO1r r		A3
r	OrO3
O2	r
A2
Рис. 165

327. Дан отрезок а. Три окружности

радиуса R имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найдите радиус четвертой окружности, касающейся трех данных.

Ответ: Если a R a , то одно решение

4 2

a2		a		a		a2
	; если 0 R		или R		, то два
16R		4		2	16R

или a2 . Указание. Пусть О и r – центр и

8R

радиус четвертой окружности соответственно. Расстояния от О до А, В и С равно R x или | R x |. Рассмотрите случаи: 1) два рас-

стояния равны R x, одно равно | R x |; 2)

два расстояния равны | R x |, одно R x.

328. В полукруг радиуса R вписаны два круга, касающиеся друг друга, полукруга и его диаметра. Радиус одного из кругов равен r. Найдите радиус другого круга.

	Rr		3R 2r		.
Ответ:				8(R2 2Rr)
	(R 2r)	2

Указание. Рассмотреть два случая (рис. 166). В первом случае из прямоугольных треугольников OMO1 и ONO2 найти ОМ и

ON, где MO1 r ,

NO2 x ,

OO1 R r ,

OO2 R x , MN 2rx .

Для составления уравнения использовать равенство MO ON MN .

				P
A	O1		O2
O3	M		N	C
B		O
		Рис. 166

329. В квадрате АВСD, сторона которого равна а, из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга через вершины В и D. На стороне DС как на диаметре построена внутри квадрата полуокружность. Найдите радиус окружности, касающейся проведенной дуги, полуокружности и одной из сторон квадрата.

102

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Ответ. a(9

6) ,

a(3 2 2) , 4a.

Используя

равенство

MN OM ON,

составим уравнение a 2 ay 2ay . Отсю-

25

2

25

Решение. 1-й случай: искомая окружность

да находим y a(3 2

2) .

касается стороны АВ квадрата АВСD (рис.

167а). Обозначим радиус этой окружности

2

через

х. Из прямоугольного треугольника

B

K2

C

АМО получаем

M

O

N

AM AO2 MO2 (a x)2 x2 a2 2ax.

K K1

Так как OO OK K O a x ,

1

1

1 1

2

O1

ON MN OM a x,

O N DN DO a2

2ax a ,

1

1

2

a

то из прямоугольного треугольника ONO1

A

D

имеем

OO2

ON2 ON2 или

1

1

Рис. 167б

a

2

a

2

2

a

2

x

(a x)

2ax

.

3-й случай: пусть искомая окружность

2

2

касается

стороны СD квадрата

АВСD

B

C

(рис. 167в).

B

C

O K

K1

M

N

M

O N

K1

O1

K

O1

A

a

D

a

Рис. 167а

A

D

После

преобразований

a2 2ax 2a 5x

Рис. 167в

или 25x2 18ax 3a2

0

при условии x 2a .

Обозначим

радиус

этой окружности

5

через z. Из прямоугольного треугольника

Получаем один корень x

a(9 6)

ONO1

получаем

.

25

O1N O1O2 ON2

2-й случай: искомая окружность каса-

a

2

a2 4az

ется стороны

ВС квадрата АВСD (рис.

z

2

167б). Обозначим радиус этой окружно-

z

.

2

2

сти через у. Из прямоугольного треуголь-

a2 4az a .

ника АМО получаем

Тогда

AM

Из прямоуголь-

OM

AO2

AM2

2

AMO

ного

треугольника

имеем

(a y)2

(a y)2 2 ay.

AO2 AM2

OM2

или

Из

прямоугольного

треугольника

(a z)

2

a2 4az a 2

2

.

ONO получаем

(a z)

1

2

ON

OO2

O N2

1

1

После

преобразований

a2 4az 10z a

a

2

a

2

или z 4a.

y

y 2ay.

2

2

25

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

103

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

330. В квадрате АВСD из точки А как из центра проведена внутри квадрата дуга, проходящая через вершины В и D. На сторонах ВС и СD как на диаметрах построены внутри квадрата полуокружности. Найдите радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей и дуги ВD, если стороны квадрата равны а.

Ответ.	a(5 3 2)	,	a( 2 1)	,	a(3 2	1)	.
7			3		17

Указание. Рассмотреть отдельно три случая

(рис. 168).

B C

	2
	1
	3
A	a
	D
	Рис. 168

331. Окружность вписана в квадрат со

стороной 1. Из одной его вершины проведена дуга окружности радиуса 1 до пересечения с другими двумя противоположными вершинами. Проведена окружность, которая касается вписанной окружности и проведенной дуги. Найдите радиус окружности, касающейся этой окружности, вписанной окружности и дуги.

Ответ.	5 2 1	,	7(4 2 5)			.

844(37 17 2)

1

2

1

Рис. 169

Указание. Рассмотреть отдельно два слу-

чая (рис. 169).

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

332. Около окружности описан квадрат со стороной а. На двух смежных сторонах этого квадрата построены полуокружности, расположенные внутри квадрата. Найдите радиус окружности, касающейся этих двух полуокружностей и окружности.

Ответ:	a( 2 1)			,	a(2 2)	,	a			,
					4
	2(4 2)						2	6

a( 2 1) . Указание. Рассмотреть отдельно

2( 2 4)

четыре случая (рис. 170).

a

4

2 3

1

Рис. 170

104