Reshenie_S4_Dopolnenie_k_teorii

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Глава 4. Дополнение

4.1.Многовариантная задача

соднозначным ответом

1.Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны 2 и 5 соответственно. Найдите больший катет треугольника.

Указание. Гипотенуза		AB 2R 2 5 10,
отрезки	касательных	CF CG 2,

AE AG x, BE BF 10 x (рис. 31). Ис-

пользовать теорему Пифагора. Ответ: 8.

B

10–x

10–x

		E
F		O	x
2
			A
C 2 G x

Рис. 31

2. Из середины катета прямоугольного треугольника на его гипотенузу опущен перпендикуляр, длина которого равна 1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если длина одного из его катетов равна 4.

Указание. Рассмотреть

Bдва случая (рис. 32): катет BC 4 или катет

AC 4. Использовать

Eподобие треугольников BED и BCA, при-

Dменить формулу для вычисления радиуса вписанной окружности

				r	BC AC AB				.
C			A	2
			Рис. 32	Ответ:		2(3	3)			.
				3

3. Дан прямоугольник ABCD со сторонами AB = 9, BC = 12 и окружность S радиуса 2 с центром O на стороне AB, проходящая через вершину A. Найдите радиус окружности, касающейся внешним образом окружности S, содержащейся внутри прямоугольника и касающейся двух его соседних сторон.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Указание. Пусть искомая окружность касается сторон АВ и ВС (рис. 33). Обозначим

ее радиус	через	x.	Использовать	теорему
Пифагора	для	треугольника		OO1M :
MO2 MO2	OO2	,	x2 (7 x)2 (x 2)2 .
1	1
Отсюда x 3 или		x 15. Второй корень не

удовлетворяет условию задачи, так как радиус окружности больше стороны АВ.

B	C
M	O1

O

A D

Рис. 33 Рассмотрите самостоятельно случаи: ок-

ружность касается сторон ВС и CD; окружность касается сторон AD и CD; окружность касается сторон AB и AD. Ответ: 3.

4. Трапеция ABCD с основаниями AD 6, BC 4 и диагональю BD 7 вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D так, что BK 7 . Найдите длину отрезка АK.

Решение. В равнобедренной трапеции отрезки AH 1 и HD 5 (рис. 34). Из прямоугольных треугольников BHD и ABH последовательно найдем BH2 24 , AB 5 соответственно.

B C

H

A D

K

Рис. 34

Из треугольника BHD также определим

cos HDB 5 . Так как AKB ADB (как

7

вписанные углы, опирающиеся на одну и ту

же дугу), то cos AKB	5	. Пусть	AK x,
7			21

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

тогда для составления уравнения используем теорему косинусов в треугольнике ABK

25 x2 49 2x 7	5	или x2 10x 24 0.
7

Отсюда x 6 или x 4 . Если AK 6, то треугольники ABK и ABD равны, значит, равны углы ABK и ABD, но точка K отлична от точки D.

Ответ: 4.

5. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Отрезок АВ является диаметром первой окружности, а отрезок ВС – второй окружности. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке Е, при этом BD 9, BE 12. Найдите радиусы окружностей.

Указание. Рассмотреть три случая.

1-й случай: если точка А лежит между точками В и С, то условие задачи не выполняется (рис. 35а).

B	A	C
	O1 O2

Рис. 35а

2-й случай: пусть точка В лежит между точками А и С (рис. 35б). Рассмотрите прямоугольные треугольники BFE и BFO2 , со-

ставьте уравнение R22 63 (R2 9)2 , откуда

R2 8 . Получаем противоречие с условием

R2 EO2 EF .

E

D

F

A O1 B

O2

C

Рис. 35б

3-й случай: пусть точка С лежит между точками А и В (рис. 35в). Рассмотрите прямоугольные треугольники BDE и BFO2 , со-

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

ставьте уравнение R22 63 (9 R2)2 , откуда

R2 8 . Из подобия треугольников ADB и

AEO2 имеем пропорцию

	AB		BD	или	2R1		9	.
	AO2 O2E				2R1 8 8
Отсюда R1 36.					Ответ: 8 и 36.
						D
					E

A

C

O2

B

Рис. 35в

6. Окружность S проходит через вер-

шину С прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины С на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Указание. Около треугольника АВС описана окружность с центром O(3;4) и радиуса

5 (рис. 36).

y

8

A

O1

OD

				B
	C			6	x
				Рис. 36
Если	искомая			окружность	с центром
O1(x; x)	и радиуса х касается данной окруж-

ности внутренним образом, то выполняется равенство OO1 OD O1D 5 x или

OO12 (3 x)2 (4 x)2 (5 x)2 .

Отсюда x 4.

Аналогично, если искомая окружность с центром O2 (y;y) и радиуса у касается данной окружности внешним образом, то выполняется равенство OO2 5 y или

22

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

OO22 (3 y)2 (4 y)2 (5 y)2 .

Отсюда y 24.

Ответ: 4 или 24.

7. На стороне ВА угла АВС, равного 30 , взята такая точка D, что AD 2 и BD 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А, D и касающейся прямой ВС.

Указание. Введем систему координат (рис. 37). Тогда координаты точек D и А, лежащих

		x			3	1			3			3 3
на прямой	y			: D		;		,	A				;		.
	3				2	2					2	2

Если O(a;b) – центр искомой окружности, то ее уравнение имеет вид

y

A

2

D

1

B

C x

Рис. 37

(x a)2 (y b)2 b2 .

Подставим в это уравнение координаты точек D и А. Получим систему уравнений с двумя неизвестными а и b:

					2											2
	3								1								2
				a								b				b
	2								2
						2										2
3			3						3									2
						a								b		b			.
	2
									2
Отсюда получаем a2 3. Если a																					, то
																				3
b 1. Если a 3, то b 7.														Ответ: 1 или 7.

8. В прямоугольном секторе АОВ из

точки В как из центра проведена дуга ОС (С – точка пересечения этой дуги с дугой АВ) радиуса ВО. Окружность S1 касается дуги АВ, дуги ОС и прямой ОА, причем точки касания различны, а окружность S2 касается дуги АВ, прямой ОА и ок-

ружности S1 (точки касания также попарно различны). Найдите отношение радиуса окружности S1 к радиусу окружности S2 .

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

	Указание. Примем точку О за начало ко-
ординат, луч ОВ за положительную полуось
абсцисс, луч ОА за положительную полуось
ординат (рис. 38). Будем считать радиус
OB 1. Окружность S1							с центром O1(x;y) и
радиуса х касается дуги АВ внутренним обра-
зом, а дуги ОС внешним образом. Тогда вы-
полняются равенства
OO 1 x					(x 0)2			(y 0)2 (1 x)2
	1		или					(y 0)2 (1 x)2.
	BO1 1 x				(1 x)2
Отсюда x 1 ,				y		2 .
			6			3
	y
	A		O1			C
	y
						r
					O2
	O		x							B		x
					Рис. 38
	Пусть окружность S2							с центром O2(r;y)
и радиуса r касается дуги АВ (внутренним
образом),			прямой			ОА	и		окружности				S1
(внешним образом). Тогда выполняются ра-
	OO 1 r
			1	1		или
венства
	O1O2				r
				6
	(r 0)2 (y 0)2 (1 r)2
									2
				2							2
		1				2				1
		6	r			y					r .
						3				6
	Отсюда		r		2 3 ,				y		6	2	и
			1			8			1		4
r 2 3			, y		6 2 .
2	8		2			4
	Для первого решения системы отношение
радиусов 1: 2 3						4(2			3) , для второго –
		6		8			3
1: 2 3		4(2			3) .
6	8			3
								Ответ: 4(2					3) .
												3
													23

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

4.3. Исследование планиметрической задачи с буквенными данными

9. В треугольнике АВС угол А равен

60 , AB 1, BC a . Найдите АС.

Указание. Использовать теорему косинусов.

Ответ: если a 3 , то решений нет; ес-

2

ли a					3	, то одно решение AC									1		;	если
					2				2
		3		a 1, то два решения AC						1						a2			3		;
2									2									4
если a 1, то одно AC							1		a2			3	.

2 4

10. Найдите высоту равнобедренного треугольника с основанием а и радиусом описанной окружности R.

Указание. Использовать теорему Пифагора. Ответ: если a 2R , то одно решение R;

					1
	если 0 a 2R, то два			R			4R2 a2 ; если
	a 2R , то нет решений.			2
			В параллелограмме ABCD извест-
		11.
	ны		стороны AB a,				BC b, и
	BAD . Найдите			расстояние между

центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB.

B		C	C
MO1		B
			M
O			O O1
A	D	A	D

аб

BC

OM

O1

AD

в

Рис. 39

Решение. Диагональ BD разбивает параллелограмм на два равных треугольника BCD и DAB . Поэтому по разные стороны от

прямой BD расположены центры O и O1 описанных около них окружностей, лежащие

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

на серединном перпендикуляре OO1 к их

общей стороне	BD .		Следовательно,
OO1 2OM , где точка M			середина BD .
Рассмотрим следующие случаи.
1. Если 90 , то центр O лежит внутри
треугольника DAB (рис. 39а). Тогда получа-
ем BOD 2 ,	BOM	1	BOD . Из
	2
треугольника	BOM		находим

OM BM ctg . Тогда

OO1 2OM 2BM ctg BD ctg .

BD находим из треугольника DAB :

BD a2 b2 2abcos .

Следовательно,

OO1 a2 b2 2abcos ctg .

2. Пусть 90 , тогда точки O и O1

совпадают и OO1 0 (рис. 39б).

3. Пусть 90 тогда центр O лежит вне треугольника DAB (рис. 39в). Получаем угол, опирающийся на большую дугуBOD 2 , а в треугольнике BOD

BOD 360 2 ,	BOM	1	BOD
	2

180 . Из треугольника BOM находим

OM BM ctg(180 ) BM ( ctg ).

Тогда

OO1 2OM 2BM ( ctg ) BD ( ctg ).

BD находим из треугольника DAB :

	BD			a2 b2		2abcos .
	Следовательно,
	OO	a2		b2 2abcos ( ctg ).
1
	Ответ:		a2 b2 2abcos ctg ,							если
0 90 ;				0,		если			90 ;
	a2 b2 2abcos ( ctg ),									если
90 180 ;					в	общем				виде

a2 b2 2abcos ctg .

4.5. Серия задач на одну геометрическую конфигурацию

12. В трапеции с боковыми сторонами

13 и 20 и основаниями 6 и 27 проведена диагональ. Около каждого из образовавшихся треугольников описана окружность. Найдите их радиусы.

Указание. Из треугольника CED находим высоту CH 12, из треугольника СЕН длину отрезка EH 5, из треугольника АСН диаго-

24

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

наль трапеции AC 265 (рис. 40). Теперь определяем искомые радиусы

R					AC CD AD				AC CD				5	265		,
		ACD			4 0,5 AD CH									6
									2 CH
					AC AB BC			AC AB				13						.
R															265
	ABC			4 0,5 BC CH					2 CH					24

Отсюда видим, что искомые радиусы окружностей пропорциональны боковым сторонам трапеции.

B 6 C

13	13			12		20
6	E	5				16
A		H				D

Рис. 40

Для второй диагонали BD проведите вычисления самостоятельно.

Ответ: 13265 , 5265 или 5157 , 13157 .

24

6

3

12

13. В трапеции с боковыми сторонами

13 и 20 и основаниями 6 и 27 проведена диагональ. Около каждого из образовавшихся треугольников описана окружность. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Указание. Рассмотрим случай для диаго-

нали AC 265 (рис. 41). Квадрат расстояния от центра O2 окружности, описанной около треугольника ACD, до стороны АС равен

NO2 O A2 AN2					AC CD				2	AC 2
2		2				2 CH								2
	AC2		CD2 CH2				AC2 HD				2		.
	4 CH	2					2
							4 CH
Отсюда расстояние NO								AC HD							. Пусть
						2			2 CH

BH1 – вторая высота трапеции, тогда рас-

стояние от центра O1 окружности, описанной около треугольника АВС, до стороны АС

равно NO	AC AH1	. Следовательно, иско-
1	2 CH

мое расстояние между центрами описанных окружностей равно

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

| NO NO |		AC	| DH AH		|	11	265	.
		2 CH					24
2	1			1

Второй случай для диагонали BD 2157 рассмотрите самостоятельно.

Ответ. 11265 или 11157 .

	24	12
B	C
N	O1
A	O2	D

Рис. 41

14. В трапеции с боковыми сторонами

13 и 20 и основаниями 6 и 27 проведена диагональ. В образовавшиеся треугольники вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания вписанных окружностей с проведенной диагональю.

B	6	C
O1	G
13		20
F		O2
A	27	D
	Рис. 42а

Решение. Проведем диагональ AC (рис. 42а) и пусть окружности, вписанные в образовавшиеся треугольники, касаются этой диагонали в точках F и G. Для треугольника ABC отрезок касательной

AF pABC BC AB AC BC . 2

Для треугольника ACD отрезок касательной

AG pACD CD AD AC CD .

2

Определяем длину искомого отрезка

FG AD AC CD AB AC BC

2 2

AD BC CD AB 27 6 20 13 0. 2 2

25

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Следовательно, вписанные окружности касаются диагонали AC в одной и той же точке.

Замечание. Так как в решении не исследовано расположение точек F и G на отрезке AC, то при вычислении длины отрезка FG использован знак модуля.

Пусть теперь проведена диагональ BD (рис. 42б). Для треугольника BCD отрезок касательной

DF pBCD BC CD BD BC . 2

Для треугольника ABD отрезок каса-

тельной DG pABD AB AD BD AB . 2

Определяем длину искомого отрезка

FG AD BD AB CD BD BC

2 2

AD BC CD AB 27 6 20 13 0. 2 2

B	6		C
	G		O1
		F
13			20
	O2
A	27		D

Рис. 42б

Значит, вписанные окружности касаются диагонали BD в одной и той же точке.

Ответ: 0.

15. В трапеции с боковыми сторонами

13 и 20 и основаниями 6 и 27 проведена диагональ. Найдите расстояние между точками пересечения медиан образовавшихся треугольников.

B F C

M

E I

G

N

A H D

Рис. 43

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Указание. Легко показать, что для треугольников АВС и ACD искомое расстояние

MN	2	FI	1	BD	2	157	(рис. 43). Анало-
						3
3		3

гично получаем ответ для двух других треугольников.

Ответ: 265 или 2157 . 3 3

16. В трапеции с боковыми сторонами

13 и 20 и основаниями 6 и 27 проведена диагональ. Найдите расстояние между точками пересечения высот образовавшихся треугольников.

Указание. Использовать следующий факт.

В любом треугольнике ABC расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вер-

шины А.

Расстояние от центра окружности, описанной около треугольника АВС (рис. 44), до стороны ВС равно

2		BC 2			169 265				199
RABC							9				.
		2							24
				576

Тогда расстояние от вершины А до точки пересечения G высот треугольника АВС равно

AG	199	. Аналогично получаем							CK			8		.
12										3
Тогда KH			8	12	44	и GE	199		44		23		.
									3
3				3		12				12

Из прямоугольного треугольника GEK полу-

чаем GK	23 2			2		17953
		12		11		.
						12
G			K
E
	B		C	F
		L
A			H			D
				Рис. 44

Второй случай рассмотрите самостоятельно.

Ответ: 17953 или 54673 . 12 6

26

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Упражнения

Произвольный треугольник

Линейные и угловые элементы треугольника

1. Дан треугольник АВС, в котором

AC 2 , BC 1, ABC 45 . Найдите угол ВАС.

Ответ: 30 или 150 . Указание. Из тео-

ремы синусов для треугольника АВС следует

sin ABC 1 . 2

2. Дан треугольник АВС, в котором

	AB 4,	BC 3		,	sin ABC	1	. Най-
			2
					3

дите АС.

Ответ: 2 или 66 . Указание. Приме-

нить теорему косинусов. Учесть, что cos ABC 22 или cos ABC 22 .

33

3.Боковые стороны треугольника равны 25 и 30, а высота, проведенная к основанию, равна 24. Найдите основание.

Ответ: 11 или 25. Указание. Рассмотрите случаи, когда основание высоты лежит на третьей стороне или на его продолжении.

4. Две боковые стороны треугольника

равны 26 и 30, а высота, опущенная на третью сторону, – 24. Найдите медиану треугольника, проведенную к третьей стороне.

Ответ: 437 или 2193 . Указание. Рас-

смотрите случаи, когда основание высоты лежит на третьей стороне или на его продолжении.

5. Найдите длины сторон АВ и АС треугольника АВС, если BC 8, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны 6,4 и 4 соответственно.

Ответ: 5 и 41 или 5 и 137 . Указание.

Рассмотрите случаи, когда данный треугольник – остроугольный или тупоугольный.

6. Вычислите высоту СН тупоугольного треугольника АВС, если C 45 ,

AH 6 и BH 1.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Ответ: 2 или 3. Указание. Пусть HC x

(рис. 1). Тогда BC 1 x2 , AC 36 x2 . Из теоремы косинусов для угла АСВ треугольника АВС следует:

						2	.
	25 1 x2 36 x2 2 1 x2			36 x2
				2

H 1 B 5

x		A
		45o

C

Рис. 1

7. В треугольнике АВС проведены вы-

соты AD и CE. Найдите АС, если BC 5,

AB 7, DE:AC 1:2.

Ответ: 39 или 109 . См. указание к упражнению 8.

8. (Санкт-Петербург, пробный экза-

мен, 2013). Из вершин острых углов В и С треугольника АВС проведены две его высоты – ВМ и СN, причем прямые ВМ и СN пересекаются в точке Н. Найдите угол

ВНС, если известно, что MN 1 BC. 3

Ответ: arccos1 или arccos1 . Указа- 3 3

ние. Рассмотреть случаи, когда угол BАC – острый или тупой. В первом случае треугольники ABC и AMN подобны, коэффици-

ент подобия k MN 1. Во втором случае

BC 3

треугольники НBC и НMN подобны, коэффи-

циент подобия k MN 1 .

BC 3

9*. Точки, симметричные вершинам

треугольника относительно противоположных сторон, являются вершинами

треугольника со сторонами 8 , 8 ,

14. Определите стороны исходного треугольника, если известно, что длины их различны.

	Ответ:		1,					,		или		21 217	,		,
							7		8					7
											2
		21			.
			217					Указания			и решение. Пусть
	2
	a,b,c		стороны,						а	S	площадь треуголь-
											27

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

ника ABC . A1, B1,C1 точки, соответственно симметричные вершинам треугольника ABC . Тогда из треугольника C1AB1 (рис. 2)

B

c a A1

C1

K	F	H

b

A	N	b	C
	c

B1

Рис. 2

C1B12 C1A2 AB12 2C1A AB1 cos(2 3 A)

или C1B12 b2 c2 2bccos(3 A). Так как из теоремы косинусов для треугольника ABC a2 b2 c2 2bccos A, то

C1B12 a2 2bc cos A cos(3 A)

a2 8bcsin2 Acos A.

Так как sin

2

A

4S2

, cos A

b2

c2

a2

,

b2c2

2bc

то C B2 a2 16(b2

c2 a2)

S2

.

1

1

b2c2

Пусть C1B1

8

,

A1B1

8

и A1C1

14

.

Тогда получаем систему уравнений:

a2b2c2 16S2(b2 c2 a2) 8b2c2,

a2b2c2 16S2(a2 b2 c2) 8a2b2,

16S2(c2 a2 b2) 14c2a2.

a2b2c2

Вычитая второе уравнение системы из первого, и учитывая, что a c , найдем

4S2 b2 или S2 b2 . Подставив в систему, 4

получим:

a2c2 4(b2 c2 a2) 0

a2b2c2 4b2(c2 a2) 4b4 14a2c2 0,

b2 4S2.

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

Из первого уравнения 4(c2 a2) a2c2 4b2 . Подставив во второе уравнение, получим

2a2b2c2 14a2c2 0 или a2c2(b2 7) 0 .

Отсюда b 7 . Подставляя значение b в систему, находим остальные стороны.

10. В треугольнике АВС отрезок MK с

концами на сторонах АВ и ВС параллелен АС. Найдите длину отрезка MK , если известно, что AC 14, а точка М делит сторону АВ в отношении 3 : 4.

Ответ: 6 или 8. Указание. См. «Пособие»,

пример 1.

11. Точка Н – основание высоты треугольника со сторонами 14, 16, 18, опущенной на сторону, равную 16. Через точку Н проведена прямая, отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону, равную 14, в точке М. Найдите НМ.

Ответ: 9 или 36. Указание. См. «Ре-

2 7

шебник», Глава 2, задача 19.

12. В треугольнике АВС известно, что

AB 18, BC 16, cos B 4 , АН – высо-

9

та. Через точку Н проведена прямая, отсекающая от треугольника АВС подобный ему треугольник и пересекающая сторону АВ в точке М. Найдите НМ.

Ответ: 8 или 9. Указание. См. «Решеб-

ник», Глава 2, задача 19.

13. В треугольнике АВС A 75 ,

B 45 . На стороне СА взята точка K

так, что CK 3. На стороне СВ взята

KA

точка М так, что прямая KМ отсекает от треугольника АВС подобный ему тре-

угольник. Найдите отношение KM .

AB

Ответ: 3 или 3( 3 1) . Указание. 1-й

4 4

случай: пусть KM1 || AB (рис. 3). Для подоб-

ных треугольников ABC и KM1C имеем

KM1 CK 3 .

AB AC 4

28

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

2-й случай. Пусть M2KC 45 (рис. 3).

Для подобных треугольников ABC и

M2KC имеем	KM2		CK	. По теореме сину-
	AB
			CB

сов для треугольника ABC имеем

CA

CB

. Отсюда CB

CA sin75

sin45

sin75

sin45

B

CA sin(30 45 )

o M1

sin45

1

CA

3

45

M2

.

2

Тогда

45o

KM2

CK

(

1)

75o

3

AB

A K

C

CA

Рис. 3

3(

3

1)

.

4

14. В треугольнике ABC точка K лежит на стороне AC, причем AK : KC = 3:5. Точка M делит сторону AB на два отрезка, один из которых вдвое больше другого. Прямая, проходящая через точку M параллельно BC, пересекает прямую BK в точке P. Найдите отношение BP:KP.

Ответ: 16:1 или 8:7. Указание. См. «По-

собие», пример 3.

15. Точки A1, B 1, C1 – основания высот треугольника ABC. Углы треугольника A1B1C1 равны 80°, 70° и 30°. Найдите углы треугольника ABC.

Ответ: 50°, 55°, 75° или 35°, 40°, 105°, или 125°, 15°, 40°, или 130°, 15°, 35°. Указа-

ние. См. «Пособие», пример 21.

16. AA1, BB1, CC1 – высоты тре-

угольника ABC. Угол A1 треугольника

A1B1C1 равен 36°, а угол B1 треугольни-

ка A1B1C1 равен 84°. Найдите угол С треугольника ABC.

Ответ: 60° или 120°. Указание. См. «По-

собие», пример 21.

17. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и CN. Чему равен угол АВС, если AC 2MN ?

Ответ: 60 или 120 . Указание. Тре-

угольники BMN , где точки M и N – основания высот АМ и CN треугольника ABC , и

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

ABC подобны с коэффициентом подобия

k |cos ABC|. Отсюда

|cos ABC|

MN 1 . AC 2

18. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что

CH 3 AB. Найдите угол АСВ.

Ответ: 30 или 150 . Указание. См. «Пособие», пример 23.

19. В треугольнике АВС известно, что

AH 2 BM , где АН – высота, BM – медиана. Найдите угол MBC.

Ответ: 45 или 135 . Указание. См. «Решебник», Глава 3, задача 13.

20. Отрезок H1H2 , соединяющий ос-

нования H1 и H2 высот AH1 и BH2 треугольника АВС, виден из середины М стороны АВ под прямым углом. Найдите угол С треугольника АВС.

Ответ: 45 или 135 . Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

21. Биссектриса внешнего угла при

вершине В треугольника АВС равна биссектрисе внешнего угла при вершине А и равна стороне АВ. Найдите углы треугольника АВС.

Ответ.	A B 36 ,	C 108	или
A 12 ,	B 132 ,	C 36 ,	или
A 132 ,	B 12 , C 36 .

Указание. Биссектриса внешнего угла треугольника – отрезок биссектрисы этого угла от вершины до её пересечения с продолжением противолежащей стороны.

Сумма углов треугольника равна 180 и углы при основании равнобедренного треугольника равны.

M N

C

A B

Рис. 4а

29

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии(многовариантные задачи)

Первый ответ соответствует рис. 4а, второй и третий – рис. 4б (с учетом переобозначения вершин A и B).

M

B

A C N

Рис. 4б

22. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает сторону ВС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны ВС, пересекает сторону АС в точке N. Прямая MN перпендикулярна

АВ и MN	1			AB.	Найдите углы	тре-
3
угольника АВС.
Ответ: A 120 ,					B C 30 ,	или

A C 30 , B 120 . Указание. Если

вчетырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 180°, то около такого четырехугольника можно описать окружность.

Решение. Четырехугольник ENFM – вписанный, MN – диаметр (рис. 5). EF средняя

линия треугольника АВС, EF 1 AB . Соот-

ветственно хорда

2

EF 2

MN

sin EMF .

2

EF

2

Отсюда

sin EMF

,

т.е.

MN

3

EMF 60 . Тогда C 30 .

A

N

F

M

C

E

B

Рис. 5

23.05.2013. http://www.alexlarin.net/

EF || AB, EF MN и делится диаметром пополам. ENF 120 и делится диаметром MN пополам. Тогда A 30 и B 120 .

Второй случай получается, если поменять обозначения вершин A и B.

23. В треугольнике АВС перпендикуляр, проходящий через середину стороны АВ, пересекает прямую АС в точке М, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны АС, пересекает прямую АВ в точке N. Известно, что MN BC и прямая MN перпендикулярна прямой ВС. Определите углы треугольника АВС.

Ответ: A 60 , B 15 , C 105

или A 60 , B 105 , C 15 . Указа-

ние. Смотри решение упражнение 22.

24. Точка C1 – основание высоты CC1

треугольника АВС. Найдите зависимость

между				углами	А	и	В,	если
C1C2 C1 A C1B .
	Ответ:				A B 90			или
| A B| 90 .					Указание.		Из	условия
	CC1		BC1	следует подобие треугольников
	AC1		CC1
	ACC1		и	BCC1 , и		равенство		углов

CAC1 BCC1 . Если A 90 , B 90 , то

A CAC1 C1CB 90 B ,

т.е. A B 90 .

Если A 90 , то

180 A CAC1 C1CB 90 B,

т.е. A B 90 .

Аналогично,	если	B 90 ,	то
B A 90 .

25. В треугольнике АВС угол между

медианой и высотой, выходящими из угла А равен , угол между медианой и высотой, выходящими из угла В равен . Найдите угол между медианой и высотой, выходящими из угла С.

Ответ: arctg|tg tg |. Указание. До-

кажите, что tg |b2 c2 |, где S площадь

2S

треугольника (аналогично для других углов).

26. Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите углы тре-

30