вариационного	(среднеквадратического)		типов.
Р а с с м а т р и в а я д а н н у ю		п р о б л е м у	в общ ем	с м ы с л е ,
и д е а л ь н ы м и	п р о е к ц и я м и ,	о п р е д е л я е м ы м и из		всего их

множества, можно назвать те из них, в которых обеспечива­ ется оптимальное выполнение всех требований, предъявляе ­ мых к к артограф и чески м проекциям для создания карт конкретного назначения и на конкретную территорию. Иначе г о в о р я , е с ли и м е т ь в ви д у не т о л ь к о о б е с п е ч е н и е м и н и м а л ь н ы х и с к а ж е н и й на к а р т а х , а о п т и м а л ь н о е удовлетворение всей совокупности требований, то идеальных проекций, одинаково пригодных для всех случаев практики, не существует, их необходимо разрабатывать для каждого конкретного задания.

Решение задачи изыскания таких проекций относится к числу очень сложных. Конкретных решений пока еще не имеется.

4.1.2. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТОГРАФИИ В ТЕОРИИ ПРЯМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ПЛОСКОСТЬ

Общие	у р а в н е н и я		к а р т о г р а ф и ч е с к и х	проекц и й ,	как
отмечалось выше,		имеют вид
Если	з а д а н ы	и с х о д н ы е т р е б о в а н и я		( у с л о в и я )	и в
соответствии с ними			получены функции / р / 2, называемые

отображающими, то их использование позволяет определить к о н к р е т н ы е ф о р м у л ы ч а с т н ы х м а с ш т а б о в и д р у г и х характеристик проекций на основе уравнений общей теории.

Эти уравнения представляют	в виде формул:
- частных масштабов длин и площадей
а 2 + Ь2 = т 2 + п 2 ;	ab = тп cose;

- сближения меридианов

I)'*

у = arctg — ;

UЧЛЦ>//, J

1 = тМ и v = nr(289)

- у гл о в / в т о ч к а х п р о е к ц и и м е ж д у и з о б р а ж е н и я м и

меридианов	и параллелей					и их отклонений					е от прямого
			,	(		~ х ку„ 1				.	ОЛ0
	i = arctg ------------------ ;								е = / -		90°;
- наибольших искажений						углов
. ©		а -		b	или		^		„
sin X		= ------Г						2		р
	2	а + Ь							2 \
- связи азимутов			направлений на						проекцииина эллипсоиде
		е	г			/		т	cosec / ctg а +ctg /;
ctg Р = т “Г7 ct8 а						+ -7“ = —
- азимутов		h М				h		п
	главных			направлений
	^		2/ил cos/			;	t g 2 p 0		= —	л 2 sin 2/
t g 2 a 0 = — --------г										------------------
			т		- п				т	+ п	co s2z
и других характеристик.
Решением		прямой			задачи		математической картографии
н а з ы в а ю т с я		способы о п р е д е л е н и я								к а р т о г р а ф и ч е с к и х
проекций,	когда		вначале, исходя						из	зад ан н ы х условий,

находят отображающие функции /, и / 2, а затем в зависимости от этих функций определяют характеристики проекции и выполняют соответствующие вычисления.

Достоинством этих способов определения картографичес­ ких проекций является сравнительная простота применяемого в них математического аппарата. Но возможности использова­ ния этих способов для изыскания новых проекций ограниче­ ны, а их свойства выявляются только после определения и

анализа отображающих	функций.
Решением обратной задачи математической картографии
н а з ы в а ю т с я способы	о п р е д е л е н и я к а р т о г р а ф и ч е с к и х

проекций, когда вначале задают характеристики проекции (или часть из них), а затем с их использованием находят отображающие функции или непосредственно прямоугольные к о о р д и н а т ы и д р у г и е , не з а д а н н ы е , х а р а к т е р и с т и к и проекции.

У р а в н е н и я п р я м ы х о т о б р а ж е н и й п о в е р х н о с т е й на плоскости, используемые для реш ения обратной задачи м а т е м а т и ч е с к о й к а р т о г р а ф и и , о п р е д е л я ю т с л ед у ю щ и м образом.

Обозначим

и из формул частных масштабов длин (60), (61) получим

*<р = м- cos у; х х = -vsin(y + е);

= jasiny;

у х = v cos(y + е).

(290)

Записав условия интегрируемости этих уравнений

жЫ = ■ £ ( * * ) »

иподставив в эти выражения производные от (290), получим фундаментальную квазилинейную систему уравнений первого порядка в частных производных

у = - е	М’ х,
	- — s e c s -------tgs;
v	V	V
y x = —	vv	(291)
	tgs + —	secs.

ИH

Эта система, н а з в а н н а я Г .А .М ещ еряк овы м системой Эйлера-Урмаева, имеет фундаментальное значение, является недоопределенной, так как она содержит два уравнения, а входят в нее четыре характеристики.

Г .А.М ещеряков р ассм отрел все возмож ны е вар и ан ты доопределения уравнений (291) и на этой основе предложил генетическую классификацию проекций, отличающихся друг от друга видом дифференциальных уравнений, которые их описывают [27].

Введя	дополнительные функции
/и =	г , ( ф Д ) ; л = г 2 (<рД); е = г 3 ( ф Д ) ; у = г 4 ( ф Д ) ,

он показал, что всего будет 15 вариантов доопределения. Достоинством указанных способов определения картогра­

фических проекций является возможность их использования для получения всего множества картографических проекций регулярных поверхностей, а также то, что в этих способах изыскание проекций осуществляется, исходя из заданных желаемых их свойств.

Однако при получении этих проекций приходится решать д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я в частн ы х пр о и зво дн ы х п е р в о г о п о р я д к а э л л и п т и ч е с к о г о , г и п е р б о л и ч е с к о г о , параболического и смешанных типов, что в большинстве случаев представляет собою достаточно сложную задачу и сопряжено с выполнением громоздких вычислений.

4.1.3. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ “ОБРАТНЫЕ”

ОТОБРАЖЕНИЯ.
При вы числении	к а р т о г р а ф и ч е с к и х проекций можно
и с х о д и т ь не то л ь к о	из	в ы р а ж е н и й (52), но т а к ж е из
уравнений параллелей и меридианов (53)
Ф = F\i.x,y)\		X = F2(x,y).

Сих помощью могут быть заданы обратные отображения,

вкоторых искомые координаты х, у точек проекции являются

а р г у м е н т а м и , а г е о д е з и ч е с к и е к о о р д и н а т ы ср, X - их функциями.

Н.А.Урмаев получил формулы обращения, устанавливаю­

щие	соотношения	между		частными		производными	, х к ,
Уч>>	Ух прямого и	срх ,	Ц>у,		Хх , Ху	обратного отображений
		Г			1		(292)
	x \	= - J < P	y	>	.Vx=y<P*.

где

После подстановки значений этих частных производных в формулы характеристик т , п , р , tg у , tge . . . общей теории к а р т о г р а ф и ч е с к и х п р о е к ц и й б ы ла п о л у ч е н а с и с т е м а дифференциальных уравнений, также имеющая фундамен­ тальное значение

		(293)
1	1	ф Д х + ф Х

tge = — :---------- Г- фхл^ фуЛ,^

Г.А.Мещеряков назвал ее системой Тиссо-Урмаева. Она может быть использована для получения картографических проекций

как на	основе	р е ш е н и я прямой, так	и обратной за д ач
математической		картографии.
Если	известны уравнения параллелей		и меридианов или

заданы условия получения их функций, система уравнений (293) дает возможность решить прямую задачу математичес-