- •Квантовая механика Введение
- •Темы курса
- •Контрольные мероприятия
- •Коллоквиум
- •Экзамен
- •Рейтинговая аттестация дисциплины с экзаменом
- •Основная Литература
- •Полуклассическая квантовая механика
- •Волновые свойства света
- •Корпускулярные свойства света
- •Соотношения неопределенностей
- •Средняя концентрация фотонов
- •Волна де Бройля
- •Квантование Бора–Зоммерфельда
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Условия применимости классической физики
Корпускулярные свойства света
При взаимодействии света с веществом, когда происходит его испускание или поглощение, свет ведет себя как поток квантов энергии –фотонов, регистрируемых фотоприемником в виде «щелчков» в отдельных точках. При поглощении фотона электроном металла ему передается энергия и импульс фотона и возникает фотоэффект – выбивание электрона из металла, или внутренний фотоэффект – переход электрона из валентной зоны в зону проводимости полупроводника.
Энергия фотона по формуле Планка (1900 г.)
, (1.6)
Дж с эВ с,
Дж с эВ с.
Макс Планк (1858–1947)
Импульс ультрарелятивистской частицы связан с энергией
.
Учитывая
,
получаем, что модуль импульса фотона обратно пропорционален длине волны
. (1.7)
Плоская волна (1.1)
при помощи (1.6) и (1.7) выражается через энергию и импульс фотона
. (1.8)
Соотношения неопределенностей
Дифференцируем (1.7) и получаем вариацию импульса
.
Из (1.4)
находим
. (1.9а)
Чем точнее измеряется проекция координаты кванта, тем неопределеннее соответствующая проекция импульса, и наоборот.
Из (1.6)
и (1.5)
получаем
. (1.9б)
Чем меньше длительность излучения фотона , тем больше неопределенность его энергии, и наоборот.
Средняя концентрация фотонов
Согласно (1.2)
средняя энергия единицы объема волны пропорциональна квадрату модуля волны
.
Энергия фотона (1.6)
,
тогда средняя концентрация фотонов
.
Если в объеме имеется один фотон, то вместо концентрации используется плотность вероятности – вероятность обнаружения фотона в единице объема. В результате плотность вероятности обнаружения фотона пропорциональна квадрату модуля волны
. (1.10)
Волна де Бройля
Корпускулярно-волновая двойственность согласно де Бройлю присуща не только фотону, но и частице вещества.
По аналогии с фотоном частицу вещества описываем волной. Используя (1.8)
,
получаем, что частице массой m, движущейся вдоль оси x в поле с потенциальной энергией и с полной энергиейЕ сопоставляется волна де Бройля, или волновая функция (обозначаемая греч. буквой «пси»):
, (1.11)
где
–полная энергия частицы,
–модуль импульса частицы.
Длина волны
. (1.13)
Чем больше энергия, тем меньше длина волны. Для электрона с энергией в пределах от 1 эВ до эВ длина волны лежит в пределах от ~ 1 нм донм. В металлах длина волны де Бройля носителя тока порядка нанометра, в полупроводниках – несколько микрометров. Столь маленькая длина волны проявляется при дифракции и интерференции на объектах микроскопического размера.
Плотность вероятности обнаружения частицы
, (1.14)
т. е. вероятность найти частицу в момент t в единичном интервале около точки x. Вероятность обнаружения частицы в интервале dx
. (1.15)
Вероятность найти частицу во всем пространстве равна единице и выполняется условие нормировки
. (1.16)