- •Квантовая механика Введение
- •Темы курса
- •Контрольные мероприятия
- •Коллоквиум
- •Экзамен
- •Рейтинговая аттестация дисциплины с экзаменом
- •Основная Литература
- •Полуклассическая квантовая механика
- •Волновые свойства света
- •Корпускулярные свойства света
- •Соотношения неопределенностей
- •Средняя концентрация фотонов
- •Волна де Бройля
- •Квантование Бора–Зоммерфельда
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Условия применимости классической физики
Квантование Бора–Зоммерфельда
При распространении микрочастицы по траектории условие максимума интерференции (1.3)
обеспечивает наибольшую амплитуду волны и наибольшую вероятность обнаружения частицы, движущейся между начальной и конечной точками двумя путями, отличающимися по длине на .
Рассмотрим движение частицы с постоянным модулем импульса p по замкнутой траектории длиной .Частица выходит из некоторой точки траектории и приходит в другую точку двумя путями. Один путь является кратчайшим, на втором пути частица делает лишний полный оборот по траектории, что превышает первый путь на длину траектории . Используя (1.13)
,
получаем условие обнаружения частицы на траектории
.
Нарушение этого условия приводит к резкому уменьшению амплитуды волны и вероятности обнаружения частицы.
Обобщаем результат на случай, когда импульс изменяется вдоль траектории с элементом , и получаемформулу квантования Бора–Зоммерфельда
, (1.17)
где
–квантовое число, или номер траектории, показывает число раз, которое длина волны де Бройля укладывается на протяжении траектории;
–объем фазового пространства одномерного движения, занятогоn состояниями. Следовательно, каждое квантовое состояние одномерного движения занимает в фазовом пространстве объем, равный h.
Формула (1.17) применима в квазиклассическом приближении, когда существует траектория частицы, т. е. длина волны де Бройля гораздо меньше характерного размера траектории r. С учетом и (1.17) и (1.13)
,
получаем условия применимости (1.17)
, , . (1.18)
Полуклассическая теория неприменима для системы с характерным размером, сравнимым с длиной волны де Бройля, когда отсутствует понятие траектории.
Пример 1
Частица движется по окружности радиусом c постоянным модулем импульса . Из условия максимума интерференции волны де Бройля (1.17)
,
для траектории m получаем
,
.
Учтено, что импульс частицы на траектории m направлен по касательной к траектории и выполняется
.
В результате проекция орбитального момента квантуется
, (1.19)
где ось z перпендикулярна плоскости траектории;; –магнитное квантовое число. На рис. 4, а показана волна де Бройля электрона, движущегося по круговой траектории в ридберговском атоме водорода, то есть в атоме, находящемся в высоковозбужденном состоянии . Плотность электронного заряда распределена равномерно по траектории, электрический дипольный момент атома равен нулю.
а б
Рис. 4. Волна де Бройля электрона в атоме: а – состояние ,
б – суперпозиция состояний и
Под действием микроволнового импульса электрон преобразуется в суперпозицию состояний с близкими значениями квантового числа: и. Возникают биения, показанные на рис. 4,б. Максимум и минимум волны вращаются вокруг ядра, у атома появляется электрический дипольный момент, вращающийся с частотой (С. Арош. Управление фотонами в ящике и изучение границы между квантовым и классическим // Успехи физ. наук184, 1068 (2014)).