atapin

Вычисление премещений при изгибе с помощью универсального уравнения упругой линии балки

Для вычисления перемещений в статически определимых балках удобно использовать универсальное уравнение упругой линии балки. Оно представляет собой результат применения метода начальных параметров для интегрирования дифференциального уравнения изгиба балки. Теоретические сведения можно найти в учебнике [1], здесь же рассмотрим практические аспекты применения этого уравнения.

Метод начальных параметров позволяет получить две функции, выражающие изменение углов поворота и прогибов поперечных сечений по длине балки:

M

x Q

x2

0

0

2

n

Mi

x

ai

x

ai

(x)

1 i

1

(6)

0

m

x

bi

2

E J

Pi

x

bi

i

2

1

l

x

ci

3

qi

x

ci .

i

3!

1

212

M

x2

Q

x3

0

2

0

3!

n

x

ai

2

Mi

x

ai

1

i

1

2

w(x) w0

0 x

(7)

3

E J

m

x

bi

Pi

x

bi

i

1

3!

l

4

x

ci

qi

x

ci .

i

1

4!

В этих выражениях

(x) и w(x) – угол поворота и прогиб попереч-

ных сечений в произвольных точках оси балки. Начальные параметры 0 и w0 – угол поворота и прогиб поперечного сечения на левом конце

балки, они подлежат определению из граничных условий. M0 и P0 – изгибающий момент и сосредоточенная сила, действующие на левом

конце балки. Mi и Pi – сосредоточенные изгибающие моменты и сосре-

доточенные силы, приложенные в точках с координатами ai, bi, а n и m – количество моментов и сил. Координата x всегда отсчитывается от левого конца балки. Под знаками сумм стоят уже знакомые нам со-

множители Φ(x – li ) – функции Хевисайда. Эти сомножители равны

нулю при x < li и единице при x > li. Последняя сумма содержит qi – интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Предполагается, что действие распределенной нагрузки начинается в сечении с коорди-

натой ci, а заканчивается на правом конце балки. Если по условиям задачи действие распределенной нагрузки должно закончиться в сече-

нии с координатой di, то от сечения di до правого конца прикладывает-

ся противоположно направленная нагрузка такой же интенсивности qi. На рис. 10.13 показаны положительные направления силовых факторов.

213

Q0	Mi			Pi	qi
M0
	ai
			bi	ci	di		qi
							l

Рис. 10.13. Расчетная схема

В качестве примера рассмотрим задачу поперечного изгиба балки, для которой ранее были найдены реакции опор и внутренние силовые факторы. Поставим теперь задачу получить выражения для прогибов и углов поворота поперечных сечений балки (рис. 10.14). Выражения

(6) и (7) содержат неизвестные начальные параметры 0 и w0. Оче-

видно, что начальный прогиб w0 равен нулю, так как на левом конце балки имеется опора, препятствующая вертикальному смещению

Ra	q	P=1/2ql		Rb
				M=ql2
	l		l
	Рис. 10.14. Расчетная схема балки
концевого сечения. Второй параметр			0	определим с помощью гра-

ничного условия на правом конце балки, где также имеется шарнирнонеподвижная опора:

w(2l) = 0.

На рис. 10.15 приведена последовательность операторов MathCad, позволяющих получить разрешающее уравнение для вычисления 0 . Были выполнены следующие действия:

214

1)построено выражение для функции прогибов в произвольном сечении с координатой x;

1)

w(x)

0 x

1

Ra

x3

q

x4

q

(x

l)4

(x

l)

P

(x

l)3

(x l)

E J

4

4

3

3

2)

0 x

1

Ra

x3

q

x4

q

(x

l)4

(x

l) P

(x l)

3

(x

l)

E J

4

4

3

3

3)

2 l

4)

l 32 Ra l2

16 l3 q

4 P l2

(l)

l3 q

(l)

48 E J

0

24 E J

5)

l

32 Ra l2

16 l3 q

4 P l2

(l)

l3 q

(l)

48 E J

0

0

24 E J

Рис. 10.15. Формирование уравнения для вычисления начального угла	0

2)скопирована правая часть выражения для прогибов. Координату x нужно заменить здесь значением 2l;

3)на свободном поле поставлен идентификатор 2l и занесен в буфер обмена. В выражении шага 2) выделен любой из идентификаторов x и активизирована планка Symbolics-Variable-Sub- stitute;

4)это результат подстановки 2l в выражение шага 2), система автоматически привела подобные. Чтобы получить уравнение, нужно поставить знак равенства. Для этого выражение было выделено и с помощью Ctrl+= поставлен знак логического равенства («жирное равно»);

5)это уравнение будет скопировано в дальнейшем в файл, в кото-

ром будет вычислена константа 0 .

На рис. 10.16 приведен лист MathCad, реализующий вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений балки. Вначале программы вычисляются реакции опор – этот фрагмент целиком взят из раздела “Вычисление реакций опор и внутренних силовых факторов”. Затем с помощью процедуры Given-Find вычисляется

параметр 0 . И, наконец, строятся графики функций w(x) и (x) – прогибов и углов поворота поперечных сечений балки.

215

q	1000					l		1		P		1		q l			M			q l2			E	0.5 1011
												2
q	1000					l		1		P		1		q l			M	b h3			2		E	0.5 10				11
											0.1 2									q l
	b				0.05			h								J				3
																			12
Rab			10.05					h			0.1					J		b h
																		12
												3																					3
Ra			1			Ra 2 l				q l			l		P l		M			0		Ra	Find(Ra)					1.5				10
Given
Given			1			Ra 2 l				q l		32 l			P l		M			0	Ra		Find(Ra)					1.5			103
Rb												2
														1
Rb			1				Rb 2 l					q l			l	P l				M	0		Rb	Find(Rb)						0
Given														1
Given							Rb 2 l					q l		2 l		P l			M		0	Rb		Find(Rb)						0
														2	Ra		Rb			q l		P	0
0		1
															Ra		Rb			q l		P	0
0		1					l	32 Ra l2						16 l3 q				4 P l2				(l)	l3 q		(l)			48 E J				0
Given							l	32 Ra l2						16 l3 q				4 P l2				(l)	l3 q	(l)				48 E J				0			0
Given																				24 E J															0
																				24 E J
																					0	Find( 0 )				3.1				10		33
																				0		Find( 0 )				3.1				10
								1				3				4						4								3
w(x)					0	x						x3				x4				(x l)4			(x	l)		P		(x l)3					(x		l)
								1		Ra x					q x			q (x			l)						(x			l)
w(x)				0 x			E J			Ra		3			q	4		q			4		(x l) P					3				(x l)
							E J					3				4					4							3
x			0		0.1		2 l
x		0		0.1			2 l
									00							00.5.5						11						11.5.5							22
w((xx))						1		33
						1 10
						2 10		3
								3
						2 10
																						x
											2				3						3	x							2
							1																			(x l)
(x)				0					Ra		x	2		q	x	3	q	(x l) 3				(x	l)	P						2	(x			l)
							1				x				x			(x			l)					(x		l)
(x)				0		E J			Ra		2			q	3		q			3		(x l) P						2				(x l)
						E J					2				3					3								2
				4 10			3
					4 10		33
				2 10			3
(x)					2 10
(x)								0							0.5							1				1.5									2
				2		10	3
					2	10	3	0							0.5							1					1.5								2
																						x
																						x
														Рис. 10.16. Лист MatCad

216

Рассмотрим еще два примера.

Пример 1

q

1000

a

1

P

q a

M

2 q a2

E

0.5 1011

b

0.1

h

0.10

J

b h3

12

Ra

1

Given

Ra 2 a

q 4 a2

P 3 a

M

0

Ra

Find(Ra)

2.5

103

Rb

1

Given

Rb 2 a

P a

M

0

Rb

Find(Rb)

500

Ra

Rb

q 2 a

P

0

1

x3

x4

(x 2 a)4

(x 2 a)2

w(x)

w0

0 x

E J

P 3

q 4

q

4

(x 2 a) M

2

(x 2 a)

Given

w(a)

0

w(3 a)

0

0

Find( 0

w0)

0.00795

w0

0.00745

1

x3

x4

(x 2 a)

4

(x 2 a)

2

w(x)

w0

0 x

E J

P

3

q

4

q

4

(x

2 a)

M

2

(x

2 a)

x

0 0.1

3 a

5 10

3

w(x)

0

1

2

3

3

5 10

0.01

x

1

x2

x3

(x

2 a)3

(x)

0

E J

P 2

q

3

q

3

(x

2 a)

M (x

2 a)

(x

2 a)

0.01

5 10

3

(x)

3 0

1

2

3

5 10

0.01

x

217

Пример 2
q	1000		a		1	P	q a			M		2 q a2				E	0.5 1011
		b	0.1			h		0.10			J	b h3
													12
R	1
Given		R		q 2 a		P		0						R		Find(R)			3	103
MR		1
Given			MR		q 2 a2			P 3 a			M		0			MR		Find(MR)			3	103
0			0
w0			0
w(x)		w0		0 x		1		MR	x2		R	x3		q	x4	q	(x	2 a)4		(x	2 a)
						E J			2			3			4			4
x	0	0.1		3 a
		2 10			3 0						1							2				3
w(x)		6 10			3
				0.01
															x
				1				x2			x3			(x	2 a)		3
(x)		0	E J		MR x			R 2		q	3		q		3			(x	2 a)
		1 10		3
		1 10		3 0							1							2				3
(x)				3
		3 10
		5 10		3
														x
											218

Вычисление перемещений в криволинейном брусе с помощью интегралов Мора

Решим задачу вычисления вертикального и горизонтального перемещения в криволинейном брусе постоянного радиуса кривизны R. Брус обладает

R постоянной изгибной жесткостью EJ и нагружен на конце сосредоточенной силой P (рис. 10.17). Перемещение любой точки конструкции по заданному направлению вычисляется путем интегрирования

следующего выражения:

P

		l M P M1		ds ,	(8)
	Рис. 10.17. Кривой стержень	0	E J

где MP(s) – функция изгибающего момента, возникающего в попереч-

ном сечении бруса от внешних нагрузок, M1(s) – функция изгибающего момента от единичной силы, приложенной к брусу в направлении разыскиваемого перемещения. В знаменателе – жесткость бруса на изгиб EJ. Интегрирование выполняется по всей длине бруса. Дифференциал ds в выражении (8) заменим:

ds R d .

(9)

R

Соответственно поменяются и пределы

M

интегрирования:

3

R sin

2 M

M

P 1

R d

.

(10)

P

0

E J

Чтобы установить

зависимость

Рис. 10.18. Расчетная схема

элемента стержня

MP( ), проведем сечение (рис. 10.18) и

219

составим уравнение равновесия – сумму моментов, действующих на отсеченную часть:

MP ( ) PRsin .

(11)

Для нахождения вертикального перемещения конца бруса нужно вместо силы P приложить единичную силу. Соответственно в выражении для момента (11) нужно значение силы P положить равным единице:

M1( ) Rsin .

(12)

Подставим в выражение (10) функции моментов:

	3
	2			PR sin R sin	R d .	(13)
	гор
				E J
	0

Интегрирование выражения (13) выполним с помощью символьного процессора MathCad:

3
2 P R sin(f ) R sin(f )			R df	3 P R3	.	(14)
		E J
				4 E J

0

В этом выражении знак интеграла взят из панели инструментов Calculus, а знак символьного вычисления выражения – из панели Evaluation (рис. 10.19):

Рис. 10.19. Панели

220

	Чтобы вычислить горизонтальное перемещение конца бруса, нуж-
	но приложить единичную силу, действующую в горизонтальном на-
	правлении (рис. 10.20). В выражении		R
	для момента (11) изменится	плечо
	единичной силы.		M
	M1( ) R(1 cos ) .	(15)
	Выражение для момента от внеш-		R (1 – cos )
	них нагрузок (11) останется неизмен-		1
	ным. Тогда для вычисления горизон-		Рис. 10.20. Расчетная схема
	тального перемещения нужно вычис-
	лить интеграл

	3
	2			PR sin R 1 cos	R d .	(16)
	верт
				E J
	0

Снова применим символьный процессор MathCad:

	3
	2 P R sin(f ) R (1 cos(f ))				R df	P R3	.	(17)
				E J
						2 E J

0

В дальнейшем в результирующие выражения (14) и (17) можно подставить значения силы P, радиуса R, изгибной жесткости EJ и получить численное значение прогибов. Впрочем, в этом случае можно сразу использовать численный процессор (рис. 10.21).

P 1000			R 1	E	2 1011	J 500 10 8
3
2			P R sin(f ) R (1	cos(f ))		10 4
					R df 5
			E J
0

Рис. 10.21. Использование численного процессора

221