atapin

	Задача	Расчет пространственной
	9
		стержневой конструкции

Пространственная стальная стержневая конструкция состоит из стержней прямоугольного поперечного сечения с размерами b h (рис. 5.4). Стержни образуют в местах сопряжения прямые углы. До-

пускаемое напряжение материала 200 МПа, модуль упругости

E 2 105 МПа, модуль сдвига G = 0,8·105 МПа. Исходные данные к задаче приведены в табл. 5.2.

Требуется определить:

1)допускаемую интенсивность нагрузки q при рациональном расположении поперечного сечения стержня;

2)вертикальное перемещение свободного торца конструкции при действии этой нагрузки.

Указание. Искомое перемещение определить энергетическим методом с учетом всех внутренних усилий, оценив влияние каждого из них на результат.

						Т а б л и ц а 5.2
			Исходные данные к задаче 9
			Соотношение			Размеры
	Номер				Длина, м	поперечного
		Схема	силовых факторов
	строки					сечения, мм
			F/ql	M/ql2	l	b		h
	1	1	1	6	0,2	40		60
	2	2	2	5	0,3	45		70
	3	3	3	4	0,4	50		80
	4	4	4	3	0,5	55		80
	5	5	5	2	0,2	60		90
	6	6	6	1	0,3	65		100
	7	7	4	1	0,4	70		120
	8	8	3	2	0,5	35		60
	9	9	2	3	0,3	40		80
	0	10	1	4	0,4	50		100
		е	д	г	д		е
				112

1

l

2l

F l q

2

2l

q

l

l

M

3

F

2l

4

l

2l

F

q

l

l

l

q

5	l	6
	l	l	M
		F
	q	2l	q
	2l
		l

7

2l

l

8

2l

l

l

l

q

F

q

M

9

10

q

F

l

2l

l

2l

l

q

F

l

Рис. 5.4. Расчетные схемы к задаче 9

113

ПРИМЕР РАСЧЕТА И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧИ

Пространственная стержневая конструкция (рис. 5.5, а) изготовлена из стали и состоит из стержней прямоугольного поперечного сечения с размерами b×h, которые образуют в местах сопряжения пря-

мые углы. Допускаемое напряжение материала						160 МПа , мо-
дуль упругости E		2 105 МПа, модуль сдвига G				0,8 105 МПа.
Исходные данные приведены в таблице.
	Отношение			Длина,	Размеры
	силовых				поперечного
				м
	факторов				сечения, мм
	F/ql		M/ql2	l	b	h
	1		1	0,5	60	100

Требуется определить:

1)допускаемую интенсивность нагрузки q при рациональном расположении поперечного сечения стержня;

2)вертикальное перемещение свободного торца конструкции при действии этой нагрузки.

Указание. Искомое перемещение определить энергетическим методом с учетом всех внутренних усилий, оценив влияние каждого из них на результат.

x

y

y

q

z

x

III

2l

x

z

II

l

2l

y

I

z

F = ql

а

б

Рис. 5.5. Расчетная схема конструкции

114

Решение

Система координат. Выбираем скользящую систему координат (рис. 5.5, б). Расположение осей принимаем аналогично ранее принятому их расположению для балки с горизонтальной осью. Сначала наносим оси на горизонтальном участке (втором, считая от свободного торца стержня), затем переходим к первому (вертикальному) участку, поворачивая систему координат вокруг оси z; переход к третьему участку совершается путем поворота системы координат вокруг оси y.

Эпюры внутренних сил

 Правило знаков:

нормальная сила имеет знак плюс при растяжении и знак минус при сжатии; ординаты эпюры N откладываются по оси y;

значения перерезывающих сил и крутящих моментов указы-

ваются по абсолютной величине; ординаты эпюр Qy, Qz откладываются по осям y, z соответственно в направлении внешних сил, приложенных к отсеченной части, примыкающей к сво-

бодному концу стержня; ординаты эпюры Mx – в направлении оси y;

ординаты эпюр изгибающих моментов My, Mz откладываются в плоскости действия этих моментов со стороны сжатых волокон; при наличии в их выражениях нескольких слагаемых знак плюс приписывается тем членам, которые соответствуют изгибу вогнутостью в сторону положительного направления

данной координатной оси (для My – оси z, а для Mz – оси y). Составим выражения внутренних силовых факторов по участкам с учетом введенного выше правила знаков:

участок I ( 0 x1 l ):					x
		y
N = 0	Mx = 0					x1
Qy = F = ql	My = 0
		z
							F = ql
Qz = 0	Mz = −Fx1 = − qlx1

115

участок II ( 0 x2 2l ):

N = − ql	Mx = 0
Qy = qx2	My = 0
Qz = 0	Mz = − ql2 – qx22/2

участок III ( 0 x3 2l ):

N = 0

Qy = 2ql

Qz = 0

Mx = ql2 + 2ql2 = 3ql2

My = qlx3

Mz = − 2qlx3

q y

x2	x
l
z
	F = ql

y x

q

z

	2l	x3
l
		F = ql

Эпюры внутренних силовых факторов приведены на рис.5.6. Опасное сечение – заделка, так как здесь имеем пять внутренних

силовых факторов из шести.

Рациональное расположение сечения. В связи с тем, что M z M y ,

то в опасном сечении поперечное сечение стержня следует расположить так, как показано на рис. 5.7.

Анализ опасных точек. На рис. 5.7 построены эпюры распределения напряжений от внутренних силовых факторов в опасном сечении – заделке. Опасными являются точки B, C, D:

в точке B суммируются касательные напряжения			M x	кру-
чения и	Qz	изгиба и действуют нормальные напряжения
M z	изгиба;
в точке С суммируются касательные напряжения			M x	кру-
чения и	Qy	изгиба и действуют нормальные напряжения
M y	изгиба;
в точке D суммируются нормальные напряжения изгиба (по-
ложительные)		M z , M y .
		116

2ql

(−)

ql

ql

2ql

N

ql

Qy

Qz

3ql2

2ql2

4ql2

ql2

ql2

3ql2

Mx

My

Mz

Рис. 5.6. Эпюры внутренних силовых факторов

	D	y		M	z	Q	y	M x
	M x			(+)
h	C
				z
	Qy			(−)
	M x	B		Qz
		b
				Wz = bh2/6 = 100 cм3,
			(−)	Wy = hb2/6 = 60 см3,
	M y	(+)		Wk = hb2 = 84,6 см3,
							2	,
				A = bh = 60 см
	Qz			0,235;			0,83 при h/b = 1,67
/	M x

Рис. 5.7. Рациональное расположение сечения

117

Вычислим напряжения в указанных точках: точка D: линейное напряженное состояние

D M z	M y	M z / Wz M y / Wy
4qa2 / 100 10 6		2qa2 / 60 10 6 0, 0183 106 q;

точка В: плоское напряженное состояние

M z / Wz	0,01 106 q (точка В находится в сжатой области,
рис. 5.7),
Q	/ M	x	3 / 2 Q / A	M	x	/ W 0,0075 106 q .
z			z			k

По критерию наибольших касательных напряжений имеем:

экв

2

4 2

0,018 106 q ;

точка С: плоское напряженное состояние

M y / Wy

0,0083 106 q ,

Q

y

M

x

3 / 2 Q

y

/ A

M

x

/ W 0,009 106 q ,

k

экв

2

4 2

0,0198 106 q .

Таким образом, наиболее опасной является точка С: max 0,0198 106 q .

Условие прочности. Из условия прочности

max	0,0198 106 q

определяем значение внешней распределенной нагрузки при рациональном расположении поперечного сечения стержня (рис. 5.7):

q = 8,08 кН/м.

Ответ

Вертикальное перемещение свободного торца стержня. Верти-

кальное перемещение свободного торца стержня под действием заданной нагрузки

= N + Q + M	x	+	M	изг	;
118

	N N			kyQyQy1		k Q Q
N	1	dx ,	Q		dx	z z z1	dx ;
	EA			GA		GA

	M x	M x M x1	dx ,	Mизг	M y M y1	dx	M z M z1	dx .
		GIk			EI y		EIz

Интегрирование ведется по всем участкам ломаного стержня.

■Определяем геометрические характеристики поперечного сечения стержня. Так как на всех участках высота поперечного сечения h ориентирована вдоль оси y (рис. 5.8), то главные

центральные моменты инерции Iz, Iy постоянны для всех участков стержня:

		y
	y	z
x		x
y
	z

z

Рис. 5.8. Пространственная стержневая конструкция с рациональным расположением прямоугольного поперечного сечения

I z		bh3			0,06 0,13		5 10		6	м4 ;
	12				12
I y		hb3				0,1 0,063		1,8 10		6 м4 ;
	12
					12
Ik		hb3			0,208 0,1 0,063					4,49 10 6 м4 ;
A	bh 0,06 0,1 0,006 м2 .

Для прямоугольного поперечного сечения ky = kz = 1,2.

119

■Для определения вертикального перемещения свободного торца стержня прикладываем к торцу единичную силу в вертикальном направлении (по оси х участка I) вниз и строим эпюры внутренних силовых факторов от этой силы (рис. 5.9).

											1
					(+)
			1					N1				Qy1				Qz1
		1

2l

2l

2l

Mx1

My1

Mz1

Рис. 5.9. Эпюры внутренних силовых факторов от единичной силы

■Определяем вертикальное перемещение, принимая нагрузку q равной допускаемой величине при рациональном расположении сечения, т. е. q = 8,08 кН/м. Соответствующие интегралы Мора вычисляем по способу Верещагина. Для этого перемножаем эпюры, приведенные на рис. 5.6 и 5.9:

N = 0;

			ky		1	2ql 2l 1 2ql 2l 1 0
	Q Qy	Qz	GA 2

	ky 6ql2	1,2 6 8,08 10			3 0,52	3030 10	8 м 0,03 мм ;
	GA		0,8 105	0,006
					120

				1				3ql2 2l 2l									12ql4
M x
			GIk																GIk
12		8,08 10								3	0,54						1,69 10 2					м = 16,9 мм;
	0,8 105					4, 49 10							6
Mизг						M y					M z
0		1 2l								0 4 1,5ql2 l 3ql2 2l															1		4ql2 2l			2	2l
		EI z					6																		2					3
											2		0,5				0		6	8, 08 10				3	0,52				0,5
				1									6				6		8, 08 10				3	0,5			2	0,5
2 105				5 10						6			16							3		0,52
																8, 08 10								0,5				0,5
														3
0, 47 10 2 м = 4,7 мм ;
											= 0,03 + 16,9 + 4,7 = 21,63 мм.																				Ответ

Таким образом, наибольшее влияние на величину полученного перемещения оказывает крутящий момент, наименьшее – перерезывающая сила.

121