atapin

	участок VI (0 ≤ x ≤ 1 м)
	q= 20 кН/м
М= 80 кН·м		x	x
	1 м
		y
	1 м	1 м
38,156 кН
	1 м	25,128 кН

N = 25,128 − q·2 = − 14,872 кН, Qy = 38,156 кН,

Mz = − 38,156(2 − x) + M − q·2·1 + 25,128·1 = = − 38,156(2 − x) + 65,128.

По полученным аналитическим выражениям построены эпюры внутренних силовых факторов, показанные на рис. 6.6.

q=20 кН/м	III	А	V			38,156
	EI		EI		2EI	−
M=80 кН·м	2EI			VI
					1м
	II
					B		−
	IV
2EI			2EI		1м	−	14,872
	I
X1= 38,156 кН	C		D				25,128
	1м		1м			N, кН
X2= 25,128 кН

Рис. 6.6. Эпюры внутренних силовых факторов (см. также с. 133)

132

5,128 14,872

20

38,156

38,156

Qy , кН

3,688	6,312	11,184
38,156
41,844		26,972
	Mz , кН · м

Рис. 6.6. Окончание

Проверка правильности раскрытия статической неопределимости рамы.

■Статическая проверка заключается в проверке равновесия некоторой отсеченной части рамы под действием приложенных к ней внешних сил и внутренних силовых факторов (берутся с эпюр N, Qy, Mz, рис. 6.6), заменяющих действие от-

брошенных частей рамы на оставленную часть.

Рассмотрим, например, равновесие узла А (рис. 6.6). Из рис. 6.7 следует, что узел А находится в равновесии: сумма проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси, а также сумма моментов всех сил относительно точки А равны нулю.

А

38,156 кН

38,156 кН

6,312 кН·м

6,312 кН·м

20 кН

5,128 кН

25,128 кН

Рис. 6.7. Статическая проверка равновесия узла А

133

■Деформационная проверка заключается в определении перемещений в заданной системе, значения которых известны.

Проверим, например, равен ли нулю угол поворота θВ в сечении В рамы (рис. 6.6). Для этого выберем другую основную систему, в которой угол поворота в сечении В возможен, и построим единичную

эпюру M1 (рис. 6.8). Для определения угла поворота в сечении В

перемножим эпюру M1																(рис. 6.8) с			окончательной эпюрой Mz
(рис. 6.6) по способу Верещагина:
				1					1		6,312			0		4	6, 248	0,5	11,184 1
B				EI				6
1				1				2			11,184 1					2	26,972 1		11,184 1	26,972 1
	2EI			6
3,947								3,947						0,
		EI									EI

т. е. статическая неопределимость рамы раскрыта правильно.

1м	1м		1
EI	EI
1м	2EI
2EI
	2EI	B
1м		1	1
C	D		M1 , м

Рис. 6.8. Расчетная схема рамы при деформационной проверке и эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки

134

Подбор двутаврового профиля. Подбор сечения проводится из условия прочности на изгиб

	max		M z max
			Wz
по формуле	W	M z max			.
	z

■Вертикальные стержни выполнены из двух профилей двутаврового сечения с Wzверт = 2Wz. Тогда

W	z	M zвертmax		41,844 10	3	0,131 10	3	м	3	131см	3	.
		2	2 160

■ Горизонтальные стержни выполнены из одного профиля двутаврового сечения с Wzгор = Wz. Тогда

W	z	M zгорmax 11,184 10 3			0,0699 10	3	м	3	69,9см	3	.
				160

Из двух значений Wz выбираем наибольшее значение, соответствующее условию прочности на вертикальных стержнях. По

ГОСТ 8239-72 выбираем двутавровую балку №18 с Wz = 143 см3,

Iz = 1290 см4. При этом максимальные напряжения в раме будут составлять

	max	M zвертmax		41,844 10	3	146,3МПа <	160 МПа .
		2Wz	2 143 10 6

1

K 1

1

M1 , м

Рис. 6.9. Расчетная схема рамы для вычисления угла поворота в сечении K

Вычисление угла поворота в сечении K.

Для вычисления угла поворота рамы в сечении K используется основная система (рис. 6.9). В сечении K прикладывается единичный момент и строится эпю-

ра M1 . Далее по способу Верещагина эта единичная эпюра перемножается с окончательной эпюрой Mz (рис. 6.6):

135

		1		1		2 11,184 10	3	1		2	26,972 10		3	1
K
		2EI z		6
11,184 10				3	1	26,972 10	3	1
		7,894 10 3 МН м2								0,00153рад		180о			0,0877о.
	2 2 105 МПа					1290 10 8 м4

Так как в результате расчета получили положительное значение угла поворота, то, следовательно, направление угла поворота в сечении K совпадает с направлением единичного момента на рис. 6.9.

Исследование напряженного состояния рамы в случае поврежде-

ния опор. В процессе работы конструкции одна из опор может быть повреждена. Так как система является статически неопределимой, то в этом случае напряжения в раме перераспределятся и при заданном значении q могут превысить допускаемые. Для оценки возможности работы рамы при повреждении шарнирно-подвижных опор рассмотрим следующие ситуации.

■Повреждена опора D. Расчетная схема рамы для этой ситуации приведена на рис. 6.10. В этом случае в системе канониче-

ских уравнений следует положить неизвестное Х2 = 0 и рассмотреть решение уравнения

				11X1 1F			0 .
При известных		63	,		1070		получаем
	11	6EI		1F		3EI

Х1 = 33,97 кН.

На рис. 6.10 построена эпюра изгибающих моментов в случае повреждения опоры D.

Вычисляем напряжения для принятого поперечного сечения из двутаврового профиля № 18:

вертикальные стержни

	верт M zвертmax		46,03 10		3	160,9МПа >	160МПа ;
	max	2Wz		2 143 10	6
					136

горизонтальные стержни
гор M zгорmax		27,94 10		3	195,4МПа >	160МПа .
max	Wz		143 10 6

q= 20 кН/м

М= 80 кН·м

C D

Х1 = 33,97 кН

12,06	27,94
	33,97
46,03
B	6,03
	Mz, кН·м

Рис. 6.10. Расчетная схема и эпюра изгибающих моментов в случае повреждения опоры D

Из расчетов видно, что при повреждении опоры D максимальные напряжения составляют 195,4 МПа, что в 195,4/160 = 1,22 раза превышают допускаемые напряжения. Следовательно, для безопасной эксплуатации поврежденной конструкции необходимо во столько же раз снизить эксплуатационную нагрузку. При этом она будет

[q] = 20/1,22 = 16,4 кН/м

и соответственно

M = 4ql2 = 65,6 кН·м.

■ Повреждена опора С. Расчетная схема рамы для этой ситуации приведена на рис. 6.11. В этом случае в системе канонических уравнений следует положить неизвестное Х1 = 0 и рассмотреть решение уравнения

					22 X2	2F		0 .
	При известных		5	,		275		получаем
		22	6EI		2F	6EI

Х2 = −55 кН.

137

На рис. 6.11 построена эпюра изгибающих моментов в случае повреждения опоры С.

Вычисляем напряжения для принятого поперечного сечения из двутаврового профиля № 18:

вертикальные стержни

верт

M zвертmax

80 10 3

max

2Wz

2 143 10 6

горизонтальные стержни

гор

M zгорmax

80 10 3

max

Wz

143 10 6

q= 20 кН/м

М= 80 кН · м

B

C

D

Х2 = 55 кН

279,7МПа >	160МПа ;
559,4МПа >	160МПа .
	70
80	15

15

80

B

Mz , кН · м

C D

Рис. 6.11. Расчетная схема рамы и эпюра изгибающих моментов в случае повреждения опоры D

Таким образом, при повреждении опоры D максимальные напряжения составляют 559,4 МПа, что в 559,4/160 = 3,496 раза превышает допускаемые напряжения. Поэтому допускаемая эксплуатационная нагрузка будет

[q] = 20/3,496 = 5,72 кН/м

и соответственно

M = 4ql2 = 22,88 кН·м.

138

7

РАСЧЕТ КРИВОГО СТЕРЖНЯ

	Задача	Расчет кривого стержня
	11
		на прочность

Проверить прочность стального кривого стержня (рис. 7.1) при заданном поперечном сечении (рис. 7.2). Исходные данные для варианта задачи выбрать по табл. 7.1. При расчете принять предел текучести ма-

териала стержня σт = 1200 МПа, допускаемый коэффициент запаса прочности [n] = 1,5.

										Т а б л и ц а 7.1
			Исходные данные к задаче 11
				Нагрузка			Размеры к схемам				Размеры
	Схема		Сечение								сечения
Номер
	по		по
строки				F		M	R1	R2	l		a		d
	рис. 7.1	рис. 7.2
				кН		кН·м		мм				мм
1	1		1	32		5	240	220	60		50		120
2	2		2	40		6	260	240	65		55		130
3	3		3	48		7	280	260	68		60		140
4	4		4	56		8	300	280	72		65		150
5	5		5	65		9	320	300	75		70		155
6	6		6	72		10	340	320	80		75		160
7	7		5	82		11	360	340	85		80		165
8	8		4	88		12	380	360	88		85		170
9	9		3	95		13	400	380	95		90		175
0	10		2	102		14	420	400	100		95		180
		е			д			г				д
					139

1			l		1,8F

R2

2l

1,8F

3

R1

F

5

				R2
1,8F						1,8F

7

М

R1 45о

9

М	R2

l

2

1,5F	R1	1,5F
		F
4
	R2
		l
		F
6
	R2	F
		М
8	R2
		l
		М

10

F R1

l

Рис. 7.1. Расчетные схемы к задаче 11

140

a

2a

4a

5a

4a

4a

3a

3a

2a

1

2

3

3a

d

	a
	3a	6a
6a		a

4a

4

4a

5		6

Рис. 7.2. Поперечные сечения к задаче 11

141