- •Федеральное агентство морского и речного транспорта
- •Глава 1. Дискретные случайные Величины
- •1.1. Понятие случайной величины
- •1.2. Функция распределения случайной величины
- •1.3. Закон распределения дискретной случайной величины
- •1.4. Функция распределения дискретной случайной величины
- •1.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •1.6. Свойства математического ожидания.
- •3. Теорема сложения для математического ожидания.
- •4. Теорема умножения для математического ожидания.
- •1.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •1.8. Свойства дисперсии
- •7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического.
- •1.9. Биномиальное распределение
- •1.10. Распределение Пуассона
- •Глава 2. НепрерыВные случайные Величины
- •2.1. Плотность непрерывной случайной величины
- •2.2. Особенность непрерывной случайной величины
- •2.3. Вероятностный смысл плотности распределения
- •2.4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •I. Наводящее рассуждение.
- •II. Определение математического ожидания.
- •III. Математическое ожидание функции случайного аргумента.
- •IV. Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.
- •2.5. Дисперсия непрерывной случайной величины
- •2.6. Нормальное распределение
- •2.7. Показательное распределение
- •2.8. Равномерное распределение
- •2.9. Преобразование случайных величин
- •I. Линейное преобразование нормального закона.
- •II. Общий случай преобразования случайной величины.
- •2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального распределения.
- •I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.
- •II. Вероятность отклонения от математического ожидания.
- •III. Правило «трех сигм».
- •2.11. Корреляция случайных величин
- •1. Нормированные случайные величины.
- •2. Корреляционный момент.
- •3. Коэффициент корреляции.
- •Глава 3. Закон больших чисел
- •3.1. Первое неравенство Чебышева
- •3.2. Второе неравенство Чебышева
- •3.3. Сходимость по вероятности
- •3.4. Общий закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.5. Частный закон больших чисел в форме Чебышева.
- •3.6. Закон больших чисел в форме я.Бернулли.
- •3.7. Центральная предельная теорема.
- •Глава 4. ДвумеРные случайные Величины
- •4.1. Функция распределения двумерной случайной величины
- •Свойства функции распределения
- •4.2. Дискретные двумерные случайные величины
- •4.3. Непрерывные двумерные случайные величины
- •Вероятностный смысл плотности
- •4.4. Вероятность попадания случайной точки в заданную область
- •4.5. Свойства плотности непрерывной двумерной случайной величины
- •4.6. Условные законы распределения составляющих
- •I. Случай дискретной двумерной случайной величины.
- •II. Случай непрерывной двумерной случайной величины.
- •4.7. Критерии независимости составляющих
- •Список литературы
- •Оглавление
- •Глава I. Дискретные случайные величины………………...3
- •Глава II. Непрерывные случайные величины ………..…22
- •Глава IV. Двумерные случайные величины ……………………..… 51
- •Ястребов Михаил Юрьевич
2.8. Равномерное распределение
Определение: Непрерывная случайная величина имеетравномерное распределение на отрезке , если ее плотность имеет вид:
(18)
График плотности равномерного распределения изображен на рис. 8.
Рис.8.
Теорема. Если непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , то:
; ;.
Замечание. Число — середина отрезка; число— длина отрезка;
Доказательство. Для определения параметра воспользуемся свойством плотности (10):
, откуда .
Далее,
.
. ▄
Замечание. Полученные значения математического ожидания и дисперсии равномерного распределения хорошо иллюстрируют их статистический смысл.
Так, в силу симметрии графика плотности относительно середины отрезка, при большом числе реализаций случайной величины одинаково часто будут встречаться значения случайной величины с обеих сторон от этой середины. Поэтому среднее арифметическое должно оказаться близким к ней.
Чем больше длина отрезка, то есть число , тем на большем промежутке «размазаны» возможные значения, тем больше должна быть дисперсия, которая как раз и пропорциональна квадрату длины отрезка.
Аналогичными вычислениями получается выражение для функции распределения равномерного распределения:
2.9. Преобразование случайных величин
I. Линейное преобразование нормального закона.
Теорема. Если случайная величина распределена по нормальному закону с параметрамии, то прислучайная величина, полученная излинейным преобразованием вида, также имеет нормальное распределение с параметрамии.
Доказательство. Рассмотрим случай . Тогда функциястрого возрастает, и имеет место равносильность неравенств:
.
Поэтому также имеет место равенство событий:
.
Найдем функцию распределения случайной величиныи убедимся, что она соответствует нормальному распределению.
.
Пришли к функции распределения нормального закона с параметрами и. Аналогично рассматривается и случай. ▄
II. Общий случай преобразования случайной величины.
Пусть теперь – не линейная, а произвольная непрерывнаястрого монотонная функция. Аналогичными выкладками можно при заданных функции распределения и плотностислучайной величинынайти функцию распределенияи плотностьслучайной величины. Дело сводится к замене переменной в соответствующем интеграле.
Пример. Пусть , то есть. Из равносильности неравенств:вытекает равенство событий:. Поэтому
.
Подынтегральная функция в последнем выражении является плотностью распределения случайной величины :.
2.10. Вероятность попадания в промежуток для нормального распределения.
I. Вероятность попадания в произвольный промежуток.
Теорема. Пусть непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. Тогда для всякого промежуткавероятность попадания значенияв этот промежуток задается формулой:
. (19)
Доказательство. Поскольку для непрерывной случайной величины вероятность попадания в промежуток не зависит от типа промежутка (п. 2.2), докажем формулу (19) для интервала . Введем случайную величину
.
Она получена из линейным преобразованием. По предыдущей теоремеимеет нормальное распределение с параметрамии. Ее плотностью является дифференциальная функция Лапласа, одной из первообразных которой является интегральная функция Лапласа.
Ввиду равносильности неравенств
,
получаем для вероятностей:
.
Применяя к последнему интегралу формулу Ньютона-Лейбница с первообразной , получаем окончательно:
. ▄
Пример. Пусть имеет нормальное распределение с параметрамии. Найдем вероятность попадания в отрезок.
Здесь . Учитывая нечетность функции, получаем:
.
В соответствии с эмпирическим законом больших чисел, следует ожидать, что при большом числе испытаний относительная частота попадания реализованного значения случайной величины в отрезок окажется близкой к 82%.