- •Глава 2. Степенные ряды
- •2.1. Область сходимости функционального ряда
- •2.2. Теорема Абеля для степенных рядов
- •2.3. Радиус сходимости степенного ряда
- •Определение интервала сходимости
- •2.4. Почленное дифференцирование степенного ряда
- •2.5. Почленное интегрирование степенного ряда
- •2.6. Степенные ряды в окрестности произвольной точки.
- •2.7. Коэффициенты Тейлора функции.
- •2.8. Ряд Тейлора функции
- •2.9. Остаточный член ряда Тейлора
- •Сходимость ряда Тейлора в терминах остаточного члена
- •2.10. Формула Тейлора
- •Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
- •Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
Определение интервала сходимости
Пусть радиус сходимости степенного ряда (21). Поскольку приряд сходится абсолютно, рассмотрим ряд, составленный из модулей:
, (24)
и применим к нему признак Даламбера. Пусть существует предел .
1. Пусть сначала — конечное число; тогда при:
.
По признаку Даламбера положительный ряд (24) сходится, если , и расходится, если. Поэтому для радиуса сходимостистепенного ряда (21) справедлива формула:
. (25)
2. Если , то неравенствовыполняется при всех, так что в этом случае.
3. Если , то ряд расходится при всех, и.
Пример. Найдем радиус и интервал сходимости степенного ряда . Здесь. Находим предел:
.
Поэтому радиус сходимости ; интервал сходимости. Исследуем теперь сходимость в граничных точках.
При после преобразований получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница.
При после преобразований получаем положительный ряд, который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом:
(так как при справедливо неравенство).
Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток .
2.4. Почленное дифференцирование степенного ряда
Укажем без доказательства (см., например, [1]), что справедлива следующая
Теорема. Пусть степенной ряд
имеет радиус сходимости , ипри— его сумма. Тогда функциядифференцируема в интервале, степенной ряд
,
составленный из производных членов исходного ряда, имеет тот же интервал сходимости, и его сумма равна :
. (26)
Замечание.Теорема означает, что в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно:
.
Следствие.Сумма степенного ряда в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией, и все ее производные можно получить последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.
Действительно, к ряду (26), составленному из производных, снова можно применить теорему о почленном дифференцировании в интервале и т.д.
Пример.По формуле суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии с начальным членоми знаменателемпри:
.
Дифференцируя это равенство (причем ряд справа — почленно), получим:
или
. (27)
Равенство (27) справедливо при .
2.5. Почленное интегрирование степенного ряда
Также без доказательства укажем (см., например, [1]), что справедлива следующая
Теорема. Пусть степенной ряд
имеет интервал сходимости , и функция— его сумма. Если отрезоксодержится в, точисловой ряд , составленный из интегралов отдельных слагаемых, сходится, и его сумма равна ,то есть
.
2.6. Степенные ряды в окрестности произвольной точки.
Снова рассмотрим степенной ряд (20) в окрестности произвольной точки :
.
Введем новую переменную . Тогда ряд (20) примет вид:
(28)
ряд в окрестности точки . Пусть — его интервал сходимости. Тогда ряд (28) абсолютно сходится при
и расходится при . Поэтому интервал сходимости степенного ряда (20) в окрестности произвольной точкиполучается из интервала сходимости степенного ряда (28) с теми же коэффициентами, но в окрестности нулевой точки, смещением середины интервала сходимости в точку. Радиус сходимости по-прежнему может быть найден по формуле (25).