2.10. Формула Тейлора

Из определения остаточного члена следует, что . Записывая остаточный член в форме Лагранжа, получим:

,

или в подробной записи:

(35)

где — промежуточная точка междуи. Формула (35) называетсяформулой Тейлора.

Рассмотрим частные случаи формулы Тейлора.

1.Приформула (35) приводит к теореме Лагранжа:

или

.

2.Приформула (35) принимает вид:

. (36)

Таким образом, она раскрывает структуру разности между приращением функции в точкеи ее дифференциалом, которые, как известно [2], являются эквивалентными бесконечно малыми величинами прии отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка.

Эта формула позволяет оценивать погрешность, допускаемую в приближенных вычислениях при замене приращения функции ее дифференциалом.

11. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора

Теорема. Пусть в окрестности точки производные всех порядков функции ограничены одним и тем же числом:при всехи при любом. Тогда функция разлагается вв ряд Тейлора(то есть ее ряд Тейлора

сходится при всех , и его сумма равна).

Доказательство. Достаточно проверить, что остаточный член стремится к нулю (см. п. 2.9). Приимеем:

.

В соответствии с формулой (12) (п. 1.9): , откуда по принципу сжатой переменной. ■

11. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

1. Рассмотрим показательную функцию . При всехимеем:. Ряд Маклорена имеет вид:

Для каждого натурального при всех. По достаточному условию разложимости, выполненному для интервалаи для, функцияразлагается в ряд Маклорена в интервале, а значит, и на.

Показательная функция раскладывается на в степенной ряд вида:

.

2. Рассмотрим функцию. Последовательно дифференцируя, получаем:

…

и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены:. Поэтомуфункция раскладывается нав степенной ряд; разложение содержит только нечетные степени и имеет вид:

.

3. Рассмотрим функцию. Последовательно дифференцируя, получаем:

…

и т.д. Через каждые четыре дифференцирования производные повторяются. Производные всех порядков при всех ограничены:. Поэтомуфункция раскладывается нав степенной ряд; разложение содержит только четные степени и имеет вид:

.

4. Рассмотрим функциюс областью определения. Ее производная. Функцияявляется присуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членоми знаменателем:

Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где:

.

Разложение справедливо при . Можно показать, что оно сохраняется и при.

5. Рассмотрим функциюс областью допустимых значений. Ее производная. Функцияявляется присуммой бесконечно убывающей геометрической прогрессий с начальным членоми знаменателем:

Проинтегрируем это равенство почленно по направленному отрезку , где:

. (37)

При в правой части равенства (37) имеем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. Можно показать, что в этих точках сохраняется равенство (37). Приполучаем:

.

6. Биномиальный ряд.Пусть— фиксированное действительное число (не обязательно целое или рациональное). Рассмотрим функциюи составим формально ее ряд Маклорена. Последовательно дифференцируя, находим:

…

Ряд Маклорена имеет вид:

(*)

и носит название биномиального ряда. Можно показать (см., например, [2, 3]), что разложение функциив биномиальный ряд имеет место при:

(38)

При целомвсе коэффициенты, начиная с коэффициента при, содержат множительи потому равны нулю. Получается разложение функциив конечную сумму слагаемых по степеням, которое носит названиебинома Ньютона:

;

числа

носят название биномиальных коэффициентов.

Частными случаями бинома являются известные по школьному курсу формулы:

; .

7. Рассмотрим функцию. По теореме об интеграле с переменным верхним пределом при:

.

Введем обозначение и разложим функциюв биномиальный ряд (при):

Разложение имеет место при

.

Возвращаясь к переменной , получаем:

.

Интегрируя это равенство по направленному отрезку , получаем разложение арксинуса в интервале сходимости:

.

Можно доказать, что это равенство сохраняется и при . В частности, приполучаем:

,

что дает возможность вычисления приближенных значений числа как частичных сумм.