caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

dF = σ dx,

(3.30)

где σ, [Н/м] – коэффициент поверхностного натяжения жидкости. При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не является причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капиллярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью. Например, в условиях невесомости жидкость принимает форму шара. Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпенсированы, появляется причина движения, и граничные условия на свободнойповерхности в этом случае принимают вид:

		µ	∂ u					=∂σ		.	(3.31)
			∂ y				y =0		∂	x
Коэффициент поверхностного натяжения зависит от тем-
пературы
σ	(T )= σ −0	∂σ		(T−				T0=) σ		+0γ −(T T0 ) ,	(3.32)
		∂ T
где γ = −∂σ ∂	T [Н/(м·К)]– температурный коэффициент по-

верхностного натяжения, отрицательное значение этого коэффициента отражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (3.32)

∂σ		σd ∂			T	∂ T
∂ x	=					= γ∂
			dT		∂ x		x

и граничное условие (3.31) принимает вид:

µ	∂ u				= γ	∂		T
									.	(3.33)
	∂ y			y =0		∂		x
										91

Явление движения жидкости, инициированное силами поверхностного натяжения при неоднородном распределении температуры, называют термокапиллярным эффектом, а возникающую конвекцию – термокапиллярной конвекцией, или конвекцией Марангони.

		Конвекция Марангони при-
		водит к появлению дополнитель-
		ных течений у поверхности жид-
		кости. Например, при плавлении
		металла концентрированным пуч-
		ком лазерной энергии пятно рас-
Рис. 3.10. Схема конвекции		плава «расползается», увеличива-
		ется в диаметре, превышая диа-
Марангони при плавлении		метр пучка из-за термокапилляр-
металла лазером		ной конвекции (рис. 3.10).
Система	дифференциальных		уравнений в совокупности
с условиями	однозначности	дает	математическую формули-

ровку краевой задачи конвективного теплообмена, имеющую единственное решение.

3.3.Приближение Буссинеска

взадачах свободной тепловой конвекции

Свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев. Уравнение Навье – Стокса в форме (3.22) получено без учета зависимости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры.

Рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Буссинеска:

		du			∂ p		∂		2u
	ρ		= ρ	g−		+ µ				.	(3.34)
		dτ			∂		∂		y2
						x

92

Входящая в это уравнение плотность принимается в соответствии с уравнением состояния линейно зависящей от температуры:

ρ = ρ 0	1 − β (T − T0 ) = ρ		0 (1 − β ∆ T ) ,	(3.35)

где β, [1/К] – коэффициент теплового (объемного) расширения. После подстановки зависимости (3.35) в уравнение (3.34) получаем:

du

∂ p

∂

2u

ρ

(1− β∆

T )

=

ρ

−(1β∆

T− ) g + µ

.

(3.36)

∂

y2

0

dτ

0

∂ x

Так как ускорение свободного падения значительно больше ускорения частиц жидкости при свободной конвекции ( g >> dudτ ), то изменением плотности в левой части уравне-

ния (3.36) можно пренебречь по сравнению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем:

du

(−1

β∆ T −) g

∂ p

∂ 2u

ρ

0

= ρ

0

+ µ

dτ

∂

y2

∂ x

или после деления на плотность ρ0:

du

= (1

T ) g−

1

∂ p

∂

2u

− β∆

+

ν

.

(3.37)

dτ

∂

ρ 0 ∂ x

y2

Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска.

В общем трехмерном случае для вектора скорости W (u, v, w) уравнение движения в этом приближении принимает вид:

dW	= (1 − β∆ T ) g−	1
			+pν	2W .	(3.38)
dτ		ρ 0

3.4.Постановка задачи тепловой конвекции

вдинамических переменных

Постановкой задачи называется система уравнений переноса, замкнутая условиями однозначности.

93

Постановку краевой задачи тепловой конвекции рассмотрим на примере плоского движения несжимаемой вязкой жидкости с постоянными свойствами в горизонтальном каннале прямоугольного сечения (рис. 3.11). Боковые стенки канала приняты изотермическими с температурами t1 и t2 (t1 > t2), верхняя и нижняя стенки – адиабатными. Вязкая среда, нагреваясь у левой стенки, поднимается вследствие уменьшения плотности вверх и опускается соответственно вниз при охлаждении у правой стенки. Образуется замкнутый контур циркуляции

	Рис. 3.11. Расчетная схема	жидкости с пограничными сло-
		ями у стенок канала.

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравнение несжимаемости для компонент вектора скорости u и v соответственно в проекциях на оси x и y в плоскости циркуляции

жидкости принимает вид:

∂ u

+∂

v

= 0.

(3.39)

y

∂ x

∂

Уравнение переноса тепловой энергии:

∂ T

+ u∂

T

+ ν∂

T

= a 2T ,

(3.40)

∂τ

x

∂

∂

y

где оператор Лапласа в правой части уравнения имеет вид:

2	∂ 2	∂	2
=	+	∂	y2	.	(3.41)
	∂ x2

Запишем уравнения движения вязкой среды в приближении Буссинеска соответственно в проекциях на оси x и y:

94

∂ u

+ u∂

u

+ ν∂

u

= −

1∂

p

+ ν

2u ,

(3.42)

∂ 0

∂τ

∂

x ∂

y

ρ

x

∂ v

+ u∂

v

+ ν∂

v

= −

g (1− β ∆ T )−

1∂

p+ ν 2v .

(3.43)

∂τ

∂ 0

∂

x

∂

y

ρ

y

Уравнение, описывающее распределение давления, можно получить, сложив уравнения движения (3.42) и (3.43), первое из которых предварительно продифференцировав по x, а второе – по y. После преобразований получим уравнение Пуассона для давления:

2

∂ T

u ∂

v ∂

u∂

v

∂

p= ρ β 0

g

−

ρ 2

0

y ∂

−

x

∂

x∂

.

(3.44)

∂ y

∂

y

Для замыкания системы дифференциальных уравнений запишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоростей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипания для скоростей:

	T (τ = 0)= T0 , u (τ = 0)= v(τ = 0=) 0,
T (0,	y ) = T1 , T ( H x , y ) = T2 ,	∂ T	( x,	0) =∂	T	(x, H y ) = 0, (3.45)
		∂ y		∂ y
	u (0, y ) = u ( H x , y ) = v( x, 0) = v(x, H y ) = 0.

Пять дифференциальных уравнений (3.39, 3.40, 3.42, 3.43 и 3.44) вместе с краевыми условиями (3.45) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.44). Переменные u–v–p– Т называют динамическими переменными, а соответствующую краевую задачу – задачей в ди-

намических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская задача тепловой конвекции сводится к системе пяти дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

95

3.5. Постановка задачи тепловой конвекции в переменных завихренность-функция тока

Рассмотрим другую постановку этой же задачи, исключающую давление и уменьшающую тем самым число дифференциальных уравнений тепловой конвекции. Для этого вычтем из уравнения (3.42) уравнение (3.43), предварительно продифференцировав первое из них по y, а второе – по x. В результате получим:

∂		∂ u		∂	u	∂
				+ u		+ ν
∂					x
	y ∂τ			∂		∂

= ν ∂

∂ y

u		∂	∂		v	∂
	−					+
y ∂			∂τx		∂
2−u		∂	2+v			β
		∂	x

		v∂			v
u			+ ν			=
		x∂
					y		(3.46)
	∂		T
g				.
	∂
			x

Кроме того, вводим функцию тока ψ, связанную с компонентами скорости соотношениями:

∂ ψ	= u, −	∂ψ		= ν	(3.47)
∂ y		∂	x

и удовлетворяющую уравнению несжимаемости (3.39). По физическому смыслу функция тока характеризует объемный расход вязкой среды в единицу времени. Действительно, из первого уравнения (3.47) следует:

dψ = udy , ψ = ∫udy+ C, м2 с.

Подставляя соотношения (3.47) в уравнение (3.46) и обозначая

∂ν

∂

u ∂ ψ

2 ∂ ψ

2

= −

2

ψ = ω ,

−

=

+

(3.48)

∂

∂

y2

x

y ∂

x2 ∂

где ω – завихренность, получим уравнение переноса завихренности

∂ω	∂ω		∂ω	2		∂	T
∂τ	+ u∂		+ ν∂		= ν ω +	β g∂		.	(3.49)
		x		y			x

96

Сравнение полученного уравнения с уравнениями переноса энергии и движения (переноса импульса) позволяет сделать вывод о том, что эти уравнения совпадают по своей структуре. Следовательно, перенос завихренности подчиняется тем же законам переноса, что и энергии и импульс.

Таким образом, формулировка задачи тепловой конвекции в ω– ψ– t-переменных приводит к системе трех дифференциальных уравнений: переноса энергии (3.40), переноса завихренности (3.49) и Пуассона (3.48), в которых скорость связана с функцией тока соотношениями (3.47).

Начальные краевые условия для завихренности и функции тока имеют вид:

ω τ( = 0=) 0 , ψ (τ = 0)= 0 .

Граничные значения функции тока следуют из отсутствия расхода вязкой среды через непроницаемые стенки канала. Функция тока на стенках канала не должна изменяться, следовательно, она должна быть постоянной, или, в частности, нулевой:

ψ (0, y ) = ψ ( H x , y ) = ψ ( x, 0) = ψ (x, H y ) = 0 .

Граничные значения завихренности определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.48).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции несжимаемой жидкости в (ω– ψ– Т) переменных оказывается предпочтительнее формулировки ее в динамических (u–v–p– Т) переменных, так как понижает порядок системы дифференциальных уравнений с пяти до трех.

3.6. Постановка краевой задачи теплопроводности

Краевая задача теплопроводности включает дифференциальное уравнение теплопроводности, имеющее единственное решение при заданном начальном распределении температуры и условиях теплообмена на границах расчетной области.

97

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Дифференциальное уравнение теплопроводности является частным случаем уравнения переноса энергии и связывает производные температуры по координате и времени:

∂ T	= a 2T+	qV	.	(3.50)
∂τ
		ρ c

Физический смысл уравнения: тепло от внутренних ис-

точников заданной мощности qV, а также тепло, подведенное к элементарному объему от соседних теплопроводностью a 2T , идет на увеличение внутренней энергии этого элементарного объема ∂ T ∂τ .

Коэффициент пропорциональности а называется коэффи-

циентом температуропроводности:

a =

λ

Вт м

3

кг К

м

2

.

(3.51)

ρ c

м К кг Дж

с

Он характеризует скорость изменения температуры и яв-

ляется мерой теплоинерционных свойств тела. При прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности.

Частные случаи уравнения теплопроводности:

	1) qV =0	∂ T	= a 2T	– уравнение Фурье, описывает не-
		∂τ

стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла;

	0	2	qV		уравнение Пуассона, опи-
2) ∂ T ∂τ =		T+	λ	= 0 –

сывает стационарную теплопроводность в теле с источниками (стоками) тепла;

3) qV =0, ∂ T ∂τ = 0 2T= 0 – уравнение Лапласа, опи-

сывает стационарную теплопроводность в теле без источников (стоков) тепла.

98

Уравнение теплопроводности при неоднородных свойствах

Дифференциальное уравнение теплопроводности (3.50) было получено в предположении постоянной теплопроводности (λ = const), в действительности теплопроводность зависит от температуры, λ = λ(Т), поэтому при выводе уравнения теплопроводности нельзя выносить плотность теплового потока за знак дивергенции. В этом случае уравнение теплопроводности становится нелинейным, так как входящий в него коэффициент λ зависит от распределения температуры:

ρ c	∂ T	= λ( +T ) qV .	(3.52)
	∂τ

Нелинейное уравнение теплопроводности (3.52) можно привести формально к виду линейного уравнения (3.50), для этого преобразуем диффузионный член уравнения:

λ(	2	Tλ +	2		λ			T		2	T
	T= )λ + λT =			T	= λ	2				эфф
							T

С введением понятий эффективных коэффициентов теплопроводности

λ эфф= λ +	λ	T	(3.53)
		2T

и температуропроводности

	aэфф =	λ эфф		(3.54)
		ρ (T ) c	(T )

дифференциальное уравнение теплопроводности принимает стандартный вид:

∂ T	= a	эфф	2T+	qV	,	(3.55)
				ρ c
∂τ

удобный при численной реализации на компьютере.

99

Уравнение теплопроводности для анизотропных сред

Анизотропной называется среда, в которой значение величины, определяющей свойства (в частности, теплопроводность), зависит от направления.

В общем случае закон Фурье можно записать в тензорном виде:

qi = −λ i, j

Тензор теплопроводности λ i, динат имеет следующий вид:

			λ
λ
	i, j	= λ
			λ

jT , i = x, y, z.

j в прямоугольной системе коор-

xx	λ	xy	λ	xz
yx λ		yy λ
				yz .
	λ		λ
zx		zy		zz

Выбором системы координат тензор теплопроводности можно привести к виду:

	λ	xx	0	0
λ i, j =		0	λ yy	0		,
			0
	0			λ zz

уравнение теплопроводности имеет вид:

∂ T

∂

T

+∂

∂

T

λ ∂

T+

ρ c

= ∂

λ

λ

+∂

q

xx

yy

∂τ ∂

∂

zz

V

x

∂

x

y

∂

y ∂

z ∂

z

	∂ T		λ xx			2				λ	yy∂
		=		∂		T		+
	∂τ					∂ x	2		λ xx∂
			ρ c

С учетом обозначений

2T +

y2 λ

axx

λ zz∂

∂xx

= λ

2T + ρqV . z2 c

xx (ρ c), ky = λ yy λ xx ,

kz = λ zz λ xx уравнение теплопроводности принимает стандартный вид:

100