caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

Область изменения числа Рейнольдса 103 < Re < 104 характеризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происходит смена ламинарного и турбулентного режимов течения.

Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для определения структуры течения вязкого теплоносителя при вынужденной конвекции.

Отношение третьего члена уравнения (4.19) ко второму дает число Фруда:

	(3) (2) = g	u2	= gl = Fr Fr = gl		,
		l
			u2	u2

характеризующее относительную по сравнению с инерционной силу тяжести.

Из сравнения сил внешнего давления с силами инерции в уравнении (4.19):

(4) (2) =	∆ p u2					=	∆ p
	ρ l			l			ρ u2
получается число Эйлера Eu =			∆ p			, характеризующее отно-
			ρ u2

шение перепада давления к удвоенному динамическому напору

( ρ u2 2 ), т.е. безразмерный перепад давления.

В критериях Рейнольдса, Пекле, Фруда, Эйлера содержится характерная скорость процесса, легко определяемая при вынужденной конвекции, например при течении теплоносителя в каналах, при заданном перепаде давления эта скорость определяется как отношение объемного секундного расхода теплоносителя кплощади поперечного сечения канала. При свободной конвекции выделение характерной скорости затруднительно. Поэтому представляет интерес получение критерия из комбинации полученных критериев, не содержащего характерную скорость про-

151

цесса. Такая комбинация, составленная из чисел Рейнольдса

3

иФруда, называется числом Галилея: Ga = Re2 Fr = glν 2 , харак-

теризующим соотношение сил тяжести ивязкоготрения.

Умножая полученное число Галилея на другой безразмерный комплекс – относительное изменение плотности вязкой

среды, получаем число Архимеда: Ar =	gl3		∆	ρ	, характери-
	ν 2		ρ

зующее относительную подъемную силу в вязкой среде с неод-

нородной плотностью. Число Архимеда, например, пропорционально интенсивности разделения смеси двух теплоносителей с разными плотностями в поле сил тяжести.

В случае когда различие плотностей в однородной среде вызвано температурным полем:

		∆ρ	=	ρ 0− ρ	=	ρ 0− ρ 0	(−1 β∆ T )	= β ∆ T ,
		ρ		ρ 0		ρ	0
	число Архимеда переходит в число Грасгофа: Gr =								gl3	β ∆ T ,
									v2

пропорциональное относительной подъемной силе, действующей на частицу вязкого теплоносителя в неоднородном температурном поле.

Число Грасгофа, играющее большую роль в исследовании процессов свободной тепловой конвекции при заданном перепаде температур, также характеризует режим циркуляции теплоносителя и связано, поэтому, с числом Рейнольдса. Для обнаружения этой связи обратимся к уравнению движения в приближении Буссинеска:

∂ u

∂

u

= (1

T ) g−

1∂

p

∂

2u

+ u

− β∆

+

ν

.

∂τ

ρ 0

∂

∂

x

∂ x

y2

Приравнивая

масштабы

инерционной

и

подъемной сил

в этом уравнении (соответственно второй и третий члены уравнения), можно оценить характерную скорость свободной конвекции:

152

	u2	= gβ ∆ T u = gβ l∆ T .	(4.20)
	l

Если подставить это значение скорости в число Рейнольдса, то получим искомую связь:

Re =	ul	=	gβ∆ Tl l	=	gβ∆ Tl3	=	Gr .
					v2
	v		v

При данном соотношении между числом Рейнольдса, характеризующим вынужденную конвекцию, и числом Грасгофа, характеризующим свободную конвекцию, отмечается одинаковый масштаб скорости и следует ожидать похожие режимы течения. Так, если турбулентный режим наступает в условиях вынужденной конвекции при Re > 104 , то в условиях свободной конвекции этот режим наступает при Gr > 108 . Из этой

оценки также следует, что если Re = Gr ≈ 104 , то в расчетах теплообмена необходимо учитывать как вынужденную, так и свободную конвекцию, т.е. рассматривать процессы смешанного теплообмена.

Отношение чисел Пекле и Рейнольдса дает новый безразмерный комплекс – число Прандтля, зависящее только от теплофи-

зических свойств среды: Pr = Pe = v . Это число представляет

Re a

собой отношение кинематической вязкости теплоносителя, пропорциональной толщине динамического пограничного слоя, ктемпературопроводности, пропорциональной толщине температурного пограничного слоя (рис. 4.3). Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и температурного пограничныхслоев.

В предельном случае, когда число Прандтля мало, толщина динамического пограничного слоя много меньше толщины температурного пограничного слоя, δ д δ т Pe 1 . Такой

случай имеет место для жидких металлов. При больших числах Прандтля, наоборот, толщина динамического пограничного

153

слоя больше, чем толщина температурного слоя, δ д δ тPe 1. Это наблюдается в смолах, маслах и других вязких средах с малой температуропроводностью.

Рис. 4.3. Распределение скорости и температуры в пограничных слоях при малом (слева) и большом числах Прандтля

4.3. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах

Вынужденным называется движение теплоносителя под действием внешней вынуждающей силы, например перепада давления.

При движении теплоносителя в трубах и каналах формируются гидродинамический и температурный пограничные слои. В пределах участка гидродинамической стабилизации l0

эти слои смыкаются (рис. 4.4). Для круглой трубы диаметром d длина этого участка l0 ≈ 50d .

Впределах участка гидродинамической стабилизации (при

x< l0) растет толщина пограничного слоя, из-за теплового сопротивления этого слоя уменьшается коэффициент теплоотдачи.

При x > l0 режим течения зависит от критерия Рейнольдса (рис. 4.5). При Re < 2·103 наблюдается ламинарное течение теплоносителя, при Re > 104 поток становится турбулентным. При Re = 2·103…10 4 наблюдается переходный режим течения и теплообмена.

154

Рис. 4.4. Схема теплоотдачи в трубе

Рис. 4.5. Схемы течения теплоносителя при ламинарном и турбулентном режимах течения

При турбулентном течении температура и скорость пульсируют около их средних значений. Определим среднюю температуру потока в сечении канала. Через элементарную площадку dS в единицу времени поток теплоносителя переносит теплоту

dQ = cρ TudS Q = ∫cρ TudS

		S
	Q = Tср ∫cρ udS	Tср =	∫cρ TudS
			S	.
			∫cρ udS
	S
			S

155

Если пренебречь зависимостью плотности ρ и теплоемкости с от температуры, то последнее уравнение принимает вид:

	T =	∫T u dS
		S		,	(4.21)
		∫u dS
	ср

S

При развитом турбулентном течении скорость постоянна по сечению канала, в этом случае формула (4.21) принимает вид:

		S	∫
T	=	1		T dS .	(4.22)
cp

S

Температура потока изменяется не только по сечению, но и по длине трубы. Обозначим среднюю температуру стенки трубы tп, среднюю температуру теплоносителя у входа в трубу t', у выхода t", тогда усредненная температура теплоносителя

по длине канала t может быть определена как среднеарифме-

тическая:
t =	t' + t"	.	(4.23)
2

Средняя скорость теплоносителя определяется через объемный секундный расход и площадьсечения канала поформуле:

u =	1	∫	u dS =	V	.	(4.24)
	S
cp				S

S

При ламинарном неизотермическом течении теплоносителя возможны различные режимы теплообмена. В частности, при вяз-

костно-гравитационном режиме на вынужденное движение теп-

лоносителя влияет свободная конвекция, учитываемая числом Грасгофа, достаточно точное обобщение опытных данных дает формула для среднего числа Нуссельта в длинныхтрубах:

Nuпот = 0,15Re0,33	Pr0,43	Gr0,1	(Pr	Pr	)0,25 .	(4.25)
пот	пот	пот	пот	ст

156

Пример 1. Определить коэффициент теплоотдачи и количество передаваемой за единицу времени теплоты при течении воды в горизонтальной трубе диаметром d = 8 мм и длиной l = 6 м, если скорость u = 0,1 м/с, температура воды Тпот = 80 оС, температурастенки трубыТст= 20 оС.

Решение. При Тпот= 80 оС свойства воды: λпот= 0,675 Вт/(м·К),

νпот = 0,365·10–6	м2/c, β = 6,32·10–4 К–1 , Prпот = 2,21; при Тст = 20 оС
Prст = 7,02.
При этих	свойствах				вычисляем		критерии Рейнольдса
и Грасгофа:
	Reпот =	ud		=		0,1 0,008	= 2190 ;
			ν			0,365 10−6
	Gr		=		gd 3β (Tпот− Tст )			=
	пот					ν 2

= 9,81 0,0083 6,32 10−4 (80 − 20) = 1, 43 106 , (0,365 10−6 )2

из полученных значений делаем вывод о вязкостногравитационном режиме течения воды, применяя формулу

(4.25), получаем:

Nuпот = 0,15Re0,33пот Prпот0,43 Grпот0,1 (Prпот Prст )0,25 =

= 0,15 21900,33 (1, 43 106 )0,1 (2, 217,02)0,25 = 8,56.

Средний коэффициент теплоотдачи

	α =		пот	λ пот	=	8,56	0,675	= 724	Вт	.
		Nu
				d		0,008			м2 К

Количество переданной за единицу времени теплоты

Q = α π d l (T − T =)

пот ст

= 724 3,14 0, 008 6(80 − 20) = 6,55 кВт.

157

4.4.Теплообмен при свободной конвекции

внеограниченном объеме

Свободным (естественным) называется движение теплоносителя, обусловленное разностью плотностей нагретых и холодных его частиц при отсутствии сил внешнего давления.

Под неограниченным объемом понимается такой объем, размеры которого много больше толщины погранслоя, при этом тепловые возмущения от нагретого (охлажденного) тела не распространяются на весь объем, поэтому на некотором конечном удалении от тела теплоноситель можно считать невоз-

мущенным.

Рис. 4.6. Схема теплоотдачи у нагретой вертикальной стенки

Рассмотрим свободный теплообмен вертикальной плиты или трубы (рис. 4.6). Характер движения теплоносителя зависит в основном от температурного напора ∆ T= Tст− Tпот , где

Tст – температура нагретой поверхности (стенки); Tпот – темпе-

ратура потока теплоносителя, неподвижного вдали от поверхности. С увеличением температурного напора ламинарное движение теплоносителя вдоль стенки переходит в турбулент-

158

ное движение. В нижней части плиты с увеличением толщины ламинарного гидродинамического пограничного слоя теплоотдача падает, затем возрастает в переходной области и стабилизируется в области турбулентного течения теплоносителя.

Определяющую роль при свободной конвекции играет число Рэлея, равное произведению чисел Грасгофа и Прандтля Ra = Gr · Pr. Уравнение подобия, справедливое для различных форм поверхности теплообмена, имеет вид:

				Nu		пот = CRaпотn ,			(4.26)
где Ra = gβ l3∆ T (ν		a )	– число Рэлея.
Значения коэффициентов С и n в этом уравнении зависят
от числа Рэлея и приведены ниже.
Ra	10–3 …5·10	2				5·102…2·10	7	2·107…10	13
C	1,18				0,54			0,135
n	1/8				1/4			1/3

Например, средний коэффициент теплоотдачи при турбулентном режиме свободной конвекции определяют из уравнения

	пот = 0,135(Grпот Prпот )1 3 .
Nu		(4.27)

В этих формулах за определяющую температуру принята температура теплоносителя вдали от нагретой поверхности. Определяющий размер для вертикальных плит – их высота, отсчитываемая от начала теплообмена.

Запишем уравнение (4.27) в размерных переменных, приняв за масштаб длины высоту стенки h:

α

g β

h3∆ tν

1

g β

h3∆ tν

1

h

= 0,135

3

α

= 0,135λ

3

. (4.28)

λ

ν

2

ν

2

a

a

Видно, что при турбулентном режиме средний коэффициент теплоотдачи не зависит от характерного размера – высоты стенки, т.е. процесс теплоотдачи автомоделенк этому параметру.

159

Пример 2. Определить тепловой поток при свободной конвекции от голого вертикального трубопровода диаметром d =

=120 мм и высотой h = 6 м к воздуху. Температура стенки Тст =

=523 К, температура воздуха Тпот= 293 К.

Решение. При определяющей температуре Тпот = 293 К свойства воздуха: кинематическая вязкость ν = 15,06·10–6 м2/c; теплопроводность λ = 0,026 Вт/(м·К); число Прандтля Pr = 0,703; коэффициент объемного расширения β = 1/(Тпот + 273) = 1/293 К–1 . Числа Грасгофа иРэлея:

g β			3	T				3
		h∆					9,81 6 230				12
Grпот						=						= 7,34 10 ;
		ν	2					(		)	2
									−6
							293	15,06 10

Raпот = Grпот Prпот = 7,34 1012 0,703 = 5,16 1012 .

При этих условиях движение воздуха турбулентно и теплоотдача определяется уравнением (4.27):

пот = 0,135(Gr Pr

)1 3 = 0,135

(5,16 1012 )1 3 = 2088 .

Nu

пот

пот

Отсюда коэффициент теплоотдачи

потλ

2088 0,026

Вт

Nu

α =

=

=

9,0

.

h

6

м2 К

Тепловой поток

Q =

π

d h (t − t

=)

α

пот

ст

=9,0 3,14 0,12 6 230 = 4,68 кВт.

4.5.Теплообмен при свободной конвекции

вограниченном объеме

Вмалом (ограниченном) пространстве размеры пространства соизмеримы с толщиной погранслоя, и характер свободной конвекции определяется не только температурным состоянием поверхностей, но и формой и размерами пространства.

160