caplin_nikulin_modelirovanie_v_metallurgii

Сходственными точками системы называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию геометрического подобия (1).

Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов времени τ ′ и τ ′′ , имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия Cτ = τ ′′τ ′ .

Подобными называются физические явления, протекающие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются числами подобия.

Следует отметить, что подобными могут быть явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различную природу, называются аналогичными. Пример аналогичных явлений: теплопроводность и диффузия, описываемые одинаковыми по внешнему виду уравнениями Фурье и Фика. Известны электротепловая, гидротепловая аналогии.

Получим числа подобия, предполагая, что объект и модель удовлетворяют второму закону Ньютона:

2

m d 2x = ∑ Fx . dt

Запишем этот закон для реального объекта

и для модели m′′ d2 x′′ = ∑ F ′′ . dt′′2 x

(4.4)

m′ d2 x′ = ∑ F ′ dt′2 x

Введем константы подобия для входящих в уравнение (4.4) величин:

Cm =	m′′		Ct =	t′′		Cl =	x′′		CF =	Fx′′
		,			,			,			,
	m′			t′			x′			F ′
										x

141

из которых найдем переменные для модели:

m′′ = Cm m′, t′′ = Ct t′, x′′ = Cl x′, Fx′′= CF Fx′ ,

подставим их в уравнение для модели:

m′′	d2 x′′	= ∑ Fx′′ Cm m′				Cl d2 x′		= CF ∑ Fx′
	2					2 2
	dt′′					C	dt′
						t
		m′	d2 x′	=	CF Ct2		∑ Fx′ .
			2		C C
			dt′
					m l

Из тождественности уравнений для объекта и модели вытекает

C C 2	(4.5)
F t =1 .

CmCl

Выражение C = CF Ct2 называется индикатором подобия,

CmCl

а вытекающее из (4.5) соотношение

	F ′t′2	=	F ′′t′′2	(4.6)
	m′x′		m′′x′′

называется условием подобия. Равенство (4.5) представляет собой математическое выражение первой теоремы подобия, ко-

торая гласит: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице. Смысл равенства единице индикатора подобия заключается в том, что существенное значение для динамического подобия процессов имеет не каждый из параметров, входящих в закон Ньютона в отдельности (F, m, t, x), а вполне определенная их комбинация, называемая числом Ньютона:

Ne =	Ft 2	=	Ft	.	(4.7)
	ml
			mv

Число Ньютона называется инвариантом подобия и характеризует отношение изменения импульса (Ft) к импульсу (mv, v = l / t), оно одинаково для всех подобных между собой явле-

142

ний, и первая теорема подобия может быть сформулирована так: у подобных явлений числа подобия (K) тождественны:

	K = Ne =	Ft 2	= idem .	(4.8)
		ml

Слово idem применяется для обозначения подобных процессов. Для обобщения условия динамического подобия рассмотрим более сложный вариант, вытекающий из второго закона Ньютона – одномерное стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием перепада давления со скоростью u вдоль оси х, при этом скорость из-за сил трения зависит от двух координат x и y. Соответствующее дифференциальное уравнение Навье – Стокса описывает перенос импульса под действием сил тяжести, внешнего давления и вязкого трения и имеет вид:

	∂ u		1 ∂		p	∂	2u
u		= g −				+ v∂	y2	.	(4.9)
	∂ x		ρ		∂ x

Для записи этого уравнения в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие характерные величины: l – характерный размер области; р0 – давление; u0 – скорость. Тогда безразмерные переменные (они обозначены сверху чертой) примут вид:

=

x

,

=

y

,

=

p

,

=

u

.

(4.10)

x

y

p

u

l

l

p0

u0

Отсюда получаются размерные переменные x =

xl, y = yl,

p =

dx = l d

,

dy = l d

,

pp0 , u = uu0 и их дифференциалы

x

y

dp = p0 d

, du = u0 d

.

p

u

Подставим эти размерные переменные в уравнение Навье – Стокса (4.9) и вынесем постоянные масштабы за знаки частных производных

u0∂

u

= g −

1

p0∂

p

+ v

u0

∂ 2

u

,

u

0

u

l∂ x

ρ 0 l∂ x

l 2 ∂

y

2

143

после умножения уравнения на lu02 получим:

∂

=

gl

−

p0

∂

+ν ∂

2

.

u

p

u

(4.11)

u

∂

u02

ρ 0u02 ∂

u0l ∂

2

x

x

y

Уравнение (4.11) безразмерно, следовательно, каждый из трех комплексов в правой части уравнения безразмерен и является инвариантом подобия:

Fr =	gl	, Eu =	p0	, Re =	u0 l	.
	u02		ρ 0u02
					v

где Fr, Eu, Re – соответственно числа Фруда, Эйлера и Рейнольдса. Числа Фруда и Рейнольдса определяют геометрию и физические свойства системы и являются ее параметрами, так как могут измениться при переходе к другой системе. Эти числа подобия называются определяющими. Число Эйлера характеризует безразмерный перепад давления, который подлежит определению и называется определяемым числом. С учетом чисел подобия уравнение Навье – Стокса принимает вид:

∂

∂

1 ∂

2

u

p

u

u

= Fr − Eu∂

+

.

(4.12)

∂

Re∂

2

x

y

y

Первая теорема подобия требует тождественности чисел подобия как необходимого условия подобия явлений.

Особый интерес представляют соотношения между числами подобия. Возможность представления решения как функции от чисел подобия в виде критериального уравнения и составляет содержание второй теоремы подобия (π-теоремы):

любое уравнение, связывающее между собой N физических величин, из которых K величин обладают независимыми размерностями, можно преобразовать к уравнению, связывающему N–K безразмерных критериев

Смысл этой теоремы рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса (4.9), решение которого при соответствующих краевых условиях должно иметь следующий вид:

144

u = u ( x, y, ρ , v, g, u		, l )		(4.13)
	0		.
p = p ( x, y, ρ , v, g, u0			, l )

Искомые величины – скорость и давление являются функциями двух аргументов (координат x и y) и пяти параметров (плотности ρ, кинематической вязкости ν, ускорения свободного падения g, масштабов скорости u0 и длины l).

После приведения уравнения к безразмерному виду (4.12) имеем решение:

=

(

,

, Re, Fr )

u

u

x

y

(4.14)

,

Eu = Eu (

,

, Re, Fr )

x

y

при этом каждая искомая величина зависит уже от двух безразмерных координат и двух параметров. В рассматриваемой задаче число параметров при переходе к безразмерным переменным уменьшилось на три.

В решении (4.14) числа подобия, составленные из параметров (Fr, Re), называются определяющими, а безразмерная

скоростьu и число Эйлера Eu – определяемыми.

Условия, достаточные для существования подобия физи-

ческих явлений (третья теорема подобия), были впервые сформулированы в 1930 г. Кирпичевым и Гухманом в виде трех положений:

1)подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу

иописываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

2)условия однозначности (геометрические и физические параметры системы, начальные и граничные условия) подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме численных значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;

3)одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковые численные значения.

145

Отметим следствия теоремы:

1) если процессы А и В подобны, то любая физическая величина φ в данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса В;

2) подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

Пример 1. При моделировании испытаний самолета в аэродинамической трубе изготовлена модель самолета, уменьшенная в 50 раз (рис. 4.2). Определяющим критерием является число Рейнольдса Re = u0l v , характеризующее режим обтекания. Пер-

вое условие теоремы Кирпичева – Гухмана выполнено, так как

вмодели и в реальных условиях одна и та же моделирующая среда – воздух. Второе условие (однородность профиля скорости потока воздуха) выполняется не во всем объеме трубы, а только

веё рабочей части за пределами гидродинамических погранслоёв толщиной δ. Третье условие – равенство чисел Рейнольдса – выполняется, если в модели увеличить скорость в 50 раз или уменьшить вязкость воздуха в 50 раз. Последнее нереально. Значительное увеличение скорости приводит кионизации воздуха, при этом изменяется дифференциальное уравнение течения ионизированного воздуха и нарушается первое условие. Поэтому работа с моделью самолета, уменьшенной в 50 раз, не отвечает условиям подобия. В аэродинамических трубах продувают самолеты натуральных размеров.

Рис. 4.2. Схема моделирования самолета в аэродинамической трубе

146

Функциональные зависимости (4.14) определяемых критериев от определяющих описывают все подобные явления. Однако определяющие критерии, характеризующие соотношение определенных физических факторов, могут принимать очень большие или очень малые значения и перестают оказывать влияние на протекание процесса. Это явление называется вырождением критерия или автомодельностью процесса по отношению к данному критерию. Смысл термина заключается в том, что при изменении вырожденного критерия безразмерные характеристики процесса не изменяются, т.е. он остается подобным самому себе, моделирует сам себя. Например, в уравнениях (4.14) при течении вязкого газа влияние силы тяжести может быть пренебрежимо малым по сравнению с влиянием других сил, например сил инерции и сил вязкого трения. В этих условиях вырожденным оказывается критерий Фруда, характеризующий соотношение сил инерции и гравитации, т.е. поток является автомодельным по отношению к критерию Фруда.

4.2. Числа подобия в задачах тепломассопереноса

При известном дифференциальном уравнении, описывающем ход процесса, числа подобия можно получать путем анализа размерностей. Например, для уравнения второго закона число Ньютона может быть получено как отношение размерности правой части уравнения (4), характеризующей внешние силы, к размерности левой части, характеризующей силы инерции:

m

d2 x

=

F

(2)

F

Ft 2

dt 2

∑ x

Ne =

(1)

=

=

.

(4.15)

(2)

ml t 2

ml

(1)

Получим, таким образом, числа подобия из уравнений, описывающих тепломассообмен в жидких и газообразных (вязких) теплоносителях.

147

Теплоотдача между твердой поверхностью с температурой Тп и вязкой средой с температурой Тc (Тп > Тc) и теплопроводностью λ в приближении погранслоя описывается уравнением:

−λ	∂ T			= α (T− T )
		∂ n n=0			п с .	(4.16)
		(1)			(2)

Безразмерное отношение правой части уравнения (4.16) к левой называется числом Нуссельта:

(2)			α t	α		l
		=		=			= Nu .	(4.17)
	(1)		λ t l		λ
Число Нуссельта		Nu = α		(λ		l ) является		определяемым

и характеризует безразмерный коэффициент теплоотдачи.

Уравнение (4.16) описывает и граничные условия теплообмена при решении задачи теплопроводности в твердом теле. В этом случае при известном коэффициенте теплоотдачи α, тем-

пературном перепаде ∂ T ∂			n≈ δ		T l			и температурном	напоре
∆Т = Тп– Тc безразмерное отношение называется числом Био:
(2)			α T		α		l
		=			=			= Bi ,	(4.17)
	(1)		λ T	l		λ

характеризующим отношение температурного перепада к температурному напоруδ T ∆ T .

При внешней схожести чисел Нуссельта и Био между ними существует два различия:

1)в число Био входит коэффициент теплопроводности λ твердого тела, а в число Нуссельта – λ жидкости или газа в пограничном слое;

2)в число Био коэффициент теплоотдачи α задан из граничных условий 3-го рода, в числе Нуссельта коэффициент теплоотдачи – величина искомая, поэтому само число Нуссельта является определяемой величиной.

148

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения переноса тепловой энергии. Для этого запишем одномерное уравнение переноса тепловой энергии без источников тепла:

∂ T	∂		T	∂	2T
	+ u			+
∂τ			x		x2 .		(4.18)
	∂			∂
(1)	(2)				(3)

Оценим отношение второго члена уравнения, характеризующего конвективный теплоперенос, к третьему члену, характеризующему теплопроводность. При этом будем пользоваться характерными размерными величинами: скоростью u, температурой t, температуропроводностью аи линейным размером l:

(2) (3) = ut at = ul . l l 2 a

Полученный критерий подобия называется числом Пекле

Pe = ul , характеризующим относительную интенсивность a

конвективного и диффузионного механизмов переноса тепло-

вой энергии. Так, при Pe > 1 конвективный механизм переноса тепловой энергии преобладает над диффузионным механизмом. Если задача решается с инженерной точностью 5 %, то при Ре > 95 третьим членом в уравнении (4.18) можно пренебречь по сравнению со вторым. Таким образом, в сравнении интенсивности процессов конвекции и диффузии тепла существенное значение имеют не три размерных параметра u, l, а в отдельности, а их вполне определенная комбинация, называемая числом Пекле.

Отношения других членов уравнения (4.18):

(3) (1) =

aT

T

=

τ

,

l 2

τ

l 2

a

(2) (1) =

uT

T

=

τ

l

τ

l

u

149

характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла, причем l 2 a – характерное время процесса переноса тепла теплопроводностью, lu – характерное время процесса переноса те-

пла конвекцией. Полученные критерии характеризуют безразмерное время процесса переноса тепла и называются числами Фурье(Fo) и гомохронности(Ho – однородности повремени):

Fo =	τ	, Ho =	τ	.
	l 2 a
			l u

Рассмотрим критерии подобия, вытекающие из уравнения движения (переноса импульса):

∂ u

∂

u

1∂

p

∂

2u

+ u∂

= g −

+ ν ∂

∂τ

x

ρ

∂ x

y2

(4.19)

(1)

(2) (3)

(4)

(5)

Уравнение представляет баланс сил инерции (1, 2), тяжести (3), внешнего давления (4) и вязкого трения (5).

Отношение второго члена уравнения, характеризующего силы инерции при стационарном течении, к пятому, характеризующему силы вязкого трения, является важнейшим критерием подобия, называемым числом Рейнольдса:

(2) (5) =	u2		vu	= ul = Re Re = ul .
	l
			l 2 ν		ν

При малых значениях числа Рейнольдса ( Re < 103 ) силы вязкого трения преобладают над силами инерции, течение вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших значениях числа Рейнольдса ( Re > 104 ), когда инерционные силы преобладают над силами вязкого трения, циркуляция вязкой среды имеет турбулентную структуру. Поперечные пульсации скорости и температуры при турбулентной конвекции приводят квозрастанию вязкости итемпературопроводности.

150