- •Лекции по курсу «сопротивление материалов» оглавление
- •Основные понятия и определения
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней.
- •Внецентренное растяжение и сжатие
- •Оглавление
- •Литература
Математическая модель механики твердо деформируемого тела
Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно.
I.Уравнения равновесия.
В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объемdV=dxdydz. На каждой грани вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два касательных (рис.29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые силыR(X,Y,Z).
Рис.29
Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу, необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.
-xdydz+ (x+dxx)dydz-yxdxdz+ (yx+dyyx)dxdz–
- zxdxdy+ (zx+dzzx)dxdy+Xdxdydz= 0,
раскроем скобки и распишем частные производные
,
поделим уравнение на элементарный объем
(54)
Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:
,
. (55)
Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для решения поставленной задачи.
II.Геометрические соотношения.
В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и деформации (рис.30) точка А переместилась в точку А1с координатами (х1, у1,z1) на малую величинуr(х,у,z).
Введем обозначения
х = х1– х =U,
у = у1– у =V, (56)
z=z1–z=W,
где U,V,W– перемещения вдоль координатных осей Х, У,Z.
Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dSс направляющими косинусами (l,m,n). Изменение длины отрезка под нагрузкойdS1-dS=dSназываетсяабсолютным удлинениемили приращением.
Рис.30
Отношение приращения к первоначальной длине отрезка называется относительным удлинением или линейной деформацией:
= (57)
Пусть отрезок dSимеет проекции по координатным осям (dx,dy,dz). Зная направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:
dx=ldS,
dy=mdS, (58)
dz=ndS.
Найдем длину отрезка dSчерез проекции:
dS2 =dx2 +dy2 +dz2.
Продифференцируем это выражение:
2dSdS = 2dxdx + 2dydy + 2dzdz (59)
учитывая выражения (56), можно записать:
dx=dx=dU,
dy = dy = dV, (60)
dz = dz = dW.
Подставим полученные выражения в (59):
dSdS =dxdU +dydV +dzdW,
следовательно, приращение отрезка равно:
dS = dU + dV + dW = ldU + mdV + ndW (61)
найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):
= =l +m +n(62)
Перемещения U,V,Wявляются функциями трех координат, так как они зависят от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам. Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.
,
, (63)
.
Поделим каждое из уравнений (63) на dS:
,
, (64)
.
Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам, получим полное выражение для линейной деформации:
Введем обозначения
,,, (65)
,,.
Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши деформация в произвольном направлении получит следующий вид:
(66)
Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66) справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dSпараллельно оси Х, тогда его длина определяется проекцией на эту осьdS=dxи направляющие косинусы равныl=1,m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом случае будет равна:
= .
т.о.х– линейная деформация в направлении оси Х; аналогичноу– линейная деформация в направлении осиY;z– линейная деформация в направлении осиZ.
Теперь определим, что такое . Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами, параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и занял положение А1В1С1 (рис.31).
Рис.31
Точка А переместилась вдоль оси YнаV, а точка В вдоль той же оси переместилась наV+dxV. При этом длина отрезкаdxсталаdx+dx. Рассмотрим треугольник А1В1В’:
tg= (67)
Аналогично рассмотрим треугольник А1С1С’:
tg= (68)
Первоначально прямой угол уменьшился на +. С учетом того, что при малых углахtgполучаем:
.
Таким образом, получается, что ху– изменение прямого угла со сторонами, параллельными координатным осям, т.е.угловая деформацияв плоскости ХY. Аналогично можно получить две других угловых деформации.
III.Физические соотношения.
При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:
. (69)
Также опытным путем установлены модуль ЮнгаЕ – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией икоэффициент Пуассона– отношение поперечной деформации к продольной.
Рассмотрим закон Гука в главных осях.
Рис.32
При одноосном напряженном состоянии (рис.32) деформации по трем осям будут равны:
, (70)
.
При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения в отдельности.
Рис.33
От напряжения 1:
, .
От напряжения 2:
,.
От напряжения 3:
,.
Найдем суммарные деформации по координатным осям.
,
, (71)
.
Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно, существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных осей к произвольным:
(72)
Нормальное напряжение 1можно выразить по основной квадратичной форме (33) через напряжения в произвольных осях:
1 = xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm
Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на сумму квадратов направляющих косинусов (l2 +m2 +n2 = 1)
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:
Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в произвольном направлении (66):
,
,
, (73)
,
,
.
Где G=- модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся характеристикой материала.
Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь между напряжениями и деформациями.
Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 уравнений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации).
Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, так как часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, то есть дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности).
Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.