- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 20
1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка. Приведение уравнений с постоянными коэффициентами к каноническому виду.
2. Неравенство Чебышёва (с доказательством).
3. Найти потенциал в центре квадрата со стороной , если на трёх сторонах квадрата потенциал равен нулю, а на четвертой стороне задается формулой
.
4. Масса пойманной рыбы подчинена нормальному закону с параметрами г,г. Найти вероятность того, что масса пойманной рыбы будет от 300 г до 425 г.
1. Для уравнения второго порядка от двух независимых переменных
принята такая классификация:
- если в некоторой области , то уравнение называется гиперболическим в;
- если в области, то уравнение называется эллиптическим в;
- если во всех точках области, то уравнение называется параболическим в.
В каждом классе уравнений есть простейшие уравнения, которые называются каноническими.
Уравнения
,
называют соответственно первой и второй каноническими формами гиперболического уравнения.
Уравнение
называется канонической формой эллиптического уравнения.
Уравнение
называется канонической формой параболического уравнения.
Дифференциальные уравнения
или
(если )
называются дифференциальными уравнениями характеристик.
Если в уравнении постоянные коэффициенты, т.е. для уравнения
,
решением уравнений характеристик есть
Если уравнение гиперболического типа (), то с помощью замены переменных
,
уравнение сводится к первой канонической форме.
Для уравнения эллиптического типа () к канонической форме сводит замена
, .
Для уравнения параболического типа () к канонической форме сводит замена
, .
2. Для любой случайной величины и любого положительного числасправедливо неравенство Чебышева
.
Доказательство проведем для случая, когда – непрерывная случайная величина. Пусть– плотность случайной величины, а, тогда
,
так как события инесовместны.
Итак,
,
то есть
.
Неравенство Чебышева доказано.
Для дискретных случайных величин неравенство Чебышева доказывается аналогично (вместо интегралов будут суммы рядов).
Следствие. Поскольку , то
.
3. Если – искомый потенциал, то он является решением задачи
при ,,
, .
Для решения краевой задачи воспользуемся методом Фурье. Нетривиальные решения уравнения Лапласа будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:
, ,
: ,
, ,.
Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений
, .
Из краевых условий получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля
: ,
, .
Поскольку , то общее решение уравненияимеет вид
.
Из краевого условия получаем:, т.е.. Из краевого условияполучаем:. Поскольку, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:
Собственные значения ,;
Собственные функции ,.
Теперь при каждом решаем уравнение для:
: ,.
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Краевые условия ,дают:
:
; ;,;
:
, .
Итак, для определения ,,, получили системы
Решая их, получим
, ,
, ,.
Тогда
,
, .
Окончательно, потенциал равен
.
Значение потенциала в центре квадрата со стороной , т.е. в точке,, равно
.
4. Для расчета вероятностей попадания нормальной случайной величины с математическим ожиданиеми среднеквадратическим отклонениемв промежутокиспользуется формула
,
где , причем– нечетная функция:.
Пусть случайная величина – масса пойманной рыбы. Приг,г получим
.