![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Экзаменационный билет № 01
- •Экзаменационный билет № 02
- •Экзаменационный билет № 03
- •Экзаменационный билет № 04
- •Экзаменационный билет № 05
- •Экзаменационный билет № 06
- •Экзаменационный билет № 07
- •Экзаменационный билет № 08
- •Экзаменационный билет № 09
- •Экзаменационный билет № 10
- •Экзаменационный билет № 11
- •Экзаменационный билет № 12
- •Экзаменационный билет № 13
- •Экзаменационный билет № 14
- •Экзаменационный билет № 15
- •Экзаменационный билет № 16
- •Экзаменационный билет № 17
- •Экзаменационный билет № 18
- •Экзаменационный билет № 19
- •Экзаменационный билет № 20
Экзаменационный билет № 05
1.
Смешанная задача для однородного
волнового уравнения на отрезке
при нулевых граничных условиях
.
2.
Плотность распределения вероятностей
случайной величины. Её связь с функцией
распределения. Вывести формулу для
нахождения вероятности попадания
случайной величины в промежуток
,
если известна её плотность вероятности.
3. Найти решение смешанной задачи
,
,
ГУ:
;
НУ:
.
4. В первой коробке 20 радиоламп, из них 18 стандартных, а во второй 10, из которых 9 стандартных. Из второй коробки взята наудачу лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлечённая из первой коробки, будет стандартной.
1.
Смешанная задача для однородного
волнового уравнения на отрезке
при нулевых граничных условиях имеет
вид:
,
,
,
граничные
условия:
;
начальные
условия:
,
.
Для
решения задачи воспользуемся методом
Фурье (разделения переменных). Нетривиальные
решения уравнения
будем искать в виде
.
Подставляем в уравнение и разделяем
переменные:
,
,
:
,
,
,
.
Тогда
функции
и
являются соответственно решениями
уравнений
,
.
Из
граничных условий
получаем краевые условия для функции
:
,
,
значит,
,
.
Таким образом, для определения
и
получаем задачу Штурма-Лиувилля
:
,
,
.
Поскольку
(при
задача имеет только тривиальные решения),
то общее решение уравнения
имеет вид
.
Из
краевого условия
получаем:
,
т.е.
.
Из
краевого условия
получаем:
.
Поскольку
и
,
то
и равенство
возможно тогда и только тогда, когда
,
откуда получаем
,
,
т.е.
,
.
Тогда получим
,
.
Таким образом, получили решение задачи
Штурма-Лиувилля:
собственные
значения
,
;
собственные
функции
,
.
Теперь
при каждом
решаем уравнение для
:
,
.
Общее решение этого уравнения имеет вид
.
Тогда
.
Для
нахождения коэффициентов
,
,
,
воспользуемся начальными условиями
,
.
Разложим
функции
и
на отрезке
в ряды Фурье по системе
:
,
,
где
,
,
так
как
.
Тогда
начальное условие
дает
,
откуда
,
.
Находим
:
.
Тогда
начальное условие
дает
,
откуда
,
,
.
Тогда решением задачи является ряд
.
2.
Пусть
– функция распределения случайной
величины
.
Функцию
называют плотностью распределения
вероятностей случайной величины
(или плотностью вероятности).
Из
равенства
следует, что
.
Действительно, так как
,
то
.
Тогда, т.к.
,
.
Кроме
того, поскольку
,
то
.
Условие
называется условием нормировки.
С
помощью плотности распределения
вероятностей можно рассчитывать
вероятность попадания случайной величины
в промежуток
.
Поскольку
,
то
.
3.
Поскольку граничные условия задачи
,
– неоднородные, то сначала сделаем
замену, сводящую к однородным краевым
условиям. Положим
,
где
– новая неизвестная функция, а числа
и
подберем так, чтобы
удовлетворяла граничным условиям:
,
.
Тогда
,
,
откуда
,
.
Итак, делаем замену
.
Тогда
,
,
,
:
,
:
,
:
.
Итак,
для функции
получим смешанную задачу
,
,
,
,
,
.
Уравнение
задачи является неоднородным. Для
решения задачи воспользуемся методом
Фурье (разделения переменных). Рассмотрим
соответствующее однородное уравнение
.
Его нетривиальные решения будем искать
в виде
.
Подставляем в уравнение и разделяем
переменные:
,
,
:
,
,
,
.
Тогда
функция
является решением уравнения
.
Из
граничных условий
,
получаем краевые условия для функции
:
,
,
значит,
,
.
Таким образом, для определения
и
получаем задачу Штурма-Лиувилля
:
,
,
.
Поскольку
(при
задача имеет только тривиальные решения),
то общее решение уравнения
имеет вид
.
Из
краевого условия
получаем:
,
т.е.
.
Из
краевого условия
получаем:
.
Поскольку
и
,
то
и равенство
возможно тогда и только тогда, когда
,
откуда получаем
,
,
т.е.
,
.
Тогда получим
,
.
Таким образом, получили решение задачи
Штурма-Лиувилля:
собственные
значения
,
;
собственные
функции
,
.
Тогда решение смешанной задачи для неоднородного уравнения будем искать в виде
,
где
функции
,
,
подберем так, чтобы удовлетворить
неоднородному уравнению и начальному
условию. Заметим, что функция
при любом выборе функций
,
,
точно удовлетворяет однородным граничным
условиям
,
.
Находим производные
,
,
и
подставляем их в неоднородное уравнение
:
,
.
Тогда
функции
,
,
удовлетворяют уравнениям
,
,
.
Начальные
условия для этих уравнений получим,
подставив
в начальное условие
,
которое сначала представим на отрезке
в виде ряда Фурье по системе функций
:
,
где
.
Находим
,
,
,
при
,
при
.
Таким образом,
,
.
Если
,
,
то
,
если
,
,
то
.
Итак,
.
Тогда
начальное условие
дает
,
откуда
получим начальные условия для
:
,
,
Тогда
для
,
,
получим задачи Коши
,
,
,
,
,
,
,
.
Решаем эти задачи:
,
,
,
,
.
Тогда
.
Возвращаясь
к неизвестной функции
по формуле
,
получим
.
4. Воспользуемся формулой полной вероятности. Событие
–лампа,
наудачу извлечённая из первой коробки,
будет стандартной.
Введем гипотезы:
–из
второй коробки в первую переложена
стандартная лампа;
–из
второй коробки в первую переложена
нестандартная лампа.
Поскольку всего во второй коробке 10 ламп, из которых 9 стандартных, то вероятности гипотез
,
.
Найдем
условные вероятности
,
.
Если
из второй коробки в первую переложили
стандартную лампу (гипотеза
),
то в первой коробке стало 21 радиолампа,
из которых 19 стандартных, значит,
.
Если
из второй коробки в первую переложили
нестандартную лампу (гипотеза
),
то в первой коробке стало 21 радиолампа,
из которых 18 стандартных, значит,
.
Тогда по формуле полной вероятности
.