1.4.4. Модели механической подсистемы

Механическая подсистемавключает элементы конструкции, которые участвуют в передаче и преобразованиях механической энергии. Свойства элементов механической подсистемы: масс, пружин, трения определяются в их компонентных уравнениях. При макромоделировании рассматривают поступательное и вращательное движение твердых тел, не имеющих пространственных размеров, т.е. материальные точки [12].

В механике поступательного движенияв качестве фазовых переменных используют силуи скорость. Причем в зависимости от того, какая из них принимается за переменную типа потока, а какая за переменную типа потенциала, получаем различные модели, одинаково пригодные для анализа.

В прямой модели механической поступательной подсистемы(рис. 1.22,а) в качестве переменной типа потока выбрана сила, переменной типа потенциала — скорость. Здесь тело массойmпод действием силыPскользит по горизонтальной поверхности с коэффициентом вязкого тренияk_тр, преодолевая упругую силу пружины, имеющую жесткостьk_у.

а) б) в)

Рис. 1.22. Кинематическая (а) и эквивалентные схемы (б,в) механического узла поступательного движения.

Законы функционирования механической подсистемы выражаются уравнениями, связывающими силы и скорости на элементах: механическом резисторе , механической индуктивностии механическом конденсаторе.

Из закона вязкого трения (сила трения прямо пропорциональна скорости движения): , где— коэффициент вязкого трения,v- относительная линейная скорость трущихся деталей, следует, что для сохранения подобия в системе по критериюсопротивлениемеханического резисторадолжно определяется соотношением. Для механической подсистемы критерий. В более общем случае сила трения имеет сложную зависимость от скорости движения (см. рис. 1.23) и содержит следующие составляющие: силу трения трогания, сухое трение(не зависит от скорости), вязкое трение пропорциональное скорости(трение Кулона) и переходную зону уменьшения силы трения после трогания (трение Штрибека).

Рис. 1.23. Зависимость силы трения от скорости движения в общем случае.

Суммарную силу трения аппроксимируют следующей функцией [26]:

.

Свойства упругого элемента — пружины, отражает закон Гука: , где— жесткость пружины,— перемещение. Или после дифференцирования по времени:. По критериюмеханическая индуктивностьдолжна быть коэффициентом пропорциональности между скоростью и производной силы, т.е.,где. Критерий подобия или.

Второй закон Ньютона представляет собой уравнение для массы , где массу телакак коэффициент пропорциональности между силой и производной скорости для сохранения подобия по критериюнеобходимо обозначитьмеханическим конденсаторомс емкостью. Критерий подобия для механического конденсатора.

В прямой модели поступательного движения источниками фазовых переменных будут силы — аналог источника тока в электрической цепи и источник скорости — аналог источника ЭДС.

Пример эквивалентной схемы прямой модели механического узла рис. 1.22, апоказан на рис. 1.22,б.

Обращенная модель механической поступательной подсистемыобосновывается для фазовых переменных типа потока — скорость, и типа потенциала — сила. Тогда для сохранения прежних критериев подобия получаем: для вязкого трения, где сопротивление механического резистора, для пружины, где емкость механического конденсатора, для массы, где механическая индуктивность.В обращенной модели поступательного движения источниками фазовых переменных будут силы — аналог источника ЭДС в электрической цепи и источник скорости — аналог источника тока.

Пример эквивалентной схемы обращенной модели механического узла рис. 1.22, апоказан на рис. 1.22,в.

Прямая модель вращательного движения(рис. 1.24,а) составляется с фазовыми переменными: типа потока — момент сили типа потенциала — угловая скорость. На рисунке изображено тело с моментом инерцииJ,которое под действием моментаМвращается в подшипниках с коэффициентом вязкого трения, преодолевая упругую силу пружины кручения, имеющую угловую жесткость.

Момент вязкого трения вращательного движения определяется соотношением , где сопротивление механического резистора,- относительная угловая скорость трущихся деталей. Критерий подобия для этого элемента. В более общем случае зависимость силы трения вращения от угловой скорости имеет аналогичный рис. 1.23 вид при замене силы на момент, линейной скорости на угловую:

.

а)

б) в)

Рис. 1.24. Кинематическая (а) и эквивалентные схемы (б, в) механического узла вращательного движения.

Закон Ньютона вращательного движения , где— момент инерции записывается по условиям подобия через емкостьмеханического конденсатора:, где. Критерий подобия.

Спиральные пружины представляют упругие элементы в моделях вращательного движения. Для них справедливо уравнение,где— угол закручивания. После дифференцирования, принимая во внимание, что, получаем из условий подобия.Механическая индуктивность, а критерий подобия.

В прямой модели вращательного движения источниками фазовых переменных будут моменты — аналоги источников тока в электрической цепи и источники скорости — аналоги источников ЭДС.

Запись обращенной модели вращательного движенияс фазовыми переменными типа потока — угловая скоростьи типа потенциала — момент, дает следующие выражения для элементов:,,, при условии сохранения критериев подобия прямой модели.В обращенной модели вращательного движения источниками фазовых переменных будут моменты — аналоги источников ЭДС в электрической цепи и источники скорости — аналоги источников тока.

Примеры эквивалентных схем механического узла вращательного движения приведены на рис. 1.24, б, в.

В механических подсистемах электрических аппаратов имеются упоры и люфты. Упор ограничивает перемещение, и в идеальном приближении может быть представлен координатной точкой, в которой скорость движения становится равной нулю, а перемещение остается неизменным до начала движения в обратном направлении. Более точное воспроизведение процессов в механическом упоре может быть получено заменой упора нелинейной пружиной с внутренним трением. Свойства пружины – упора в виде зависимости жесткости от перемещения приведены на рис. 1.25, а. В момент касания упора в точке наступает резкое увеличение жесткости до достижения в точке полного контакта с максимальнойжесткостью

а) б)

Рис. 1.25. Моделирование упора, люфта и сухого трения: а - упор; б – люфт.

Люфт в механическом соединении подвижных деталей представляют как два расположенных с малым зазором упора и моделируют нелинейной пружиной с характеристикой жесткости, представленной на рис. 1.25, б. При положительном перемещении в точке происходит касание и в точкеполный контакт деталей. При отрицательном перемещении аналогичные точки обозначены и. Расстояние равно размеру люфта.