![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
konetstststs
.pdf![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso11x1.jpg)
то при дискретизации этого сигнала получим следующий результат:
При невыполнении теоремы Котельникова картина изменится, из-за наложения спектров:
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso12x1.jpg)
БИЛЕТ 6. Дискретное преобразование Фурье. Его свойства. Понятие частотного
разрешения. Способы увеличения частотного разрешения. |
|
||
|
Аналоговые |
|
Цифровые |
Периодические |
Непериодические |
Периодические |
Непериодические |
|
|
1)Преобразование Фурье |
|
Ряд Фурье |
Интеграл Фурье |
(интеграла не будет, т.к. сигнал определѐн в |
|
|
|
дискретных точках) |
|
|
|
2)Дискретное преобразование Фурье |
|
j |
2 |
k |
|
|||
F k F e |
|
N |
|
|
|
|
|
Берѐм аналоговый сигнал |
|
|
|
Как его дискретизировать? Как выбрать fд ?
Во-первых нужно определиться, какой диапазон частот нас интересует, т.е ограничить спектр нашего сигнала некоторой частотой f max
И по теореме Котельникова выбираем fд
Частотное рассеяние
Рассмотрим рассеяние на примере спектра двух синусов. Так как частоты синусов не попадают на границы интервалов дискретизации, мы наблюдаем рассеяние.
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso13x1.jpg)
Чтобы улучшить картину, нужно увеличить Это можно объяснить по следующей формуле. Выразим X e j через X k :
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
N 1 |
||||
N 1 |
X k |
|
sin |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
||||||||
X e j |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
N |
|
|
k |
|
j |
|
k |
||||||
k 0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
e N |
|||||||
|
|
|
2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A
Когда частоты сигнала попадают на границы интервалов дискретизации, множитель A 0 и рассеяния нет.
Когда частоты сигнала попадают в интервалы дискретизации, множитель A 0
Т.е. для того, чтобы уменьшить рассеяние, нужно увеличивать N . Идеальный вариант:
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso14x1.jpg)
Когда частота сигнала не кратна интервалу дискретизации, у нас образуются осцилляции (рассеяние).
При отсутствии рассеяния проблем с частотным разрешением нет, а в нашем случае есть. Увеличение N приведет к улучшению разрешения
Дискретное преобразование Фурье
|
|
N 1 |
j |
2 |
kn |
||
X k x n e |
N |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
N 1 |
|
2 |
|
|
|
x n |
x k e j |
|
N |
kn |
|||
|
|
|
|
||||
|
N n 0 |
|
|
|
|
|
-прямое
-обратное
ДПФ определяет значения в дискретных точках на оси частот. По ним можно целиком восстановить спектр сигнала.
Выражение X z через X k :
|
|
N 1 |
|
|
|
|
N 1 |
1 N 1 |
|
|
|
j |
2 |
kn |
|
|
|
|
|
|
|||
|
X z x n z n |
|
x |
k e |
|
N |
z n |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
n 0 |
N k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N 1 |
X k N 1 |
j |
2 |
kn |
|
N 1 X |
k |
|
|
1 z N |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
e |
|
N |
z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
j |
2 |
|
kn |
|||||||||
|
k 0 |
n 0 |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
1 z 1e |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Свойства ДПФ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Линейность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Сдвиг |
|
|
|
x n X k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
x n n0 X k e N kn0
3. Симметрия Если сигнал действительный, то в результате ДПФ мы получаем отсчеты, симметричные по
модулю и антисимметричные по фазе.
Re X k |
Re X N k |
||
|
|
|
|
Im X k |
Im X N k |
||
|
|
|
|
Если сигнал комплексный, то свойство симметрии не будет соблюдено.
4. Свертка
БИЛЕТ 7. Z-преобразование. Свойства z-преобразования. Z-преобразование базовых
дискретных сигналов. Обратное z-преобразование. Соотношение между z-преобразованием и преобразованием Фурье.
Представляет собой разложение сигнала в степенной ряд:
|
|
|
|
|
|
|
|
X z x n z n |
|
||
где z комплексная переменная. |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразование Фурье является |
частным случаем |
z преобразований, то есть при |
z e j |
||
получаем преобразование Фурье. |
|
|
|
|
|
Сходимость z преобразования: |
|
|
|
|
|
Если последовательность x n конечна, |
т.е. отлична от 0 только в ограниченном интервале |
||||
n1, n2 , то ее |
z преобразование |
X z |
сходится в |
z плоскости, за исключением, быть может, |
|
точек z 0 и |
z . |
|
|
|
|
Если последовательность x n бесконечна, то сходимость надо уточнять.
Обратное z преобразование:
x n |
1 |
x(z) zn1dz |
|
2 j |
|||
|
|
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso16x1.jpg)
Таблица соответствий.
|
Образ |
|
|
x n |
|
X z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u n |
|
|
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
z 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r n |
|
|
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z 1 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
an u n |
|
|
|
|
z |
|
|||||||
|
a 1 |
|
|
|
|
|
z a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 a |
||||||
an |
r |
|
z a z 1 |
|||||||||||
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства z преобразования.
1. Линейность.
x1 n X1 z x2 n X2 z
a x1 n b x2 n a X1 z b X2 z
2. Задержка (сдвиг).
x n X z
x n n0 X z z n0
3. Свертка.
y n x n h n
Y z X z H z
4. Перемножение последовательностей.
y n x1 n x2 n
Y z |
1 |
|
X1 |
X |
|
z |
1d |
|
|
2 |
|
|
|||||
2 j |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5. Теорема Парсеваля– аналог закона сохранения энергии. Вся энергия, содержащаяся в сигнале |
|||||||||
должна перейти в z |
|
преобразование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
x n |
2 |
|
x j |
2 d |
||
|
|
2 |
|||||||
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Графическое представление z преобразований. |
|||||||
z преобразования |
используются для |
проектирования фильтров (линейных систем). Нужно |
|||||||
h n H z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция H z , так |
же как H j |
|
называется передаточной функцией системы. Есть |
||||||
соответствие между Z-преобразованиями и преобразованиями Фурье: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X z x n z n |
z e j x j x n e j n |
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
z преобразование определено на всей комплексной плоскости, а преобразование Фурье на единичной окружности, которая является осью частот.
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso18x1.jpg)
БИЛЕТ 8. Быстрое преобразование Фурье. Явление частотного рассеяния, способы его
уменьшения.
Это способ вычисления дискретного преобразования Фурье. Ускорение происходит за счет исключения одинаковых значений.
Метод перестановок во времени:
8-ми точечное преобразование Фурье
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
|
j |
nk |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x k x n e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x k x 0 e |
j |
nk |
0 |
x 1 e |
j k |
1 |
x 2 e |
j k |
2 |
x 3 e |
j k |
3 |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
N |
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 4 e |
j k |
4 |
x 5 e |
j k |
5 |
x 6 e |
j k 6 |
x 7 e |
j k 7 |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы вычислить N коэффициентов надо произвести N 2 комплексных умножений и N (N 1) комплексных сложений.
При k 1, n 2 и k 2 , |
n 1 результат тот же. |
|||||||||||||||||||||||
|
N 2 |
|
|
|
N 2 |
|
N 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|||||
Пусть WN |
|
N |
|
, тогда |
x k x n WNkn |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n0 |
W 2 |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
N |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k |
|
|
|
|
W k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
j |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W 2 |
e j |
|
|
2 |
|
e |
|
N 2 W |
|
|
|
|||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
2 |
|
|
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
e |
j |
|
k |
e j |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
W |
|
2 |
|
|
e |
|
N |
|
|
|
2 |
|
N |
|
||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso19x1.jpg)
x 0 |
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x 2 x 4 x 6 |
|
x 1 x 3 x 5 x 7 |
|||||
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2n |
x 2n 1 |
|
|
||
N 2 1 |
N |
2 1 |
|
N |
2 1 |
|
N 2 1 |
x k x2n WN2nk x2n 1 WN2n 1 k x2n WN2nk WNk x2n 1 WN2nk |
|||||||
n 0 |
n 0 |
|
n 0 |
|
n 0 |
||
|
|
N 2 1 |
|
N 1 1 |
|
|
|
|
x2n |
WNnk WNk x2n 1 |
WNnk |
|
|||
|
|
n 0 |
2 |
n 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Бабочка. Алгоритм Тюки и Кули.
x1 k x11 k WNk x12 k
полное четные нечетные
Количество элементов последовательности должно быть N 2l
Бабочка– базовый элемент преобразования Фурье:
x 0 |
|
x 1 |
x 2 |
|
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
|
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 2 |
x 4 |
x 6 |
|
x 1 |
x 3 |
x 5 |
x 7 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 4 |
x 2 |
x 6 |
|
x 1 |
x 5 |
x 3 |
x 7 |
![](/html/2706/141/html_vvljzTES9C.3AB7/htmlconvd-jlGPso20x1.jpg)
x1 k x11 k WN k x12 k
x |
0 x 0 W |
0 x 4 x 0 x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
21 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 x 0 W 1 x |
4 x 0 x 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
21 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
e |
j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
WN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
k x |
k W k |
x |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
|
21 |
|
N |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
k |
x |
k W k |
x |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
23 |
|
N |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x11 0 x21 0 x22 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
k x |
1 W 1 |
x |
1 |
x |
1 W 2 |
x |
1 |
|
|
||||||
11 |
|
21 |
|
N |
22 |
|
|
21 |
|
8 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 x |
2 W 2 |
x |
|
2 x |
|
2 W 4 |
x |
|
2 x |
0 x |
0 |
||||
11 |
|
21 |
|
N |
22 |
|
|
21 |
|
8 |
22 |
21 |
22 |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x21 2 x21 0 ; |
x22 2 x22 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|