konetstststs

Ограничение для T :

Для того, чтобы не происходило наложение спектра полоса пропускания фильтра должна лежать в диапазоне:

T T

БИЛЕТ 16. Расчет БИХ-фильтров методом билинейного z-преобразования на примере

фильтров Баттерворта и Чебышева. Сравнительная характеристика фильтров Баттерворта и Чебышева, методика расчета коэффициентов разностного уравнения.

Фильтра Баттерворта и Чебышева проектируют из аналоговых прототипов.

АЧХ фильтра Баттерворта:

Аналоговый прототип.

где 1 частота среза.

Для ФНЧ:

H			1
						2n
			1
					1

где n порядок фильтра (чем больше порядок, тем ближе этот фильтр к идеальному).

АЧХ фильтра Чебышева:

Аналоговый прототип.

Величина осцилляций определяется параметром 1 2 ( параметр фильтра Чебышева)

H ( ) 1

1 2C 2

2 1

где выражения вида Cn x полином Чебышева порядка n .

Как нужно преобразовать эту характеристику, чтобы из ФНЧ получить ФВЧ?

C0 x 1

C1 x x

Cn x 2x Cn 1 x Cn 2 x

Теперь спроектируем цифровой фильтр: меняется от 0; , меняется от ; Нам нужно f , при .

Аналогом z преобразования является преобразование Лапласа:

Функция комплексной переменной

		1	0 j
F p f t e pt dt	f t				F p e pt dt
		2 j
0				j
			0

где p 1 Z 1 .

1 Z 1

p плоскость	z плоскость
p j	z e j

Фильтр аналогово устойчив, если полоса лежит в заштрихованной области (внутри окружности).

e j

e j

1 e j

2

2

j

j tg

1

e

j

e

j

2

e

j

2

2

tg

2

	p	Z 1			дважды линейно зависит от Z билинейное
		Z 1

Фильтр Баттерворта:
		H											1
												tg								2n
								1								2
																1
										tg						2
Фильтр Чебышева:
	H												1
															tg
							1			2		2							2
											Cn								1
													tg						2

Фильтр Баттерворта 5-го порядка	Фильтр Чебышева 5-го порядка
(окружность)	(эллипс)

Формулы для вычисления нулей и полюсов.

Баттерворта:

Нули располагаются в нуле. Количество нулей равно порядку фильтра.

1 tg 2

1

p.rem

2

d

m

2tg

1

sin

p.imm

2

n

d

m

d 1 2tg

1

cos

tg 2

1

2

n

2

где m 0,1,

... , 2n 1 – номер полюса.

n полюсов лежит в единичной окружности. Если n четное, то	m		2m 1
	n		2n

Когда фильтр четный, ни один полюс не лежит на действительной оси. Поэтому формулы разные.

Фильтр Чебышева:
		2		1 a tg 2						1			cos
	p.rem									2
								d 1
	p.imm				2 b tg
										1		sin
										2
								2
d 1	a tg	1		cos							b2tg 2						1	sin2
		2															2
							m
где m 0,1,..., 2n 1 .								n
							1						1
		a							C
					0.5	C n							n
							1						1
		b							C
					0.5	C n							n

C 1 1 2

Расчет низкочастотного фильтра Баттерворта.

H					1
							2n
				tg
			1		2
					1
					tg
					2

Рассчитать низкочастотный фильтра Баттерворта с частотой среза 1 0.2

H 0.4 30 дБ

1. Определить порядок фильтра:

H 0.4			1
						2n
			1		tg 0.2
				tg 0.1
			2.236

20 lg X 30

3

X 10 2 0.032

	1			0.032
	1 2.236 2n

1 0.032 2 1 2.236 2n

999 2.236 2n

n 4.29 , n 5 (ФНЧ 5-го порядка).

R
0.50953	0
0.83221	34.644
0.59619	23.125

Фильтры реализуются в виде каскадного соединения фильтров 1-го и 2-го порядка:

Фильтр 1-го порядка:

	H z	X z		Z 1
		X z		Z
	0.50953

Y z z Y z X z z X z

Y x Y x z 1 X z X z z 1 y n y n 1 x n x n 1

Фильтр 2-го порядка:

H z	V z			Z 1 2
				2 cos rz r2
U z			Z 2
34.644, r		0.83221

V n 2r cos V n 1 r2V n 2 U n 2U n 1 U n 2

V n 1.3693 V n 1 0.69257 V n 2 U n 2U n 1 U n 2

Фильтр 2-го порядка:

H z	Y z		Z 1 2
			z2 2 cos rz r2
V z

23.125, r 0.59619

y n 1.0966y n 1 0.35544y n 2 V n 2V n 1 V n 2

БИЛЕТ 17. Цифровое интегрирование.

Цифровое интегрирование– интегрирование дискретных сигналов.

–метод прямоугольников (нулевой порядок)

–метод трапеций (первый порядок)

–метод Симпсона (второй порядок)

X n x n

y n y n 1 x n – расчетное уравнение для метода прямоугольников.

y n y n 1 12 x n x n 1 – для метода трапеций

y n y n 2	1	x n 4x n 1 x n
			2			– для метода Симпсона
	3

Передаточные функции для различных способов интегрирования.

Оценка степени неидеальности.

y n y n 1 x n

Y z V z z 1 X z

Y z 1 z 1 X z

H z

Y z

1

z

X z

1 z 1

z 1

Для метода трапеций:

H e j

e j

2

e j

1

Для метода Симпсона:

H e j

e2 j 4e j 1

3

e2 j

1

Метод прямоугольников:

Его передаточная характеристика близка к идеальной при 0.4 . В области высоких частот затухание меньше, чем у идеального интегратора.

Метод трапеций:

Передаточная характеристика близка к идеальной при 0.4 , а в области высоких частот затухает больше, чем у идеального

Метод Симпсона:

Передаточная характеристика близка к идеальной при 0.5 , а в области высоких частот начинает возрастать.

Таким образом в области низких частот можно пользоваться любым методом, средних частот– методом Симпсона, высоких частот– методом прямоугольников и трапеций.

В зашумленных сигналах используется метод трапеций, так как осуществляется не только интегрирование, но и фильтрация.