- •ЛЕКЦИЯ 1
- •2. Электричество и магнетизм
- •2.1. Электростатика
- •2.1.1. Электрический заряд. Закон сохранения заряда
- •2.1.2. Взаимодействие электрических зарядов в вакууме. Закон Кулона
- •2.1.3. Электростатическое поле. Напряженность электростатического поля
- •2.1.4. Сложение электростатических полей. Принцип суперпозиции
- •2.1.5. Электростатическое поле диполя
- •2.1.6. Взаимодействие двух диполей
- •ЛЕКЦИЯ 2
- •2.1.7. Силовые линии электростатического поля
- •2.1.8. Поток вектора напряженности
- •2.1.9. Теорема Остроградского-Гаусса
- •ЛЕКЦИЯ 3
- •2.1.11. Теорема о циркуляции вектора поля
- •2.1.12. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия
- •ЛЕКЦИЯ 4
- •2.1.13. Связь между напряженностью и потенциалом
- •2.1.14. Безвихревой характер электростатического поля
- •2.1.15. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
- •2.1.16. Расчет потенциалов простейших электростатических полей
- •ЛЕКЦИЯ 5
- •2.1.17. Поляризация диэлектриков
- •2.1.18. Различные виды диэлектриков
- •2.1.19. Вектор электрического смещения
- •ЛЕКЦИЯ 6
- •2.1.21. Изменение D и E на границе раздела двух диэлектриков
- •2.1.22. Напряженность и потенциал электростатического поля в проводнике
- •2.1.23. Определение напряженности поля вблизи поверхности заряженного проводника
- •2.1.24. Конденсаторы
- •ЛЕКЦИЯ 7
- •2.1.25. Энергия электростатического поля
- •2.1.26. Причины электрического тока
- •2.1.27. Плотность тока
- •2.1.28. Уравнение непрерывности
- •2.1.29. Сторонние силы и ЭДС
- •ЛЕКЦИЯ 8
- •2.1.30. Закон Ома для неоднородного участка цепи
- •2.1.31. Закон Ома в дифференциальной форме
- •2.1.32. Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца
- •2.1.33. КПД источника тока
- •ЛЕКЦИЯ 9
- •2.2. Электромагнетизм
- •2.2.1. Магнитные взаимодействия
- •2.2.2. 3акон Био–Савара–Лапласа
- •ЛЕКЦИЯ 10
- •2.2.3. Магнитное поле движущегося заряда
- •2.2.4. Напряженность магнитного поля
- •2.2.5. Магнитное поле прямого тока
- •2.2.6. Магнитное поле кругового тока
- •ЛЕКЦИЯ 11
- •2.2.7. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции
- •2.2.8. Закон Ампера
- •2.2.9. Взаимодействие двух параллельных проводников с током
- •ЛЕКЦИЯ 12
- •2.2.10. Воздействие магнитного поля на рамку с током
- •2.2.11. Сила Лоренца
- •2.2.12. Циркуляция вектора магнитной индукции
- •ЛЕКЦИЯ 13
- •2.2.13. Магнитное поле соленоида
- •2.2.14. Магнитное поле тороида
- •2.2.15. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле
- •ЛЕКЦИЯ 14
- •2.2.16. Опыты Фарадея. Индукционный ток. Правило Ленца
- •2.2.17. Величина ЭДС индукции
- •2.2.18. Природа ЭДС индукции
- •ЛЕКЦИЯ 15
- •2.2.19. Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля
- •2.2.20. Явление самоиндукции
- •2.2.21. Влияние самоиндукции на ток при замыкании и размыкании цепи, содержащей индуктивность
- •ЛЕКЦИЯ 16
- •2.2.22. Взаимная индукция
- •2.2.23. Индуктивность трансформатора
- •2.2.24. Энергия магнитного поля
- •2.2.25. Магнитное поле в веществе
- •ЛЕКЦИЯ 17
- •2.2.26. Диамагнетики и парамагнетики в магнитном поле
- •2.2.27. Ферромагнетики
- •2.2.28. Закон полного тока
- •ЛЕКЦИЯ 18
- •2.2.29. Ток смещения
- •2.2.30. Единая теория электрических и магнитных явлений. Система уравнений Максвелла
- •ЛЕКЦИЯ 19
- •2.3. Колебания и волны
- •2.3.1. Виды и признаки колебаний
- •2.3.2. Параметры гармонических колебаний
- •2.3.3. Графики смещения скорости и ускорения
- •2.3.4. Основное уравнение динамики гармонических колебаний
- •ЛЕКЦИЯ 20
- •2.3.5. Энергия гармонических колебаний
- •2.3.6. Математический и пружинный маятник
- •2.3.7. Гармонический осциллятор
- •2.3.8. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения
- •ЛЕКЦИЯ 21
- •2.3.9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
- •2.3.10. Фигуры Лиссажу
- •2.3.11. Свободные затухающие механические колебания
- •2.3.12. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания
- •ЛЕКЦИЯ 22
- •2.3.13. Вынужденные механические колебания
- •2.3.14. Свободные колебания в электрическом контуре без активного сопротивления
- •2.3.15. Свободные затухающие электрические колебания
- •ЛЕКЦИЯ 23
- •2.3.16. Вынужденные электрические колебания
- •2.3.17. Мощность, выделяемая в цепи переменного тока
- •2.3.18. Распространение волн в упругой среде
- •ЛЕКЦИЯ 24
- •2.3.19. Уравнения плоской и сферической волн
- •2.3.20. Фазовая скорость
- •2.3.21. Принцип суперпозиции. Групповая скорость
- •2.3.22. Стоячие волны
- •ЛЕКЦИЯ 25
- •2.3.23. Волновое уравнение
- •2.3.24. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн
- •2.3.25. Энергия и импульс электромагнитного поля. Плотность потока энергии. Вектор Умова-Пойтинга
ЛЕКЦИЯ 21
2.3.9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Пусть некоторое тело колеблется и вдоль оси x, и вдоль оси y, т.е. участвует в двух
взаимноперпендикулярных колебаниях: |
|
|
|
; |
. |
(2.3.29) |
|
Найдем уравнение результирующего колебания. Для простоты примем |
. |
||
Разность фаз между обоими колебаниями равна: |
|
. |
|
Чтобы получить уравнение траектории, надо исключить из этих уравнений время t. |
|
||
Упростим выражения, выбрав начало отсчета так, чтобы |
, т.е. |
|
|
; |
|
. |
|
или
.
Распишем второе уравнение через косинус суммы:
|
. |
Отсюда |
. |
Возведем обе части в квадрат: |
|
;
.
162
Окончательное уравнение:
(2.3.30)
.
В результате мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно x и y произвольно (рис. 2.6).
Рис. 2.3.12
2.3.10. Фигуры Лиссажу
Рассмотрим некоторые частные случаи решений уравнения (2.3.30).
1. Начальные фазы колебаний одинаковы:
т.е.
Тогда уравнение (2.3.30) примет вид:
или ;
отсюда получим уравнение результирующего колебания:
(2.3.31)
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат (рис. 2.3.13, а).
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми начальными фазами будут происходить колебания вдоль прямой, проходящей через начало координат.
163
а |
б |
в |
Рис. 2.3.13
Такие колебания называются линейно поляризованными.
2. Начальная разность фаз равна π. Тогда , следовательно
;
.
Уравнение колебания в этом случае
(2.3.32)
То есть точка тоже будет колебаться вдоль прямой, проходящей через начало координат, но прямая лежит в других четвертях по сравнению с первым случаем (рис.
2.3.13, б).
Амплитуда результирующего колебания в обоих случаях равна:
. (2.3.33)
3. Начальная разность фаз равна π/2. Проанализируем уравнение (2.3.30), учитывая,
что
.
(2.3.34)
.
164
Это уравнение эллипса с полуосями А1 и А2 (рис. 2.3.13, в). Случай эллиптически
поляризованных колебаний.
При |
получим уравнение окружности (циркулярно-поляризованные |
колебания).
4. Все остальные разности фаз дают эллипсы с различным углом наклона относительно осей координат.
Необходимо отметить, что все рассматриваемые случаи, все |
кривые – это эллипсы |
(даже прямая – частный случай эллипса). |
|
Фигуры, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот, называются фигурами Лиссажу (Ж. Лиссажу (1822–1880) – французский физик). В простейших случаях можно сравнить частоты по виду фигур.
В приведенных выше примерах рассматривались простейшие случаи, когда Если , то в результате будут получаться уже не эллипсы, а более
сложные фигуры Лиссажу.
2.3.11. Свободные затухающие механические колебания
Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).
Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например маятник). Тогда сила трения (или сопротивления)
,
где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения.
Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси
x:
,
где kx – возвращающая сила, rυx – сила трения. Это уравнение можно переписать:
, отсюда следует:
.
Введем обозначения: ; .
Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающее колебательное движение, запишем так:
165
(2.3.35)
.
Решение уравнения (2.3.35) имеет вид (при ):
. (2.3.36)
Здесь А0 и φ0 определяются из краевых условий задачи (начальных и граничных), а β и ω – из самого уравнения.
Найдем круговую частоту ω. Здесь она уже не равна .
Для этого найдем первую и вторую производные от x:
,
Подставим эти значения в (3.1.1) и сократим на :
.
Сократим на и выразим ω:
,
,
где ω0 – круговая частота собственных колебаний (без затухания); ω – круговая частота свободных затухающих колебаний. Из этого выражения ясно, почему решение
(2.3.35) будет только при .
Для колебаний под действием различных сил (квазиупругих) значения ω, β, ω0 будут различными. Например, для колебаний под действием упругой силы
; ;
166