Рис. 2.1.27. Поле объемного заряженного шара

2.1.11. Теорема о циркуляции вектора поля

Мы определили, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали с

помощью вектора напряженности E , равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд

Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала. Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а

само поле потенциально.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q' . В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила F (рис. 2.1.28).

32

Рис. 2.1.28

,

где F(r)– модуль вектора силы F ; – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно q´; ε0 – электрическая постоянная.

Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны. Известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом q´ по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2.

Работа на пути dl равна:

где dr – приращение радиус-вектора r при перемещении на dl; т. е.

Тогда полная работа при перемещении q´ из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

(2.1.40)

Получили, что работа электростатических сил не зависит от формы пути, а

только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения.

Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.

33

Этот вывод можно распространить и на поле, созданное системой зарядов, так как по принципу суперпозиции полей: .

Итак, как и в механике, любое стационарное поле центральных сил является консервативными, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения начальной и конечной точек. Именно таким свойством обладает электростатическое поле – поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в

качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 (рис. 2.1.29) заданного поля E в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:

(2.1.41)

Рис. 2.1.29.

Тогда вся работа равна:

(2.1.42)

Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора E .

Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по

произвольному замкнутому пути:

(2.1.43)

Это утверждение и называют теоремой о циркуляции E .

Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1а2 и 2b1 (рис. 2.1.29). Из сказанного выше следует, что

(Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

34

Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Любое электростатическое поле является потенциальным.

2.1.12. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия

До сих пор мы рассматривали описание электростатического поля с помощью вектора напряженности E . Есть другой способ описания поля – с помощью потенциала.

Мы сделали заключение, что электростатическое поле потенциально. Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию.

Исходя из принципа суперпозиции сил	, можно показать, что общая работа А
будет равна сумме работ каждой силы:

Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути, следовательно, не зависит от формы пути и сумма.

Итак, электростатическое поле потенциально. Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний:

(2.1.44)

Это выражение для работы можно переписать в виде:

(2.1.45)

Сопоставляя формулу (2.1.44) и (2.1.45), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q:

(2.1.46)

Потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной интегрирования.

Значение константы в выражении для W выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т. е. при ), потенциальная энергия обращалась в нуль. Выражение (2.1.46) – для одного заряда. Для системы зарядов суммарная энергия

(2.1.47)

35