МАТЕМАТИКА_КР2
.pdflim |
x2 |
5x 6 |
lim |
(x 1)(x 6) |
lim(x 6) 7. |
|
x 1 |
x 1 |
|||
x1 |
|
x1 |
x1 |
Рассмотрим lim |
Pn (x) |
, где Pn (x) |
|
и Qm (x) ─ многочлены |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x Q (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степени n и m : P (x) p |
0 |
|
p x ... p |
n |
xn ; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
Q |
(x) q |
0 |
q x ... |
q |
m |
xm . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
m |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть n m. Разделим числитель и знаменатель почленно |
|||||||||||||||||||||
на xn : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
lim |
|
|
|
p |
0 |
/ xn p / xn1 ... p |
n |
|
||||||||||
lim |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
/ xn q / xn 1 |
... q |
|
/ xn m |
|||||||||||||
x Q (x) |
x q |
0 |
m |
|
|||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
Нетрудно |
видеть, |
|
|
что при |
x |
|
все слагаемые |
числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом,
lim |
Pn (x) |
по аналогии с примером 2. |
|
|
|||
|
|
|
|||||
x Q (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
Если |
n m , то lim |
Pn (x) |
lim |
|
1 |
, а дробь в |
|
|
|
|
||||
|
|
x Q (x) |
x Q (x) / P (x) |
|
|||
|
|
|
m |
|
m |
n |
|
знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:
lim |
|
1 |
0, так как величина, обратная |
|
|
||
|
|
||
x Q (x) / P (x) |
|
||
|
m |
n |
|
бесконечно большой, есть бесконечно малая величина. Рассмотрим теперь случай n m. Поделив числитель и
знаменатель почленно на xn , получим:
|
P (x) |
lim |
p |
0 |
/ xn p |
/ xn1 ... p |
n |
|
p |
n |
|
|||
lim |
n |
|
1 |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
/ xn q |
/ xn 1 ... q |
|
|
|
|
|
||||
x Q (x) |
x q |
0 |
n |
|
q |
n |
||||||||
|
m |
|
|
|
1 |
|
|
|
11
|
|
, если |
n m, |
|
Pn (x) |
|
|
Таким образом, lim |
|
0, если n m, |
|
|
|||
x Qm (x) |
|
если n m. |
|
|
|
pn / qn , |
Рассмотрим два предела: lim |
sin x |
|
и lim(1 x)1 / x . |
|
x |
||||
x0 |
x0 |
|||
С помощью несложных оценок |
можно показать, что |
lim |
sin x |
1. |
Вычисление второго предела требует бóльших |
|
x |
||||
x0 |
|
|
усилий, но можно доказать, что он равен числу e (основанию
натурального логарифма): lim(1 1 ) x e . Доказательства
x x
можно найти в учебниках по математическому анализу.
В силу важности этих пределов их называют
замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:
lim(1 x)1 / x |
e.; lim |
ln(1 x) |
1; |
lim |
a x 1 |
ln a ; |
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
x0 |
x |
|
|||
lim |
ex 1 |
1 |
; lim |
(1 x) |
1 |
. |
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
|
можно утверждать, что при x 0 sin x~ x , |
||||||||||||
ln(1 x)~ x , |
a x 1~ x ln a , |
ex |
1~ x , |
(1 x) ~ x , где знак ~ |
означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.
Пример 4. Вычислить предел:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
n3 |
n 2 3 n 4 |
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 4 16n6 5n5 1 5 n7 n 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
lim |
|
|
|
|
|
n3 |
n 2 |
3 n |
4 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n 4 |
16n |
6 |
|
5n |
5 |
1 |
5 |
|
n |
7 |
n 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
n3 |
(1 1/ n2 2 / n3 ) 3 n4 (1 1/ n4 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 4 16n6 (1 |
5 /(16n) 1/(16n6 )) 5 n7 (1 1/ n6 |
3/ n7 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
n3 / 2 |
|
1 1/ n2 2 / n3 n4 / 3 3 1 1/ n4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n 4n3 / 2 4 1 5 /(16n) 1/(16n6 ) n7 / 5 5 1 1/ n6 |
3/ n7 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
n3 / 2 ( 1 1/ n2 2 / n3 n 1 / 6 3 1 1/ n4 ) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n 4n3 / 2 ( 4 |
1 |
5 /(16n) 1/(16n6 ) n 1 / 10 5 1 1/ n6 3/ n7 |
) |
|
Очевидно, что все подкоренные выражения при n стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках ─ к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:
lim |
n3 / 2 |
|
1 |
. |
|
|
|||
n 4n3 / 2 |
|
4 |
|
Пример 5. Вычислить предел lim |
x5 2x 1 |
. |
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
||
x 1 |
|
x 1, |
||||
Решение. Подставив в заданную функцию |
||||||
убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида |
|
0 |
. |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Известно, что если x0 ─ корень |
многочлена Pn (x) , |
то |
Pn (x) (x x0 )Qn1 (x) , где Qn1 (x) ─ многочлен степени |
n 1. |
Следовательно, x5 2x 1 (x 1)Q (x) . Проще |
всего |
4 |
|
узнать вид многочлена Q (x) , разделив x5 2x 1 на |
x 1. |
4 |
|
Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:
x5 2x 1 |
|
x 1 |
|
x5 x4 |
x4 x3 x2 x 1 |
x4 2x |
|
x4 x3 |
|
x3 2x x3 x 2
x2 2x x2 x
x 1
x 1
0
13
Следовательно, x5 2x 1 (x 1)(x4 x3 x2 x 1) . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:
lim |
x5 |
2x 1 |
lim |
(x 1)(x4 |
x3 |
x2 |
x 1) |
|
||||||||||
|
x3 1 |
|
|
|
|
(x 1)(x2 x 1) |
||||||||||||
x 1 |
|
x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
x4 |
x3 x2 x 1 |
|
3 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 x 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 6. Вычислить предел lim ( |
|
x 2 4 |
|
x 2 1) . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
вида . |
||||||
Решение. |
|
Это |
неопределенность |
|
Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сопряженную сумму |
|
|
|
|
x2 4 |
|
x2 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
( |
x2 4 |
|
|
x2 |
|
1)( |
|
|
x2 |
4 |
|
|
x2 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
4 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( x2 4)2 |
( |
|
|
|
x2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
x |
|
|
x2 |
|
4 x2 4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
3x 4 |
||||||||
Пример7. Вычислить предел lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|||||||||||||||||
Решение. В данном случае имеем дело с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенностью |
|
|
|
|
вида |
|
|
1 . Преобразуем |
|
|
выражение в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
скобках, |
выделив |
|
|
|
|
единицу |
и |
|
|
|
|
бесконечно малую |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию: |
x 2 1 |
|
|
(x 2 x 4) (x 5) |
1 |
|
|
|
x 5 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 4 |
|
|
x 2 x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
3x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
3x 4 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
2 |
|
x 4 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
lim 1
x
x 5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x 2 x 4 |
|
x2 x 4 |
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
x 4 |
||
|
|
|
(3x 4) .
14
Так как при |
x |
x 5 |
─ бесконечно малая |
|
|
|
|||
x2 x 4 |
||||
величина, |
|
|
|
|
то |
|
|
|
x 5 |
|
lim 1 |
|
|
|
||
x 2 |
|
||||
|
x |
|
x 4 |
x2 x 4
x 5
e.
Поскольку |
|
|
lim f (x) |
||||
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 5 |
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 4 |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
u( x) lim |
lim u( x) |
, получаем: |
|||||||
f (x) x a |
|
||||||||
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
|
|
( x 5)(3x 4) |
|
|
|
|
|
(3x 4) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 4 |
|
lim e |
|
|
2 |
x 4 |
e 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x
|
Пример 8. Найти предел |
lim |
|
|
4x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
При |
x |
|
рассматриваемая |
|
|
функция |
имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенность |
вида |
|
|
|
0 |
. |
Введем новую |
|
переменную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y x . Когда переменная |
|
x |
|
, |
переменная y 0 . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рассматриваемый предел принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
|
|
4 y |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
2 lim |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
y 0 2 (tg( y) 1) |
y 0 tg |
|
|
tg y |
|
|
y 0 |
|
1 tg y |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 tg y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tg |
tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 lim |
|
y(1 tg y) |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y 0 |
2tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
так как y ~tg y , а 1 tg y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример 9. |
|
Найти предел lim |
sin 2 |
( 4x 2 |
x 4 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
1 3x 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение. |
|
Неопределенность |
вида |
|
|
|
|
|
0 |
. |
|
При |
x 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4x 2 x 4 2 |
|
x |
|
|
1 x 2 / 4 ~ 2 |
x |
. Поэтому sin |
|
4x 2 x 4 ~ 2 |
x |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
1 3x2 1 (1 3x2 ) |
|
1 ~ |
x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
lim |
sin2 ( 4x2 x4 ) |
lim |
(2 |
x |
|
lim |
4x2 |
|
|
8 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 3x2 1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
x 0 |
x 0 |
|
|
2 |
|
x 0 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
Пример10. |
Найти предел lim |
ln x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x e |
|
x e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
Неопределенность |
|
вида |
0 |
|
. |
Введем новую |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
переменную y x e. Тогда получим: |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln x 1 |
lim |
ln ( y e) 1 |
lim |
|||
x e |
|
y |
|
||||
x e |
y 0 |
y 0 |
ln ( y e) ln e y
|
ln |
y e |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
e |
lim |
ln (1 y / e) |
lim |
y / e |
|
1 |
. |
||
|
||||||||||
|
y |
y |
y |
e |
||||||
y 0 |
y 0 |
y 0 |
|
|
||||||
Здесь учтено, что ln(1 y / e) ~ y / e при |
y 0 . |
16
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Найти следующие пределы.
1.1 а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n 3)50 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n (2n 2) 48 (n 3) 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
1.2. а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 2x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.3. а) lim |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 1 3 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1.4. а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 4 |
|
x |
4 |
3x x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1.5. а) lim |
|
|
|
|
|
e x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 0 ln(1 2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1.6. а) |
lim |
|
|
|
x arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.7. а) lim |
|
|
|
|
|
|
5x 2 |
3x 5 |
3 7 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
4x |
4 |
|
3x |
2 |
2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
1.8. а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|||||||||||||||||
|
1 x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.9. а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 6 2x 3 |
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
lim sin x tgx |
|
x 0 |
x 2 |
2x2 1
x 2 x 5 lim
x x 3
lim e x e
x 1 x2 1
lim (1 |
2 |
) |
n 3 |
|||||
3n |
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
1 x 2 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x 2 |
|
|
|
|||||
x0 |
2 |
2 |
1 x
lim 1 sin 2 x x 2
x 0
lim |
4 x |
3x |
|
||||||||
|
|
|
|
3x |
|||||||
x 4 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
sin 2 |
|
x 2 4x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2x 1 |
||||||
x 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
x |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
3 2x |
|||||||||
x 0 |
|
17
1.10.а)
1.11.а)
1.12. а)
1.13. а)
1.14. а)
|
|
|
|
|
|
б) lim |
tgx sin x |
|
lim ( x 2 |
3x 5 |
x 2 x 3) |
||||||
|
||||||||
x |
|
|
|
|
x 0 x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
(3n 5) |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
1 sin x |
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x (3n 2)57 (n 3)3 |
|
|
x (2x )2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 |
|
2x 3 |
|
|
3x |
3 |
|
|
б) |
lim |
|
sin 3x |
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 3 2x 9 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
2x 5 5x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 4x |
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
3x x |
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 2x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 |
|
x 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 1 |
|
|
2 |
x |
||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
lim |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1.15. а) lim |
|
1 3 5 ...(2n 1) |
|
n |
б) lim |
1 |
|
cos3 |
|
3x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n 3 |
|
|
|
|
|
|
1 x6 1 |
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|||||||||||||||||||
1.16. а) lim |
|
1 3 ... n |
|
|
n |
|
|
|
б) |
lim |
e4 x |
e3x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
2 |
3x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 10n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.17. а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
|
4 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n 1 10n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 16 |
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
||||
1.18. а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
x 2 |
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
1 |
|
|
x |
|
|
4x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
||||||||||||
1.19. а) lim |
2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
3x 2 5x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 1 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|||||||||||||||||
1.20. а) lim |
|
(1 x)4 (1 x)4 |
|
б) |
lim |
|
|
e3x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
(1 x)3 |
(1 x)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
x 0 ln(1 3x) |
18
УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 2.
ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пусть на интервале (a,b) задана функция y f (x) .
Возьмем некоторое число x (a,b) |
и придадим аргументу x |
||
приращение |
x . Тогда значение функции |
получит |
|
приращение |
y f (x x) f (x) . |
Рассмотрим |
отношение |
y |
f ( x |
x) f ( x) |
. |
Если |
|
|
|
||||
x |
x |
|
yx , |
||
конечный |
предел дроби |
||||
производной функции |
y f (x) |
||||
символом |
|
|
|
||
y (x) (или |
f (x)): |
при |
x 0 |
существует |
|
то |
этот |
предел |
называют |
в |
точке |
x и обозначают |
|
|
f (x x) f (x) |
|
|
|
y (x) |
lim |
|
|
. |
|
|
x |
|
|||
|
x 0 |
|
|
|
|
Нахождение |
|
производной |
называют |
дифференцированием функции.
Функцию f (x) называют дифференцируемой в точке x , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:
y A x ( х) х .
Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом A y (x) .
Выражение A x y (x) x называют дифференциалом функции и обозначают dy . Приращение аргумента x
называют дифференциалом независимой переменной |
и |
|
|
обозначают dx (dx x) . Таким образом, dy y (x) dx. |
|
Геометрически дифференциал dy есть приращение |
|
касательной, проведенной к графику функции в точке x , |
и |
может быть как меньше, так и больше приращения функцииy . Для линейной функции y k x b y dy.
19
Если производная существует для всех x из интервала (a,b) , то тем самым производная определена как функция
|
|
|
|
|
f (x) в этом интервале, и можно говорить о производной от |
||||
этой |
функции, называемой второй производной |
функции |
||
f (x) : |
y |
|
|
высших |
|
f (x). Аналогично вводится понятие |
производных (производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка).
Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.
Основные правила дифференцирования |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
y u v |
|
y u v . |
|
|
|
||||||||
2. |
y c u |
( c – постоянная) y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c u . |
|
|
|
||||||||||
3. |
y u v |
|
y |
|
|
|
u v |
|
|
|||||
|
|
|
|
u v |
|
|
|
|||||||
|
|
u |
|
|
|
|
|
u v u v |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
y v |
|
y |
|
|
v2 |
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Производная |
сложной функции: |
если |
|
|
y f (z(x)), то |
||||||||
|
|
|
|
где производные функций в правой части |
||||||||||
y (x) f (z) |
z (x), |
равенства берутся по аргументам z и x соответственно. Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:
1. |
y c ( c – постоянная) |
y 0 |
|
|
|||||
2. |
y x |
y 1 |
|
|
|||||
3. |
y x |
y x 1 |
|||||||
4. |
y ax ( a – постоянная) |
y ax ln a, a 0, a 1 |
|||||||
5. |
y ex |
y ex |
|
|
|||||
6. |
y loga x |
y |
|
|
|
|
1 |
, a 0, a 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
x ln a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y ln x |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
y |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
8. |
y sin x |
y cos x |
|
||||||
9. |
y cos x |
y sin x |
20