МАТЕМАТИКА_КР2
.pdf
|
t |
7 |
|
t |
5 |
|
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
6 |
7 |
5 |
3 |
t arctg t |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
x 6 x arctg 6 x |
C . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Пример7. Вычислить интеграл |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
e x dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
Применяем подстановку t |
1 |
, тогда dt |
dx |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e x dx= et dt et C e x C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на интервале (a,b), то udv uv vdu .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла udv к
вычислению интеграла vdu , который может оказаться более
простым.
Метод интегрирования по частям применяется при вычислении следующих интегралов:
А) Pn (x)eax bdx , Pn (x) sin(ax b)dx, Pn (x) cos(ax b)dx ,
где Pn (x)- многочлен степени n. В этих интегралах за u(x) принимается Pn (x) и интегрируется по частям n раз.
В) Pn (x) ln x |
dx , |
Pn (x) arcsin xdx , |
Pn (x) arccos xdx , |
||
Pn (x)arctg xdx , |
Pn (x)arcctg xdx . |
|
|
||
В этих интегралах за dv принимается Pn (x)dx . |
|
||||
Пример 8. Вычислить xexdx . |
|
|
|||
Решение. |
|
Положим |
u x, dv exdx , |
тогда |
|
v ex dx ex , |
|
|
|
|
|
du dx и |
по |
формуле |
интегрирования по |
частям |
получаем:
41
xe xdx = xe x ex dx xe x ex C .
Пример 9. Вычислить arctg xdx .
Решение. Положим u arctg x, dv dx .
Отсюда |
du |
|
dx |
|
|
, v x . |
Используя |
формулу |
||||||||||||||
|
x2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
интегрирования по частям, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
arctg xdx = xarctgx |
|
|
xdx |
xarctgx |
1 |
|
d (1 x2 ) |
|
||||||||||||||
1 x2 |
2 |
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xarctgx |
1 |
ln(1 x2 ) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 10. Вычислить (4x 3) sin |
x |
|
dx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Примем u 4x 3, dv sin |
x |
dx , тогда du 4dx, |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
v sin |
x |
dx 2 cos |
x |
|
|
|
. Окончательно получаем: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4x 3) sin 2x dx = 2(4x 3) cos 2x 8 cos 2x dx
2(4x 3) cos 2x 16sin 2x C .
Пример11. Вычислить x ln xdx .
Решение. Сделаем предварительные преобразования:
u ln x , |
dv xdx, |
du |
dx |
, |
v xdx |
x2 |
, отсюда |
|||||||
x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x ln xdx = |
x2 |
ln x |
1 |
xdx |
x2 |
ln x |
x2 |
|
C . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью R x называется функция, равная отношению двух многочленов:
R x |
Pm x |
a xm a xm 1 |
... a |
m |
|
||
|
|
0 |
1 |
|
, |
||
Qn x |
b0 xn b1xn 1 |
... bn |
42
где, m, n – целые положительные числа, b j , ai -
действительные числа ( i 0,..., m; j 0,..., n ). |
|
|
||||||||||
Если m n , |
то |
|
|
R x называется правильной |
||||||||
рациональной дробью, если m n - неправильной дробью. |
||||||||||||
Всякую неправильную дробь путем деления |
Pm x на |
|||||||||||
Qn x можно представить в виде суммы некоторого |
||||||||||||
многочлена и правильной дроби. |
|
|
|
|
||||||||
|
Pm x |
Ln m x |
Pk |
x |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Qn x |
Qn x |
Pk x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
где Ln m x , Pk x |
- многочлены; |
- правильная |
||||||||||
Qn x |
||||||||||||
рациональная дробь k m |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Интегрирование |
правильной рациональной |
дроби |
||||||||||
основано на следующей теории. |
|
|
|
|
Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:
|
A |
|
A |
Mx N |
|
|
Mx N |
|||||||
|
|
, |
|
, |
|
|
, |
|
|
|||||
|
x a |
x a k |
|
x2 px q |
x2 px q k |
|||||||||
где, A, a, M, N, p, q – действительные числа, k – |
||||||||||||||
натуральное число |
k 2, p2 4q 0 . |
|||||||||||||
В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби |
||||||||||||||
представить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Q x x a k1 |
x a |
2 |
k2 ... x a |
s |
ks |
|||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x2 p x q r1 ... x2 p |
x q rm |
, |
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
то в разложении самой дроби:
а) каждому множителю вида x a соответствует одна
A
простейшая дробь вида x a ;
б) каждому множителю вида x a k соответствует сумма простейших дробей вида:
A1 |
|
A2 |
... |
Ak |
; |
|
x a |
x a 2 |
x a k |
||||
|
|
|
43
в) каждому множителю x2 px q соответствует одна
простейшая дробь вида |
Mx N |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
||||||
x2 px q |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x3 2x 2 |
||
Пример12. |
Найти интеграл |
x 1 2 x2 1 dx . |
||||||
Решение. Разложим правильную рациональную дробь |
||||||||
на сумму простейших дробей: |
|
|
|
|
|
|||
|
x3 2x 2 |
A |
A |
|
Mx N |
|||
|
x 1 2 x2 1 x 1 x 1 2 |
x2 1 . |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая
числители, получим:
x3 2x 2 A1 x 1 x2 1 A2 x2 1 Mx N x 1
Так как данное тождество должно выполняться для любого x , то зададим аргументу значение x 1 и получим
1 2 A2 A2 12 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в тождестве, находим:
При x3 : 1 A1 M
При x2 : 0 A1 A2 2M N
При x : 2 A1 M 2N
При x0 : 2 A1 A2 N
Подставив значение |
A |
1 |
, находим: |
N |
3 |
, |
A 0 |
, |
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1.
Поэтому:
44
|
|
x3 2x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
x 1 2 x2 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||
2 |
x 1 2 |
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
d x2 1 |
|
|
3 |
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
x 1 2 |
2 |
x2 1 |
|
|
2 |
|
x2 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ln x2 1 |
|
arctgx C. |
|||||||||||||||||||||
|
2 x 1 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
Интегрирование тригонометрических функций |
||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
интеграл |
|
типа |
R(sin x, cos x)dx , где R |
обозначает рациональную функцию своих аргументов sin x и cos x . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью, так называемой
универсальной постановки tg |
|
x |
t, ( x ) . |
||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, x 2arctg x, dx |
|
|
2dt |
и |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t 2 |
|||||||
|
|
2tg |
x |
|
|
|
|
|
1 tg 2 |
x |
|
|
1 t 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
= |
. |
|||||||||
sin x |
|
2 |
|
|
|
|
, cos x |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 tg |
2 x |
1 |
|
1 tg |
2 x |
|
1 t 2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Тогда, подставляя в данный интеграл вместо sin x , cos x и dx полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.
dx
Пример13. Вычислить интеграл 5 4 sin x 3 cos x .
Решение. Подстановка tg 2x t дает:
45
|
|
|
|
dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 4 sin x 3 cos x |
|
|
|
|
|
8t |
|
1 t 2 |
|
|||||||||
|
|
(5 |
|
|
3 |
)(1 t 2 ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
t 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
dt |
1 |
C |
|
1 |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(t 2)2 |
2 t |
2 tg |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Универсальная подстановка нередко приводит к сложным |
вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях
предпочтительней |
|
частные |
|
|
|
|
подстановки, |
также |
|||||||||||||||||||||||||||||||
рационализирующие интеграл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
если |
|
|
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) , то |
применима |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановка cos x t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
если |
|
R(sin x, cos x) R(sin x, cos x), |
то |
применима |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановка sin x t ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
если |
|
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) , |
то |
применима |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
подстановка tgx t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить интеграл |
sin3 x dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример14. |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
Положим cos x t и найдем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin x 1 t 2 , x arccos t, dx |
|
|
|
|
, поэтому: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 t 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
sin3 x dx |
|
|
|
|
( |
1 t 2 )3 |
|
dt |
|
|
|
|
t 2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
||||
cos x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t 3 |
1 t 2 |
|
|
|
|
|
|
t 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(t 3 |
8 |
|
|
)dt |
t 2 |
|
|
3t 8 ln |
|
t 3 |
|
C = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3cos x 8 ln |
|
cos x 3 |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рассмотрим интеграл вида cosm x sin n xdx , |
где m и n- |
целые числа. Возможны следующие случаи:
1. Одно из чисел m или n – нечетное, например m 2k 1, тогда полагая sin x t , получим:
cosm x sin n xdx = cos2k x sin n x cos xdx =
(1 sin 2 x)k sin n xd (sin x) (1 t 2 )k t ndt
46
2. Оба числа m и n – четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
|
|
cos2 x |
1 cos 2 x |
, sin 2 x |
1 cos 2 x |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
Пример15. Вычислить интеграл sin 2 x cos3 xdx . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin 2 x cos3 xdx = sin 2 |
x(1 sin 2 x)d sin x t 2 (1 t 2 )dt = |
|||||||||||||||||||||
|
t3 |
|
t5 |
C |
1 |
sin3 x |
|
1 |
sin5 x C . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегрирование некоторых иррациональных функций |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим интеграл следующего вида: |
|
|
||||||||||||||||||
R[x, ( |
ax b |
|
|
|
ax b |
|
|
, ]dx, |
|
|
||||||||||||
|
|
) |
|
, ( |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
cx d |
|
cx d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
где |
R |
- |
|
рациональная функция, |
m1 |
, |
m2 |
, - |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
n2 |
рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу
от |
|
|
|
рациональной |
функции |
|
с помощью |
подстановки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ax b |
t k , |
где |
|
k - |
общий |
|
знаменатель |
всех дробных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cx d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
показателей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример16. Вычислить интеграл |
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение. Положив x t 4 , dx 4t3dt , получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
3dt 4 |
t5dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx = |
|
4t |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 (t |
4 t3 t 2 t 1 |
|
1 |
|
|
)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4( |
t5 |
|
t 4 |
|
t3 |
|
|
t 2 |
|
|
t ln |
|
t 1) C = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 x5 x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
x |
44 |
x |
4 ln(4 |
x |
1) C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить неопределенные интегралы.
5.1 |
a) |
|
arctgx |
dx |
||
|
||||||
|
|
|
|
1 x 2 |
||
5.2 |
a) |
|
arctg 2 x |
dx |
||
|
||||||
|
|
|
|
1 x2 |
b) sin 4 x cos5 xdx
b) sin 3 |
x cos4 xdx |
c)
c)
xdx
x2 4 x 1
x5 x 3dx . x3 1
|
|
|
arcsin x 1 |
|
|
|
|
cos 2 |
x sin 2 xdx |
c) |
|
2x 2 x 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.3 |
a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 3 |
|||||||||||||||||||||||
|
a) |
|
|
xdx |
b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 1 dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(arcsin 2 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a) |
|
|
arccos |
2 xdx |
b) |
cos 3x cos xdx |
c) |
|
|
x5 x 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6 |
a) |
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
dx |
b) |
|
|
dx |
|
|
|
c) sin 5x sin xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 e2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.7 |
a) |
|
|
|
|
|
e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|
dx |
c) |
|
|
xdx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
5.8 |
a) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
c) |
|
|
xdx |
. |
|
|||||||||||||||||
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3x2 2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
5.9 |
a) |
|
|
|
|
|
dx |
b) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
c) |
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5.10 |
a) |
|
dx |
|
|
|
|
b) |
|
|
|
|
dx |
c) . |
|
x2 |
4 xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
48
5.11a)
5.12a)
5.13a)
5.14a)
5.15a)
5.16a)
5.17a)
5.18a)
5.19a)
5.20a)
|
|
xdx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x 1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 3x |
|||||||||||||
|
|
|
2 x |
||||||||||||
|
|
|
dx b) |
||||||||||||
1 4 x |
|||||||||||||||
|
1 tg 3 xdx |
||||||||||||||
|
|
|
cos 2 x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
e x |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||
e x |
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
xdx |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
xdx
1 4 x
sin 3 x cos2
1 tgxdx sin 2x
dx
5 4 sin x
|
b) |
|
|
(3x 6)dx |
|
|
|
|
|
|
c) |
ln 2 |
x ln x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
2 |
4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
b) |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
c) |
|
|
|
x 4 dx |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 x 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x2 x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx c) |
|
x5 |
x4 |
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
(x 1)(x 2)(x 3) |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b) |
ln x |
|
|
|
|
|
|
c) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x 1 x2 4 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b) x arcsin xdx |
|
c) |
|
x3 |
1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x 1 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
b) x 2 cos xdx |
|
|
c) |
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x 1 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
b) x 2e x dx |
|
|
|
c) |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x |
1 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
b) xarctgxdx |
|
c) |
|
x3 |
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
xdx |
|
|
|
|
x x2 1 |
dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
b) x 2 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
c) |
|
|
5x3 2 |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 5x2 4x |
|
|
|||||||||||
|
b) x 2 sin xdx |
c) |
|
|
|
|
x 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 2 x 2 |
x 1 dx . |
|
49
УКАЗАНИЯ К ЗАДАНИЮ 6. |
|
|
ТЕМА 6. |
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
a, b . |
Пусть |
функция f x определена на отрезке |
Разобьем этот промежуток произвольным образом на n
частей точками |
a x0 |
x1 x2 ... xi xi 1 ... xn b . |
||||||||
В |
каждом |
из |
полученных |
частичных |
промежутков |
|||||
xi , xi 1 |
, |
где i 0,1,2,..., n 1, выберем произвольную точку |
||||||||
i xi , xi 1 . Вычислим значение функции |
f i и умножим |
|||||||||
его на |
разность |
xi 1 xi |
xi , |
после |
этого |
составим |
||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
сумму f ( i ) xi , |
которая называется |
интегральной |
||||||||
|
|
i 0 |
|
|
|
f x на отрезке a, b . |
||||
суммой Римана для функции |
||||||||||
Пусть max xi , |
т.е. |
длина |
наибольшего |
частичного |
промежутка. Если существует конечный предел интегральной
суммы |
при 0, не зависящий ни от способа разбиения |
||||
промежутка |
a, b |
на части, ни от выбора точек i , то этот |
|||
предел называется определенным интегралом функции f x |
|||||
|
|
|
a, b и обозначается символом |
b |
|
на промежутке |
f x dx . |
||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
n1 |
|
Таким образом, |
|
f x dx lim f i xi . |
|
||
|
|
|
a |
0 i0 |
|
Функция |
f x в этом случае называется интегрируемой в |
||||
промежутке |
a, b . |
Числа a и b называются соответственно |
нижним и верхним пределами интеграла.
Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда |
||||||
функция |
f x непрерывна и неотрицательна в промежутке |
|||||
a, b , |
f x 0, x a,b . |
В |
этом случае произведение |
|||
f i xi |
равно площади прямоугольника с основанием xi и |
|||||
высотой |
f i , а |
сумма |
|
равна сумме |
площадей |
|
прямоугольников с основанием x0 , x1,..., xn 1 |
и высотами |
|||||
f 0 , f 1 ,..., f n 1 |
(рис. 5). |
|
|
50