МАТЕМАТИКА_КР2

Рис.5

Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при 0, т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f x , прямыми x a и x b и отрезком a, b оси

OX .

Свойства определенного интеграла

Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:

b	a
1. f x dx f (x)dx
a	b
b	c	b
2. f x dx f (x)dx f (x)dx
a	a	c
b	b
3. kf (x)dx k f x dx
a	a
b	b		b
4. ( f (x) g(x))dx f x dx			g x dx
a	a		a
a	f x dx 0
5.

a

51

b

6. Если f x 0, x a, b , то

f x dx 0 .

a

Если функции

f x непрерывна на отрезке a, b

и F x -

какая-нибудь

первообразная

для

f x на

этом отрезке,

то

справедлива формула Ньютона-Лейбница:

b

f x dx

F b F a .

a

Правую

часть формулы

часто обозначают

символом

F x |ba (знак двойной подстановки от a до b ).

dx

1

Пример1.

Вычислить определенный интеграл

.

0

4 3x

1

dx

2

|10

2

1 2

2

Решение.

4 3x

.

4

3

3

0

3x

3

Замена переменной в определенном интеграле

отрезке a, b , а

Пусть

функция

f x

непрерывна на

функция

t

определена

и

непрерывна

вместе

со своей

, , причем a t b

для

производной

t на отрезке

любого t ,

и a , b

Тогда:

b

f x dx f t t dt

a

Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.

8	xdx
Пример2. Вычислить определенный интеграл					.
		x	1
3

Решение. Сделаем замену переменной x 1 t .

Тогда x t 2 1, dx 2t dt . Пересчитаем пределы интегрирования: при x 3 t 2, а при x 8 t 3.

52

8	xdx						3		2										3			3
						2 t				1 dt						t
														2							t	|2
		x	1															3
3							2
			27								8					32
	2						3		2				2								.
			3								3							3

Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции u x и v x дифференцируемы на
отрезке	a, b ,		то		справедлива следующая формула
b	b
udv uv |ba vdu .
a	a
					e
Пример3. Вычислить ln xdx .
					1
Решение. Обозначим u ln x ,						du	dx	.
	dv dx, v x .						x
Тогда
e		e		dx
ln xdx x ln x |1e		x			e x |1e 1.
				x
1		1

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком f x 0, осью OX и прямыми x a и x b (рис.6)

b

вычисляется по следующей формуле: S f (x) dx.

		кривой y f x	a
Если	часть		находится под осью OX
(рис.7), то площадь заштрихованной фигуры равна:
c	d	b
S f x dx f x dx f x dx .
a	c	d		x ,
Пусть фигура ограничена двумя кривыми y1 f1

53

y2 f2 x и

f1(x) f2 x ,

a x b (рис. 8). Тогда ее

b

площадь вычисляется по формуле S f2 x f1 x dx .

a

Y

y=f(x)

a	b
O	X

Рис.6

Y

y=f(x)

a O	c	d	b	X

Рис. 7

54

Y

y2=f2(x)

	y1=f1(x)
a	b
O	X

Рис. 8

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой y 3x 4 и параболой y x2 3x .

Решение. Построим графики прямой и параболы (рис. 9).

Рис. 9

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

y 3x 4		x1	2, x2	2.
	3x
y x2

Тогда получим:

55

2	2	2	2			x	3			2	32
					4x						.
S 4 3x x 3x dx 4 x dx						3
2		2								2	3
Объем тела вращения		y f x	непрерывна на отрезке a, b . В
Пусть функция

этом случае объем тела, образованного вращением вокруг оси

OX криволинейной трапеции,	ограниченной		графиком
функции y f x , прямыми	x a ,	x b и	осью OX ,

вычисляется по формуле:

b

V f 2 x dx .

a

Если тело получено вращением кривой x g x , c y d вокруг оси OX , то объем этого тела вычисляется по формуле:

d	y dy.
V g 2
c
Пример5. Вычислить объем тела, образованного
вращением	фигуры,	ограниченной	линиями
xy 4, y 0, x 1, x 4 вокруг оси OX .

Решение. На рис.10 показана фигура, образующая тело вращения.

Рис. 10

4	16				1
V			dx 16			|14	12 .
1 x2					x

56

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (6.1- 6.20) .

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси OX (6.1.1-6.1.20).

Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY (6.2.1-6.2.20).

6.1.y 2 x 1; y x2 2x 1.

6.2.y x2 3x ; y x2 3x .

6.3.y3 x ; y 1; x 8 .

6.4.y 3x ; y 4e x ; y 3 ; y 4 .

6.5.y 12 x ; y 21x ; x 16 .

6.6.x 5 y 2 ; x 4 y .

6.7.x y 2 3 ; x 4 y 8 .

6.8.y x2 3x 1; y x 7.

6.9.y x2 x 1; y x2 4.

6.10.y 3 2x x2 ; y 3x2 6x 9.

y x	2, y	x3
6.11.	3 .

6.12.y x2 , y x. .

6.13.y2 2x 1, x y 1 0 .

6.14.y x2 1, y x 1.

6.15.y x2 4x, y x 4 .

6.16.y2 x 1, у х2 2х 1.

	у	1	, у	х2
		1 х2		2 .
	6.17.

57

6.18.у2 4х, х2 4у.

6.19.| y | 1 x2.

6.20.y ex , у е х , х 2.

6.1.1.y 2x x2 ; y x 2 .

6.1.2.y x3 ; y x .

6.1.3.y x2 5x 6; y 0 .

6.1.4.y x2 ; x y 2 .

6.1.5.y 2sin x; y sin x; 0 x .

6.1.6.у (х 1)3 , х 2.

6.1.7.у 64 , х 2 8 у.

х2 16

6.1.8.у2 х, х2 у.

6.1.9.у хех , х 1, у 0.

6.1.10.у х2 / 2, у х3 / 8.

6.1.11.у х3 , х 0, у 8.

6.1.12.	у		2	, у 0, х 0, х 1.
			х2
	1

6.1.13.у хех , х 0, х ln 2 .

6.1.14.y 2sin x,0 x .

6.1.15.y2 4x, y2 x3.

6.1.16.y2 6x, y 6x2.

6.1.17.y2 6х, х 3, х 5.

6.1.18.3x y 0,3x 4 y 0, y 0, y 3.

6.1.19.xy 6, x 1, x 4, y 0.

6.1.20.y 2x x2 , y x 2.

6.2.1.y x 1 2 ; y 1.

6.2.2.y x2 2x 1; x 2 , y 0.

58

6.2.3.y ln x ; x 2 , y 0.

6.2.4.y x3 ; y x2 .

6.2.5.y x2 ; x 2; y 0.

6.2.6.xy 6, x 1, x 4, y 0.

6.2.7.y 2 (x 1)3 , x 0.

6.2.8.y 2 16 x, x 0.

	6.2.9.	х2		у 2	1, у b, y b.
		а 2		b2

6.2.10.х 2 у 2 1.

а2 b2

6.2.11.2 y 16 x2 , y 4 0, y 0.

6.2.12. х у 1, х 0, у 0.

6.2.13.x ( y 2)2 , x 0, y 0.

6.2.14.y 2x x2 , y 0.

6.2.15.у х х, х 1, у 0 .

6.2.16.2 y x2 4x 4, y 2.

6.2.17.x2 y 2 1.

6.2.18.у х3 , х 0, у 8.

6.2.19.y 2sin x,0 x .

6.2.20.y x2 ; x y2 .

59

5. ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

К оформлению работ предъявляются следующие требования:

1.Работа выполняется в тетради со свободными полями для замечаний рецензента.

2.На обложке тетради должны быть указаны фамилия и инициалы студента, номер зачетной книжки, шифр, номер специальности, срок обучения, название дисциплины.

3.Контрольная работа должна содержать все задачи своего варианта, расположенные в порядке, указанном в задании. Перед решением каждой задачи должны приводиться

ееусловия.

4.Решение следует излагать подробно и аккуратно, делая необходимые объяснения и иллюстрации.

5.В случае получения от рецензента незачтенной работы следует исправить все отмеченные ошибки, внести необходимые исправления и прислать работу для повторной проверки. Рекомендуется при выполнении работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для внесения возможных исправлений после ее рецензирования.

Варианты контрольных заданий приведены в конце каждого из разделов, раскрывающих каждую из перечисленных тем.

60