2. Интегрирование методом разложения подынтегральной функции.

Этот метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций. Рассмотрим на примерах.

Пример 1. Найти . Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель, корни представим степенями, затем воспользуемся свойствами интеграла и табличным интегралом1.

===

=x²+6-2+C.

Пример 2. Найти . Решение. Разложимsin2x=2sinxcosx, почленно разделим, воспользуемся свойствами интеграла, получим:

==-2cosx+x+C.

3. Метод замены переменной.

Если в можно найти такую функциюx=x(t) и dx=(t)dt, что после замены переменной =в правой части получаем более простой интеграл или табличный, то имеет смысл воспользоваться такой заменой.

Пример 1. Найти. Решение. Положимx=t²+1, тогда dx=2tdt, x-1=t² =t. Получаем =+С. Перейдём к старой переменной х. Имеемt=, тогда=+С.

Пример 2. Найти . Решение. Пустьx=asint, тогда dx=acostdt, =. Эта подстановка позволяет нам освободиться от корня. Получаем==Здесь мы воспользовались формулой понижения для косинуса:cos²t=(1+cos2t). Выполним обратную замену. Так как x=asint, следовательно, sint=, t=arcsin, sin2t=2costsint, cost=, sin2t=2=2. Окончательно имеем =( arcsin+)+C.

В некоторых интеграла лучше найти такую функцию t=t(x), чтобы под знаком интеграла было выражение .

Пример 3. Найти . Решение. Возьмём функциюt=sinx, dt=cosxdx. Выполним замену переменной, получим ===+С. Выполним обратную замену, получим=

Успех при интегрировании методом замены переменной во многом зависит от того, насколько мы удачно выбрали функцию.

4. Интегрирование по частям.

Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные, то справедлива формула

, (8)

которая называется формулой интегрирования по частям. При этом в левом интеграле за u и v выбираются такие функции, чтобы в правой части получился интеграл, либо табличный, либо более простой, чем в левой части. С помощью этой формулы находятся, например, интегралы вида:

1.e^mxdx, sin(mx)dx, cos(mx)dx.

11. lnxdx, arcsinxdx, arccosxdx, arctgxdx, arcctgxdx.

111. cos(bx)dx, sin(bx)dx, где Р(х) во всех интегралах – многочлен степени n относительно переменной х . В интегралах 1 вида принимают u=P(x) за dv всё остальное. В интегралах 11 вида за dv принимают P(х)dx за функцию u оставшийся множитель. В интегралах 111 вида формулу придётся применять дважды. За функцию u принимается либо е^ах тогда за dv оставшееся выражение, либо принимают dv=e^axdx тогда за u оставшийся множитель.

. Найти следующие интегралы:

Пример 1. Найти . Решение. Интеграл1. вида, следовательно, u=x²+3x, dv=sindx, тогда du=(2x+3)dx, v= -2 cos и по формуле (8) имеем =(x²+3x)(- 2 cos)-.

В правой части получили интеграл опять вида 1., но степень многочлена уменьшилась. Применим к нему опять формулу интегрирования по частям полагая за u=2x+3 за dv=cosdx, тогда du=2dx, v=2sin. Вынесем -2 за знак интеграла получим: =-2(x²+3x)cos+2(2x+3)2sin-

-). К последнему интегралу применим формулы (6), (7) и 1. таблицы 2. Получим окончательный результат=

=-2(x²+3x)cos+2((2x+3)2sin+8cos)+C=-2(x²+3x)cos+4(2x+3)sin+

+16cos+C.

Пример 2. Найти. Решение. Имеем интеграл вида11., поэтому положим u=arcsinx, dv=xdx, тогда du=,v=по формуле (8) по-лучим:=arcsinx-.(*) Найдём последний интеграл отдельно. К нему можно также применить формулу интегрирования по частям, хотя он и не похож ни на один из трёх видов интегралов, указанных выше. Положим заu=x, а за dv=, тогда du=dx, v==-=-.Следовательно=x+ +dx. Под знаком интеграла, в правой части равенства, умножим и разделим на , а затем числитель почленно разделим на этот же корень получим: = -x+dx= -x+-= -x+arcsinx-. В правой части получили тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его в левую часть, сложим и разделим на 2 обе части равенства_, получим: =(-x+arcsinx)+C₁. Подставим полученный интеграл в (*) положим С=-С₁ получим окончательный результат. =arcsinx-(-x+arcsinx)+C.

Пример 3. Найти. Решение. Интеграл вида111.. Полагая u=e^3x, dv=cosdx тогда du=3e^3xdx, v=2sin, применим формулу (8), вынесем постоянные множители за знак интеграла, получим: =e^3x2sin-6. В правой части интеграл того же вида. Положим опятьu=e^3x, за dv=sindx, имеем du=3e^3xdx, v=-2cos, следовательно, получаем:=2e^3xsin-6(e^3x(-2cos) +6) =2e^3xsin+ +12e^3xcos-36. В правой части имеем тот же интеграл, что и в левой. Перенесём его, вместе с коэффициентом, в левую часть сложим с левым интегралом, разделим на полученный коэффициент обе части равенства, предварительно вынесем общие множители за скобку, получим окончательный результат.=e^3x(sin+6cos)+С.