§4 Интегрирование некоторых классов функци
1. Интегрирование рациональных функций
Частное от деления двух многочленов называют рациональной функцией или просто рациональной дробью, которая обычно обозначается R(x). Согласно определению
R(x)=
,
(1)
где Pm(x)-многочлен степени m, а Qn(x) - многочлен степени n. При этом дробь называется правильной, если m < n и неправильной, если m ≥ n. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части дроби) и правильной рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель, т.е. в виде
R(x)=
=Lr(x)+
,
(2)
где Lr(x)- многочлен степени r = m-n (частное от деления), рk(х)- многочлен степени k<n (остаток от деления).
Пример 1.
Представить неправильную дробь R(x)=
в виде сум- мы многочлена и правильной
дроби. Решение. Разделим числитель на
знаменатель.
x3+5x-4 |x-1
x3-x2 x2+x+6
x2+5x
x2-x
6x-4
6x-6
2
Следовательно,
R(x)=
=x2+x+6+
.
Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы, так называемых, простейших дробей, указанных ниже четырёх видов:
1.
;
11.
;
111.
;1V.
,
где n=2,3,…,
и квадратный трёхчлен x2+px+q
имеет отрицательный дискриминант.
Рас-смотрим интегрирование первых трёх
видов простейших дробей.
1.
=Aln(x-a)+C.
11.
+C=
=
+C.
111.
dx.
В данном
интеграле в начале
выделим в
числителе производную знаменателя,
т.е. выражение 2х+p,
затем разделим числитель на знаменатель,
почленно, получим два интеграла. В
первом интеграле 2х+p
подведём под знак интеграла, получим
табличный интеграл 11.
таблицы 2. Во втором интеграле выделим
в знаменателе полный квадрат суммы вида
x2+px+q=x2+px+
-
+q=(x+
)2+q-
,
сделаем замену выражений,x+
=t
dx=dt,
так как x2+px+q
имеет отрицательный дискриминант то
q-
>0
обозначимq-
=a2,
получим тоже табличный интеграл V111.
таблицы 2.
dx=
+
+(N-
)
=
+(N--
)
=
=
ln(x2+px+q)+
arctg
+C=
ln(x2+px+q)+
arctg
+C.
Рассмотрим теперь
разложение правильной рациональной
дроби на простейшие. Вспомним, что,
согласно теореме Гаусса, количество
корней всякого многочлена равно
показателю его наивысшей степени и
многочлен можно, по теореме Безу,
разложить на множители следующим
образом:
Qn(x)=Aoxn+A1xn-1+A2xn-2+…+An-1x+An=Ao(x-x1)(x-x2)…(x-xn), (3)
где х1, х2, …, xn - корни многочлена среди которых могут быть кратные и комплексные, а каждому комплексному корню соответствует сопряжённый ему, тогда каждой паре комплексно спряжённых корней xj,, xj+1 в разложении (3) будет отвечать квадратный трёхчлен x2+pjx+qj c отрицательным дискриминантом. Если некоторый корень, например, xi повторяется k раз, то в разложение (3) войдёт множитель (x-xi)k, а если комплексный корень, например, xl повторяется r раз то в разложение (3) войдёт множитель (x2+plx+ql)r. Перепишем разложение (3) с учётом сказанного.
Qn(x)=Aoxn+A1xn-1+…+An-1x+An=Ao(x-x1)…(x-xi)k…(x2+pjx+qj)
…(x2+plx+ql)r…(x-xn).
(4) Если
знаменатель правильной дроби (2) разложен
на множители вида (4), то её можно
представить в виде суммы простейших
дробей, при этом каждому простому
множителю вида (х-х1)
соответствует простейшая дробь вида
1.
,
множителю вида (x-xi)k
- сумма простейших дробей вида
+
+…+
,множителю
x2+pjx+qj
дробь вида
,а
каждому множителю вида (x2+plx+ql)r
–сумма дробей
+
+…+
.
Рассмотрим разложение правильной дроби
на простейшие в примерах.
Пример 2.
Разложить правильную дробь
на простейшие.
Решение: Знаменатель дроби разложим на множители. x4+x3+x+1=x3(x+1)+x+1=(x+1)(x3+1)=(x+1)2(x2-x+1) и дробь представим в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами
=
=
+
+
Коэффициенты A,B,C,D
найдём методом сравнения коэффициентов
при одинаковых степенях. Приведём дроби
к общему знаменателю.
=
.
Дроби равны, знаме-натели равны,
следовательно, равны и числители.
Приравняем числители и одновременно
раскроем скобки.
3x2+4x-2=Ax2-Ax+A+Bx3+B+Cx3+2Cx2+Cx+Dx2+2Dx+D. Многочлены равны, следовательно, равны коэффициенты при одинаковых степенях. Приравняем их.
При: х3 В+C=0,
x2 A+2C+D=3,
x -A+C+2D=4,
x0 A+B+D = -2. Получили систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными. Из первого уравнения В=-С. Подставим в четвёртое получим систему трёх уравнений.
Решив систему получим: A=-1, B=-5/3, C=5/3 D=2/3, следовательно имеем искомое разложение.
=
+
+
.
Пример 3.
Разложить правильную дробь
на простейшие.
Решение: Найдём корни знаменателя, разложим знаменатель на множители, приведём дроби к общему знаменателю и приравняем числители.
=
=
=
=
.x2+4=A(x-2)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x-2).
Найдём неизвестные коэффициенты другим методом, который называется методом произвольных значений х. Этим методом удобно пользоваться, когда корни многочлена вещественные и различные. Дадим значения переменной х равные корням многочлена знаменателя и подставим их в последнее равенство получим: при х=0 A=2/3, при х=2 получаем В=-4, при х=3 – С=13/3. Искомое решение примет вид: В=-4 и при х=3 – С=13/3. Искомое разложение примет вид
=
.
На основании выше изложенного составим алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби.
Если дробь не правильная то надо выделить у неё целую часть, разделив числитель на знаменатель или другим методом и представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Разложить многочлен знаменателя на множители.
В соответствии с множителями знаменателя правильную дробь представить в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами.
Найти коэффициенты простейших дробей одним из выше указанных способов.
Проинтегрировать многочлен (целую часть дроби) и простейшие дроби.
Пример 4. Найти
.
Решение. Под знаком интеграла дробь
неправильная. Запишем отдельно дробь.
В числителе выделим знаменатель и
почленно разделим.
=
=1-
.
Целая часть многочлена равна единице.
Полученную правильную дробь разложим
на простейшие.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.Приравняем
числители.
А(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)2=2.
Найдём коэффициенты методом произвольных значений х. Дадим значения переменной х равные -2; 1, получим: С=2/9, А=2/3, при х=0 получаем 2А-2В-С=2, 4/3-2В-2/9=2 отсюда В=4/9. Получаем:
=1-
.
Найдём окончательное выражение интеграла.
=
=x+
-
ln|x-1|-
-
ln|x+2|+C.