- •Курсовая работа
- •Содержание
- •Решение
- •59,7930038
- •4.1. Вычисление направляющих косинусов нормалей для первой главной площадки.
- •6.1. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •6.2. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.
- •9.2. Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок
- •Список литературы
Решение
Запись данных компонент в виде тензора напряжений
Подставив численные значения получим:
(МПа).
Вычисление инвариантов тензора напряжений I1, I2, I3.
Первый инвариант вычисляется по формуле:
(МПа)
Второй инвариант вычисляется по формуле
(МПа)
Третий инвариант вычисляется по формуле
(МПа)
Составление кубического уравнения и вычисление главных нормальных напряжений
Кубическое уравнение запишем в виде:
(1)
После подстановки значений инвариантов получим
Первый корень кубического уравнения определим, например, подбором делителя для свободного члена уравнения (1): ±1 ... ±10 ... и т.д.
σ' = 87,28223
Правильность подбора первого корня б' проверим его подстановкой в уравнение (1).
Второй и третий корень определим, применив, например, теорему БЕЗУ, согласно которой кубическое уравнение типа (1) делится без остатка на величину (σ - σ '), где σ ' - первый корень, определённый подбором.
Применение этой теоремы позволяет не производить упомянутого деления вообще, а коэффициенты нового (теперь уже - квадратного уравнения, полученного в результате такой операции, определяют в последовательности, показанной в таблице 2.
Таблица 2- Определение коэффициентов квадратного уравнения
Исходное (кубическое) уравнение | ||||
— |
a0=+1 |
a1=±(I1) |
a2=±(I2) |
Свободный член a3=±(I3) |
— |
1 |
-30 |
-12000 |
611000 |
Искомое (квадратное) уравнение: | ||||
Первый корень σ'=87,2822267 |
a0=b0=+1 |
b1= σ'· b0+a1 |
b2= σ'· b1+a2 |
b3= σ'· b2+a3=0 |
b0=+1 |
b1=87,2822267·1+ +(-30) |
b2 = 87,2822267* 57,2822267+ +(-12000) |
b3 = 87,2822267· · (-7000,279703) + +611000 | |
+1 |
57,2822267 |
-7000,279703 |
-6.546-7 |
При составлении квадратного уравнения на основании исходного (кубического) значения степени для "σ" кубического уравнения уменьшаются на единицу.
Второй и третий корни кубического уравнения (1) находим, решая квадратное уравнение.
Корни этого уравнения находятся по формуле
Вычисление корней квадратного уравнения
59,7930038
--117,0752305
Корни этого квадратного уравнения являются вторым и третьим корнем кубического уравнения.
С учетом известного соотношения σ1> σ2> σ3 найденным корням кубического уравнения присваивают соответствующие индексы "1", "2", "3".
σ1=87,2822267 (МПа);
σ2=59,7930038 (МПа);
σ3=-117,0752305
(МПа).
Выполним проверку найденных корней кубического уравнения
I1=87,2822267 +59,7930038 +(-117,0752305)=30 (МПа)
I2= - [87,2822267 ·59,7930038+59,7930038 ·(-117,0752305)+
( -117,0752305) ·87,2822267]=-[5218,866513-7000,279702+10218,58681] 12000= (МПа)
I3=87,2822267 ·59,7930038 ·(-117,0752305)=-611000 (МПа)
Вычисление направляющих косинусов нормалей к главным площадкам.
Аналитически направлявшие косинусы нормалей к главный площадкам с главными нормальными напряжениями σг (то есть σ1 или σ2 или σ3) определяют по формулам:
,
где ,,-направляющие косинусы нормалей к соответствующей главной площадке;
, . Значенияи вычисляют решая систему