6.2. Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.
Покажем, что первый инвариант девиатора напряжений равен нулю.
=
+
= 
+ 
Рисунок 1 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в произвольно ориентированной площадке на шаровой тензор и девиатор напряжений.
=
+
= 
+ 
Рисунок 2 - Разложение тензора напряжений, заданного компонентами в главных осях на шаровой тензор и девиатор напряжений.
Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.
x
Направляющие косинусы главных площадок:
первый a1′= +0,338; a2′= -0,348; a3′= +0,873;
α1′= 70,24°; α2′= 110,37°; α3′= 29,19°;
второй a1′′= -0,801; a2′′= -0,593; a3′′= +0,074;
α1′′= 143,52°; α2′′= 126.40°; α3′′= 85,75°;
третий a1′′′= -0,492; a2′′′= +0,725; a3′′′= +0,48;
α1′′′= 119,47°; α2′′′= 40,93°; α3′′′= 60,46°.
Рисунок 3 – Графическое изображение положения произвольно ориентированных площадок относительно главных осей.
Вычисление главных касательных напряжений.
Главные касательные напряжения действуют в площадках, наклоненных под углом 45° к главным осям, вдоль которых направлены главные нормальные напряжения. Определяются они как полуразность двух соответствующих главных нормальных напряжений
Подставив численные значения получим:
(МПа)
(МПа)
(МПа)
Выполним проверку из условия, что сумма главных касательных напряжений равна нулю:
0=0
Вычисление интенсивности напряжений для главных и произвольно ориентированных площадок.
Интенсивность нормальных σi и касательных τi напряжений определяется по формулам
Вычисление интенсивности напряжений для произвольно ориентированных площадок
9.2. Вычисление интенсивности напряжений для главных площадок
Вычисление значения нормального и касательного октаэдрических напряжений.
Октаэдрические нормальное σ0 и касательное τ0 напряжения действуют в площадках, равнонаклоненных к осям координат, и определяются по формулам
Подставив численные значения получим
(МПа)
Построение по вычисленным главным напряжениям σ1, σ2 и σ3. кругов Мора. Определение графически точку, соответствующую октаэдрической площадке. Сравнить результаты теоретического (аналитического) и графического решений, оценить погрешность.
Построение приведено на рисунке 4.
Точка Р, определенная графически, имеет значения:
σ0г=11 МПа; τ0г=91,5 МПа.
Аналитическое (теоретическое) значения октаэдрического напряжения составляет:
σ0=10 МПа; τ0=90,5 МПа.
Абсолютная погрешность составляет:
для нормальных октаэдрических напряжений
для касательных октаэдрических напряжений
Погрешность может быть связана с неточностями построения кругов Мора.
Определение с помощью кругов Мора графически значения нормального и касательного напряжений, действующих на площадке с направляющими косинусами:a1=0,5; a2=0,707; a3=0,5.
Построение приведено на рисунке 5.
Точка Р, определенная графически, имеет значения:
σп=22 МПа; τп=82,5 МПа.
Построение эллипсоида напряжений в главных осях.
Построение приведено на рисунке 6.
σ1=87,28МПа; σ2=59,79 МПа; σ3= -117,07 МПа.
σ1
σ2
σ3
1
3
2
Рисунок 6 – Эллипсоид напряжений.
Сводная таблица напряжений и направляющих косинусов.
|
Номер нижнего индекса |
1 |
2 |
3 | |
|
Инварианты I, МПа |
30 |
12000 |
-61100 | |
|
Главные нормальные напряжения σ, МПа |
87,2822267 |
59,7930038 |
-117,0752305 | |
|
Направляющие косинусы | ||||
|
a′ |
+0,338941107 |
-0,34839599 |
+0,873984064 | |
|
a′, град |
70,24 |
110,37 |
29,19 | |
|
a′′ |
-0,804107 |
-0,5934767 |
+0,074338 | |
|
a′′, град |
143,52 |
126,40 |
85,75 | |
|
a′′′ |
-0,492962 |
+0,755435 |
+0,480182355 | |
|
a′′′, град |
119,47 |
40,93 |
60,46 | |
|
Гидростатическое давление p, МПа |
-10 | |||
|
Главные касательные напряжения τ, МПа |
τ12=13,74461145 |
τ23=88,43411715 |
τ31=-102,178728 | |
|
Интенсивность напряжений | ||||
|
для произвольно ориентированных площадок, МПа |
σi=192,0937272 |
τi=110,9053651 | ||
|
для главных площадок, МПа |
σi=192,0937272 |
τi=110,9053651 | ||
|
Октаэдрическое напряжение | ||||
|
МПа |
σ0=10 |
τ0=90,55385138 | ||