matan

что совпадает с (4.14). Теорема доказана.

Ниже вычислены два важных интеграла, применяя метод замены переменной.

1. ∫	a	2dx	2 , x <a, a>0.
		− x

Введем новую переменную t = ax . Так как x=at и dx=adt, то с учетом (4.14) имеем

∫	a	2dx	2 = ∫	a	2adt	2	t	2 = ∫	dt	2 = arcsin t + C.
		− x			−a				1 − t

Переходя в последнем к переменной х, окончательно получим

∫	dx	x		(4.17).
	a 2 − x2	= arcsin a	+ C

2. ∫a 2 dx+ x2

Введя новую переменную t = ax и учитывая (4.14), имеем

∫a 2 dx+ x2 = ∫a 2 adt+a 2t 2 = a1 ∫1 +dtt 2 = a1 arctg t+C.

Переходя в последнем к переменной х, получим

∫a 2 dx+ x2 = a1 arctg ax + C. (4.18)

4.4.Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении некоторых важных интегралов

Теорема 4.2. Пусть функции U(x) и V(x) дифференцируемы на множестве {x} и на этом множестве существует первообразная для

функции V(x) U'(x), т.е. существует ∫U(x) V'(x)dx,	при чем справедлива
формула
∫U(x) V'(x)dx = U(x) V(x) − ∫V(x) U'(x),
или	(4.19)

∫U(x)dV(x) = U(x) V(x) − ∫V(x)dU(x).

121

Доказательство. По правилу дифференцирования от произведения двух функций имеем

(U(x) V(x))'=U(x) V'(x)+U'(x) V(x).	(4.20)
Возьмем интеграл от обеих частей (4.20)
∫(U(x) V(x))'dx = ∫U(x)V'(x)dx + ∫U'(x)V(x)dx.	(4.21)
или с учетом (U(x) V'(x))'dx=d(U(x)V(x)) и (4.3)
U(x) V(x)= ∫U(x) V'(x)dx + ∫U'(x) V(x)dx.
Так как по условию теоремы существует ∫V(x) U'(x)dx ,	то существует и
∫U(x)V'(x)dx и он равен
∫U(x) V'(x)dx = U(x) V(x) − ∫U'(x) V(x)dx
или	(4.22)
∫U(x)dV(x) = U(x) V(x) − ∫V(x)dU(x),

что совпадает с (4.19). Теорема доказана.

Отметим, что метод интегрирования по частям (см.(4.22)) удобно применить в основном в следующих трех случаях:

а) подынтегральные функции содержат в качестве множителя одну из функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и т.д. При интегрировании по частям за функцию U(x) нужно брать одну из указанных функций.

б) подынтегральные функции имеют вид:

(ax+b)n cos kx, (ax+b)n sin kx,(ax+b)n ekx,

где a,b,k- некоторые постоянные, n- произвольное положительное целое число. Формулу (4.22) нужно применить n-кратно, взяв каждый раз в качестве функции U(x) функцию ax+b в соответствующей степени. После каждого интегрирования по частям степень ax+b будет понижаться на единицу.

в) подынтегральные функции имеют вид:

eaxcos bx, eaxsin bx, sin (ln x), cos (ln x) и т.д.,

122

где a, b- некоторые постоянные. Обозначая каждый из интегралов

∫eax cos bxdx, ∫eax sin bxdx, ∫sin(ln x)dx, ∫cos(ln x)dx через I и произведя

двукратное интегрирование по частям, получим для определения I уравнение первой степени.

Указанные выше случаи не ограничивают возможности применения метода интегрирования по частям и при вычислении других интегралов.

Ниже методом интегрирования по частям получим некоторые важные формулы, которые часто используют при вычислении многих интегралов.

1. ∫	a 2 − x2 dx, x ≤ a, a>0.
Пусть U(x)=				и dV(x)=dx. Тогда
		a 2	− b2
dU(x) = −	2xdx = −		xdx		, V(x) = x и согласно (4.22) и (4.17) имеем
2 a 2 − x2			a 2 − x2
	∫ a 2 − x2 dx = x a 2 − x2 + ∫						x22dx 2 =
							a	− x
	x a 2 − x2 − ∫ a 22− x22 dx +a 2						∫	a	2dx	2 =
					a	− x			− x
	= x		a 2 − x2		− ∫	a 2 − x2 dx +a 2 arcsin x				+ C.
									a

Или перенеся второй член правой части налево и приведя подобные члены получим

∫

a 2

− x2 dx =

x a 2

− x2

+

a 2

arcsin

x

+ C.

(4.23)

a

2

2

2. ∫ x2 ±a 2 dx, x > a, a>0.

Пусть U(x)=

x2 ±a 2

и dV(x)=dx. Тогда dU(x)=

xdx

, V(x) = x и

согласно (4.22) имеем

x2 ±a 2

∫ x2 ±a 2 dx = x x2 ±a 2 − ∫

x22dx 2

= x x2 ±a 2 −

x

±a

(4.24)

x2

±a 2 ma

2

dx

−∫

2

±a

2

− ∫

x

2

±a

2

dx ±a

2

∫

2 ,

x

2

±a

2

dx = x x

x

2

±a

где, как покажем далее (см. пункт 4.8),

123

∫	dx	= ln x + x2 ±a 2 + C.	(4.25)
	x2 ±a 2

Перенеся второй член правой части (4.24) влево и приведя подобные члены, получим

2 2 2

∫ x2 ±a 2 dx = 2 ± 2 ln x + x2 ±a 2 + C. (4.26)

3.Получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла

∫(x2 dx+a 2 )n , n=1,2,3,...,а=const.ax x ±a

Для этого вычислим ∫		dx		интегрированием по частям.
	(x2	+a 2 )	n −1

Пусть U(x) =

1

и dV(x)=dx.

(x2 +a 2 )n −1

Тогда, так как dU(x) = −

2(n −1)

dx, V(x) = x,

(x2

+a 2 )n

∫

dx

=

x

+2(n

(x2

+a 2 )

n −1

(x2 +a 2 )

n −1

=

x

+

2(n

−1)∫

x2 +a 2

dx −

(x2 +a 2 )

n −1

(x2 +a 2 )

n

=

x

+2(n −1)∫

dx

−

(x2 +a 2 )

n −1

(x2 +a 2 )

n −1

то согласно (4.22) имеем

−1)∫	x2dx		=
	(x2 +a 2 )	n

2(n −1)a 2 ∫(x2 dx+a 2 )n = 2(n −1)a 2 ∫(x2 +dxa 2 )n .

Или

			dx							1						x							dx
∫							=													+(2n −3)∫								(4.24)
	(x	2	+a	2	)	n		2a	2	(		)		(x	2	+a	2	)	n −1		(x	2	+a	2	)	n −1
											n −1
	4.		Вычислим									∫ex sin xdx								двукратным				применением метода

интегрирования по частям.

Пусть U(x)=ex и sin xdx=dV(x). Тогда так как dU(x)=exdx и V(x)=- cos x, то по формуле (4.22) имеем

∫ex sin xdx = −ex cos x + ∫ex cos xdx.

(4.25)

124

Применяя еще раз метод интегрирования по частям для вычисления ∫ex cos xdx, взяв U(x)=ex и cos xdx=dV(x), придем к выражению

∫ex sin xdx = −ex cos x +ex sin x − ∫ex sin xdx.

(4.26)

Перенеся последний член правой части (4.26) влево и решая полученное уравнение относительно ∫ex sin xdx, окончательно получим

∫ex sin xdx =	ex (sin x −cos x)			+ C.	(4.27)
2
Аналогично можно получить и формулу
∫ex cos xdx =		ex (sin x +cos x)		+ C.	(4.28)
2

5. Интерферированием по частям можно получить и рекуррентные формулы для вычисления неопределенных интегралов от некоторых

тригонометрических функций.
Рассмотрим, например, ∫sin n xdx, где n- целое	положительное

число. Предположим, что U(x)=sinn-1x и dV(x)=sin xdx. Тогда dU(x)=(n- )sinn-2x cos xdx, V(x)=-cos x и

∫sin n xdx = −cos x sin n −1 x +(n −1)∫cos2 x sin n −2 xdx =

= −cos x sin n −1 x +(n −1)∫sin n −2 xdx −(n −1)∫sin n xdx.

(4.29)

Решая

полученное

уравнение

относительно ∫sin n xdx , перенеся

последний член правой части (4.29) налево, получим

∫sin n xdx = −

1

cos x sin n −1 x +

n −1

∫sin n −2 xdx.

(4.30)

n

n

Аналогично можно получить и следующие рекуррентные формулы

∫cosn xdx =

1

sin x cosn −1 x +

n −1

∫cosn −2 xdx, n>0- целое,

n

n −2

n

∫

dx

=

1

sin x

+

∫

dx

, n>0- целое,

(4.31)

cos

n

x

n −1 cos

n −1

x

n −1

cos

n −2

x

∫

dx

= −

1

cos x

+

n −

2

∫

dx

, n>0- целое

(4.32)

sin

n

x

n

−1 sin

n −1

x

n −1

sin

n −2

x

125

4.5. Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа

Определение 4.3. Рациональной дробью называется отношение

	двух алгебраических многочленов Pn(x) и Qm(x)		Pn (x)		с
		Qm (x)

действительными коэффициентами, где многочлен Pn(x) степени n, а многочлен Qm(x)- степени m, т.е.

Pn(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0,

Qm(x)=bmxm+bm-1xm-1+...+b1x+b0.

Определение 4.4. Рациональная дробь	Pn (x)	называется
	Qm (x)

правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе меньше

	степени многочлена, стоящего в знаменателе (n m) (например,				x	).
				x2	+1
	Определение 4.5. Рациональная дробь	Pn (x)	называется
		Qm (x)

неправильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, больше или равна степени многочлена, стоящего в знаменателе(n≥m) (например,

		x2	или	x3 +1			).
		x2 +2
				x +1
			Таким			образом, при интегрировании дробно-рациональных
						Pn (x)			мы столкнемся со случаями:
	функций			∫				dx
					Qm (x)

1). n≥m

Pn (x) −неправильная рациональная дробь.

Qm (x)

2). n<m

Pn (x) −правильная рациональная дробь.

Qm (x)

Оказывается, первый случай сводится ко второму простым делением многочлена степени n на многочлен степени m с использованием известного правила алгебры

Pn (x)	=целая часть +	о с тато к		(4.33)
			.
Qm (x)		делитель

126

Например, пусть

P (x)

=

x4 − x3 +1

, тогда деля числитель на

n

Qm (x)

x2 + x +2

знаменатель столбиком имеем

x4

-x3 +1

x2 +x+2

x4

+x 3+2x

2

x2 -2x

-2x3 -2x2 +1 -2x3 -2x2 -4x

4x+1

Итак, согласно (4.33)

x4 − x3 +1		= x	2	−2x	+	4x	+1	,
x2 + x +2						x2 + x +2

	т.е. неправильную рациональную дробь	x4	− x3 +1		представили в виде
		x2	+ x +2

суммы многочлена второй степени x2-2x(что просто интегрировать) и

	правильной рациональной дроби	4x +1	(см. также пункт 4.9
		x2 + x +2

настоящего раздела).

Таким образом, приходим к выводу, что нам необходимо знакомиться с методами интегрирования правильных рациональных дробей.

Заметим, что правильные рациональные дроби в основном интегрируются методом неопределенных коэффициентов Лагранжа, на основании следующей теоремы.

	Теорема 4.3. Пусть	Pn (x)	правильная рациональная дробь с
		Qm (x)

действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

Qm(x)=(x −a1 )α1 (x −a 2 )α2 ...(x −a k )αk (x2 + p1x +q1 )β1 (x2 + p2 x +q 2 )β2 ...

(x2 + pl x + ql )βl ,

(4.34)

где квадратные трехчлены x2+p1x+q1,...,x2+pℓx+qℓ имеют комплексные корни.

Тогда для этой дроби справедливо разложение на сумму правильных простейших рациональных дробей в виде:

127

P

(x)

A (1)

A 2 (1)

A

(1)

A (k )

A

(k )

n

=

1

+

+... +

α1

+... +

1

+

2

+... +

Q

(x)

x − a

(x − a )2

(x − a )α1

x − a

(x − a

)2

m

k

k

(4.35)

1

1

1

A

(k )

C

(1) x + D

(1)

C (1) x + D

(1)

Cβ

(1) x + Dβ

(1)

1

+

αk

+

1

1

+

2

2

+

... +

1

+... +

(x − a

k

)αk

x2

+ p x + q

(x

2 + p x + q )2

(x

2

+ p x

+ q

)β1

1

1

1

1

1

1

+

C

(l) x +D (l)

+

C (l) x +D (l)

+...+

Cβ

(l) x +Dβ

(l)

1

1

2

2

l

l

,

x2 + plx +ql

(x2 + plx +ql)2

(x2 + plx +ql)βl

где

A1(1),...,

Aα (k) ,C1(1) ,...,Cβ

(l) ,D1(1) ,...,Dβ

(l)

−

пока

неизвестные

k

l

l

действительные постоянные, часть из которых могут быть нули, а α1,..., αk, β1,...,βℓ - целые положительные числа.

Ниже, основываясь на теорему 4.3, на простейшем примере покажем, как можно разложить неправильную рациональную дробь на сумму правильных простых рациональных дробей и как можно найти неопределенные коэффициенты Лагранжа(подробнее см. пункт 4.9. настоящего раздела).

Итак, пусть имеем

P1 (x)	=		x	,
Q3 (x)		(x −1)	x2 + x +1
	(		)

где квадратный трехчлен x2+x+1 имеет комплексные корни. Согласно(4.35) имеем

x

=

A

+

Bx + D

,

(4.36)

(

)

2

x −1

2 +

+

(x −1)

x

+ x +1

x

x

1

где A, B, D- пока неопределенные действительные коэффициенты Лагранжа. Для их нахождения приведем правую часть разложения (4.36) к общему знаменателю. После некоторых преобразований получим

x			(A + B)x2 +	(	A	− B + D x	+ A − D
		=				)		. (4.37)
(x −1) x2	+ x +1		(x −1)			x2 + x +1
(	)				(	)

Как видно из(4.37), у равных правильных рациональных дробей знаменатели одинаковые, откуда следует, что и числители должны быть одинаковыми, т.е.

x=(A+B)x2+(A-B+D)x+A-D

или

0 x2+1 x+0 x0=(A+B)x2+(A-B+D)x+(A-D)x0.

128

Как известно из алгебры, постеднее равенство удовлетворяется для произвольного х, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева, т.е. если

x2 A + B = 0,

xA − B + D =1,

x0 A − D = 0.

Решая полученную систему линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов А, В, D, получим

A = 13 , D = 13 , B = −13 .

Тогда(4.36) перепишется в виде

x		1	1			1		x −1
	=				−				.
(x −1)(x2 + x +1)		3		x −1		3		x2 + x +1

Таким образом, согласно теореме 4.3, вопрос интегрирования правильных рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших правильных дробей следующих видов:

1.		A		2.		A		(4.38)
		x −a				(x −a)α
3.		Bx + D		4.		Bx + D		,
	x2 + px +q				(x2 + px +q)β

где A, B, D- действительные постоянные, α и β- целые положительные числа (α≠1, β≠1), а квадратный трехчлен x2+px+q не имеет действительных корней(p2-4q<0).

Заметим, что ∫xAdx−a и ∫(xAdx−a)α вычисляются непосредственно по формулам(4.8), т.е.

∫

A

dx = A∫

d(x −a)

= A ln

x −a

+ C,

x −a

x −a

(x − a)1−α

∫

Adx

= A∫(x − a)−α d(x − a)= A

+C.

(4.39)

(x − a)

α

1 −α

129

Bx + D

Теперь займемся вычислением ∫x2 + px +q dx.

Выделяя полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции и

введя новую

переменную

по

формуле

t = x +

p

x = t −

p

,dx = dt

и

2

2

учитывая(4.8) и (4.18), получим

Bx + D

(

Bx + D dx

∫

dx = ∫

)

=

x

2

+ px +q

p 2

p2

2

x +

+

q −

2

4

Bp

Bt +

D −

tdt

Bp

dt

∫

2

∫

2

2

=

2

dt

+

∫

=

p2

= B

p2

D −

2

p2

2

2

2

t

+

q −

t

+

q

−

t

+

q −

4

4

4

p

2

2

d t 2

+

q −

B

4

Bp

dt

B 2

p2

∫

∫

2

=

2

+

=

ln t

+q −

+

D −

2

2

p2

2

2

p2

2

4

t

+

q −

t

+

q −

4

4

Bp

1

arctg

t

+ C.

+ D −

2

q −

p

2

q −

p

2

(4.40)

4

4

Далее переходя к переменной х в (4.40), окончательно имеем

Bx + D

B

(

2

)

Bp

dx =

ln

x

+ px +q

+ D

−

∫x2 + px +q

2

2

1

x +

p

(4.41)

p2

arctg

2

+ C.

q −

q −

p2

4

4

Аналогично

вычисляя

∫

Bx + D

dx ,

мы

переходим

к

(x2 + px +q)

β

выражению:

Bx + D

β

1

∫

dx

= −

+

( x 2 + px + q) β

2(β −1)

(x 2 + px + q )β −1

p

Bp

d x

+

(4.42)

2

∫

+ C ,

+

D −

β

2

p

2

p

2

2

x +

+

q −

2

4

130