matan

Последнее, по определению 2.1 означает, что y′=f′(x)=A.

Достаточность.

Дано: конечная y′=f′(x). (2.9)

Доказать: ∆у=А ∆х+α(∆х) ∆х. (2.10)

Из (2.9) с учетом (1.36) имеем

∆∆yx − f' (x)= α(∆x) или ∆y=f′(x) ∆x+α(∆x) ∆x, (2.11)

где α(∆х)→0 при ∆х→0.

Если теперь постоянную величину f′(x) обозначить через А, то (2.11) перепишется в виде

∆y=A ∆x+α(∆x) ∆x,

что и доказывает дифференцируемость функции y=f(x).

Теорема 2.3. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Дано: f(x) C′(x).		(2.12)
Доказать: f(x) C(x)		(2.13)
Из (2.12) следует, что
	∆y=f′(x) ∆x+α(∆x) ∆x.
Но когда lim ∆y = lim[f' (x) ∆x + α(∆x) ∆x]= 0 .		В силу разностной формы
∆x→0	∆x→0

условия непрерывности (см. определение 1.34) функция y=f(x) непрерывна в точке х.

Отметим, что обратное утверждение, не имеет места, т.е. непрерывная в точке х функция не обязательно является дифференцируемой в этой точке. Для примера, рассмотрим функцию у=|x|, график которой приведен на рисунке 2.2.

51

y

y=|x|

0

x

Рис. 2.2.
Поскольку ∆у=|x+∆x|-|x|≤|x+∆x-x|=|∆x| и	lim ∆y = 0 , то функция
	∆x→0

y=|x| непрерывна в любой точке x (-∞;+∞). Покажем, что эта функция в точке х=0 не имеет производной. Действительно, так как

∆y

0

+ ∆x

−

0

∆x

1,

если ∆х>0

=

=

=

если ∆х<0

∆x

∆x

∆x

−1,

то

lim

∆y

1,

∆

х>0

=

если

∆x→0

∆x

-1,

если ∆х<0

и правосторонняя производная функции в точке х=0 отлична от левосторонней производной, т.е. функция y=|x| в точке х=0 не имеет конечной производной. В остальных точках конечная производная функции y=|x| существует и равна

1, x > 0 x ' = sgn x =

-1, x < 0

Теперь перейдем к определению понятия дифференциала функции y=f(x). предполагая, что y=f(x) C′(x), на основании теоремы 2.2 имеем

∆y=f′(x) ∆x+α(∆x) ∆x. (2.14)

Пусть f′(x)≠0, т.е. первое слагаемое в (2.14) является главной линейной относительно ∆х частью приращения дифференцируемой функции.

Определение 2.4. При f′(x)≠0 дифференциалом функции у=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента ∆х, называется главная линейная относительно ∆х часть приращения ∆у в точке х и

52

обозначается так: dy=f′(x) ∆x. При f′(x)=0 по договоренности считается,

что dy=0.

Заметим, что если взять функцию у=х, то dy=dx=x′ ∆x=∆x (x′=1), т.е. dx=∆x. С учетом этого, имеем

dy=f′(x)dx или f′(x)=	dy	.	(2.15)
	dx

Для выяснения геометрического смысла дифференциала функции y=f(x) первого порядка, обратимся еще раз к рисунку 2.1. Как нетрудно заметить, ∆y=AN, а f′(x)∆x=dy=MN. Отсюда следует, что величины AN и MN различны, ибо если ∆у есть приращение ординаты кривой в точке х, то dy есть приращение ординаты касательной к кривой в точке х.

2.4. Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями

Теорема 2.4. Если функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке х0, то их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y2(x0)=f2(x0)≠0) также имеют производные в точке х0, причем

а)

(y1

± y2 )'

x=x0

= f1' (x0 )± f2' (x0 ),

б)

(y1

y2 )'

= f1' (x0 ) f2 (x0 )+ f1 (x0 ) f2' (x0 ),

x=x0

в)

y

|

f1'

(x0 ) f2 (x

0 )− f1 (x0 ) f2' (x0 )

.

1

=

f22 (x0 )

y2

x=x0

Приведем доказательство этой теоремы, ограничиваясь

рассмотрением пункта а).

Итак:

= f1| (x0 ),

= f2| (x0 ).

Дано: y1|

x=x0

y2|

x=x0

Доказать: (y1

± y2 )'

x=x0

= f1' (x0 )± f2' (x0 ).

Очевидно, что ∆(y1±y2)=f1(x0+∆x)±f2(x0+∆x)-[f1(x0) ±f2(x0)]=

=[f1(x0+∆x)-f1(x0)] ±[f2(x0+∆x)-f2(x0)]=∆y1±∆y2.

Тогда, если ∆х≠0, то

∆(y1 ± y2 )

=

∆y

±

∆y

2 .

(2.17)

1

∆x

∆x

∆x

В (2.17) перейдем к пределу при ∆х→0. Так как по условию

теоремы существует

lim

∆y1

= f1|

(x0 )

и lim

∆y2 = f2|

(x0 ), то существует

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

53

предел правой части (2.17) и равен f1|(x0)± f2|(x0). Тогда существует и предел левой части (2.17) и равен

	lim	∆(y1 ± y2 )	= (y1 ± y2 )|		= f1| (x0 )± f2| (x0 ).
		∆x
	∆x→0				x=x0

Аналогично можно доказать и остальные пункты теоремы.

2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции

Правила вычисления производных некоторых элементарных функций можно получить непосредственно из определения производной (см. определение 2.1). Покажем это, например, для функции y=sinx. Имеем

∆y=sin(x+∆x)-sinx=2sin ∆2x cos(x+ ∆2x ).

Отсюда, при ∆х≠0, следует

	∆y		sin ∆x		∆x
			2
		=		cos x +	.
	∆x		∆x
					2
			2

Если в последнем перейти к пределу при ∆х→0 с учетом первого замечательного предела (см. (1.37)) и непрерывности функции cosx, то получим

		∆y		sin ∆x			∆x
			= (sin x)' = lim	2				= cos x .
	lim				lim cos x +
		∆x		∆x
	∆x→0		∆x→0		∆x→0		2

2

Итак: (sin x)|=cos x.

Аналогично доказывается, что (cos x)| = - sin x.

Чтобы

вычислить

производную. функции

y=tgx=

sin x

,

cos x

воспользуемся пунктом б) теоремы 2.4. Имеем

(tgx)

|

sin x |

=

cos2

x − sin x (−sin x)

=

1

.

=

cos2 x

cos2 x

cos x

54

Аналогично

cos x			|	1
(ctgx)' =			= −			.
				sin 2	x
sin x

Прежде чем перейти к получению правил дифференцирования других элементарных функций, приведем теорему о производной обратной функции без доказательства.

Теорема 2.5. Если функция y=f(x) определена, непрерывна и

строго монотонна в некоторой окрестности точки х0 и в этой точке
существует производная y'		x=x0	= f' (x0 )≠ 0 , то и обратная функция x=f-1(y)
имеет производную в точке y0=f(x0), причем
[f −1 (y0 )]|			=	1	.	(2.18)
				f' (x0 )

С помощью теоремы 2.5., например, можно получить производную функции y=arcsin x, где -1<x<1 и - π2 <y< π2 , обратную для x

= siny.

Итак имеем,

y' = (arcsin x)' =		1	=	1	=	1			=	1		.
		sin y '		cos y			2
	(	)				1 − sin		y		1 − x	2

Здесь уместно заметить, что все правила дифференцирования элементарных функций, которые получаются одним из выше приведенных методов, оказываются инвариантными относительно аргументов. Например,

d sin f(x)		= cos f(x),						(2.19)
df(x)
dtgf(x)	=			1			,	(2.20)
df(x)			cos2 f(x)
d arcsin f(x)				=		1		. (2.21)
df(x)						1 − f 2 (x)

Ниже приведем правила дифференцирования элементарных функций с учетов инвариантности этих правил относительно аргумента.

55

df α (x)

= α f α−1 (x), (α=const),

df(x)

da f (x)

f

(x)

(0<a≠1),

= a

ln a

df(x)

def (x)

f (x)

,

= e

df(x)

d loga f(x)

1

loga e (f(x)>0, 0<a≠1),

=

df(x)

f(x)

d ln f(x)

1

,

=

df(x)

f(x)

d cos f(x)

= −sin f(x),

df(x)

dctgf(x)

= −

1

,

df(x)

sin 2 f(x)

d arccos f(x)

1

= −

1 − f 2 (x) (|f(x)|<1),

df(x)

darctgf(x)

=

1

,

df(x)

1 + f 2 (x)

darcctgf(x)

= −

1

,

df(x)

1 + f 2 (x)

dshf(x)

= chf(x) ,

df(x)

dchf(x)

= shf(x),

df(x)

dthf(x)

=

1

,

df(x)

ch 2f(x)

dcthf(x)

1

(f(x)≠0).

= −

df(x)

sh 2f(x)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Отметим, что гиперболические синус (shf(x)), косинус (chf(x)),

тангенс (thf(x)) и катангенс (cthf(x)), входящие в (2.32)-(2.35)

определяются формулами:

shf(x)=	ef (x) −e−f (x)			,	chf(x)=	ef (x) +e−f (x)			,
2					2
thf(x)=		shf(x)		,	cthf(x)=		chf(x)	.
		chf(x)
							shf(x)

2.6. Правило дифференцирования сложной функции.

56

Инвариантность формы первого дифференциала

Теорема 2.6. Пусть задана сложная функция y=f[ϕ(t)], где х=ϕ(t) дифференцируема в точке t0, а y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке х0=ϕ(t0). Тогда сложная функция f[ϕ(t)] дифференцируема в точке t0, причем

df[ϕ(t)]			=	df(x)					dϕ(t)		(2.36)
dt				dx					dt
		t =t0					x=x0				t =t0

Заметим, что для доказательства этой теоремы нужно пользоваться определением производной функции (см. определение 2.1).

Приведем примеры. 1. y=ln(cos(ex)).

Найти производную заданной сложной функции по х. dydx = cos1ex (−sin ex ) ex = −tgex ex .

2. y=arctg(x2+1)

Найти производную заданной сложной функции по х.

dy	=					1				2x =	2x
					(			)	2		x4 +2x2 +2
dx							2
		1		+		x		+1

Теперь перейдем к вопросу инвариантности первого дифференциала. В пункте 2.3 было показно, что если х есть независимая переменная функции y=f(x), то dy=f′(x)dx. Покажем, что эта формула справедлива и в том случае, когда аргумент х является дифференцируемой функцией некоторой новой переменной t. Это свойство дифференциала называется инвариантностью его формы.

Итак, пусть дана функция y=f(x) C′(x) и x=ϕ(t) C′(t). Рассмотрим сложную функцию y=f[ϕ(t)]. Если рассматривать здесь t как независимую перемену, то по определению дифференциала функции

dy={ f[ϕ(t)]}′dt.

(2.37)

Аналогично этому

dx=ϕ′(t)dt (2.38)

57

Используя теорему 2.6 и учитывая (2.38) равенство (2.37) можно переписать в виде

dy=f′(x)dx (2.39)

Итак, в любом случае дифференциал функции y=f(x) может быть записан в форме dy= f′(x)dx, будет ли х независимой переменной или нет. Разница будет в том, что если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение ∆х, а дифференциал х как функции от t.

2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, заданных параметрически и в неявном виде

Пусть задана степенно-показательная функция y=U(x)V(x), где

U(x)>0 и U(x) C′(t), V(x) C′(t). Чтобы найти правило дифференцирования рассматриваемой функции, вычислим натуральный логарифм от у

ln y=V(x)lnU(x).

Далее имеем

(ln y)′=(V(x)lnU(x))′

или

y|

= V(x)' ln U(x)+

V(x) U' (x)

.

y

U(x)

Отсюда окончательно получаем

(

)

|

V(x)

y' =

U(x)V(x)

= U(x)V(x) V' (x)ln U(x)+

U' (x)

(2.40)

U(x)

Пример: y=xx. Найти y′. Согласно (2.40), имеем

y′=xx(lnx+1).

Пусть теперь функция y=f(x) задана в параметрическом виде

x=ϕ(t), y=ψ(t),

58

где ϕ(t) C′(t), ψ(t) C′(t).

Тогда имеем

y' =	dy	=	ψ' (t)dt		=	ψ' (t)			.	(2.41)
	dx		ϕ'	t dt		ϕ'	t	)
				( )			(

Пример: y=sint, x=cost. Найти y′.

Согласно (2.41) имеем

	y' =	dy	=	(sin t)'	=	cost	= −ctgt .
		dx		(cos t)'		−sin t

В заключение рассмотрим случай функции y=f(x) заданной в неявном виде

F(x,y)=0. (2.42)

Для нахождения y' = dydx в этом случае нужно обе части уравнения

(2.42) продифференцировать по х и найти y′ из полученного уравнения.

Пример: x2 + y2 −1 = 0 . Найти y′.

4 9

Согласно сказанному выше имеем:

y' = −	2x 9	= −	9x	.	(2.43)
	4 2y
			4y

2.8. Производные и дифференциалы высших порядков

Определение 2.5. Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b) и дифференцируема в точке x0 (a,b). Если существует производная функции f′(x) в точке х0, то она называется второй производной

функции f(x) в точке х0 и обозначается символом f′′(x0) или d 2f(x) . dx2

x=x0

Итак согласно этому определению имеем

59

f'' (x0 )=	d 2f(x)			= [f' (x)]	|		= (y' (x0 ))	|	= y'' (x0 ) (2.44)
	dx	2
				x=x0			x=x0

Аналогично определяется производная y(n)(x0) любого порядка. Т.е. если в точке х0 (a,b) существует производная функции y(n-1)(x0), то она называется производной функции y(x) порядка n в точке x0. При этом

(n )

(n −1)

|

(n )

d n f(x)

y

(x0 )= [y(x)

]

= f

(x0 )=

(2.45)

x=x0

dx

n

x=x0

Заметим, что под производной нулевого порядка нужно понимать саму функцию (y(0)=y).

Определение 2.6. Функция y=f(x) называется n раз дифференцируемой на множестве {x}, если на этом множестве {x} она имеет производные до порядка n, включительно.

Ниже сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении производной n-го порядка от произведения и суммы двух функций, имеющих большое прикладное значение.

Теорема 2.7. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) определены в некоторой окрестности точки х0, имеют производные порядка n в точке x0. Тогда функции y1+y2=f1(x)+f2(x) и y1y2=f1(x)f2(x) также имеют производные порядка n в точке х0, причем

(y1 + y2 )(n ) = y1(n ) + y2(n )	= f1(n ) (x)+ f2(n ) (x),	(2.46)
(y1 y2 )(n ) = (f1 (x) f2 (x))(n )	n
	= ∑Cni f1(n −i) (x) f2(i) (x)	(2.47)

i=0

где Cin означает число сочетаний из n элементов по i и определяется формулой

i	=	n !		(2.48)
Cn
		i! (n − i)!

Отметим, что формулу (2.47), которая называется формулой Лейбница, с учетом (2.48) можно переписать в виде

60