matan

n	n	n	n
S − s = ∑M i ∆xi − ∑m i ∆xi = ∑(M i − m i )∆xi = ∑ωi ∆xi .
i=1	i=1	i=1	i=1

Поскольку ωi ≥ 0 и ∆х>0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, условие (5.10) можно переписать в виде:

n
∑ωi ∆xi ≤ ε	(5.11)

i=1

Теорема 5.2. Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она интегрируема на этом сегменте.

Теорема 5.3. Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [a,b] и если для произвольного ε>0 можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва первого рода этой функции и имеющих общую сумму длин меньше ε, то функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b].

Теорема 5.4. Монотонная на сегменте [a,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Доказательство. Теорему докажем для случая монотонно неубывающей функции f(x) (xi ≥ xi-1 f(xi) ≥ f(xi-1)) в предположении, что f(b)≠f(a) (в случае f(b)=f(a) справедливость теоремы очевидна, так как удовлетворяется достаточное условие интегрируемости (см. (5.10)).

Очевидно, что монотонная функция f(x) ограничена на [a,b], так

как ее значения заключены между f(a) и f(b) (f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)).

Возьмем произвольное

положительное число ε>0

и

разобьем

сегменты [a,b] на равные части, длины которых меньше

ε

, т.е.

f

b

)

− f a

)

(

(

∆xi<

ε

.

(5.12)

f

b

)

− f a

)

(

(

Для этого разбиения оценим разность

n

S − s = ∑ωi ∆xi

i=1

сучетом того, что для неубывающей монотонной функции f(x) на сегменте [a,b] имеем

n
∑ωi =ω1+ω2+...+ωn=(M1-m1)+(M2-m2)+...+(Mn-mn)=f(b)-f(a).	(5.13)

i=1

151

Нетрудно заметить, что согласно (5.12) и (5.13) имеем оценку

n

S − s = ∑ωi ∆xi <ε

i=1

Теорема доказана.

Ниже приведем некоторые основные свойства определенного интеграла без доказательств.

1. Определенный интеграл от интегрируемой функции f(x) в пределах от а до а равен нулю, т.е.

a
∫f(x)dx = 0 .	(5.14)

a

2. При перестановки пределов интегрирования в определенном интеграле знак интеграла меняется на обратное, т.е. если a<b и f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то

b	b
∫f(x)dx = −∫f(x)dx .		(5.15)

aa

3.Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b], то функции f(x) + ϕ(х) и f(x) - ϕ(х) также интегрируемы на сегменте [a,b] и

b	b	b
∫[f(x)± ϕ(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫ϕ(x)dx .			(5.16)
a	a	a

4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то c f(x), где с=const, также интегрируема на сегменте [a,b] и

b	b
∫c f(x)dx = c ∫f(x)dx .		(5.17)
a	a
5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то она
интегрируема на любом	другом сегменте	[c,d], содержащемся в
сегменте [a,b].

6. Если функция f(x) интегрируема на сегментах [a,c] и [c,b], то она интегрируема и на сегменте [a,b], причем

152

b	c	b
∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx .			(5.18)
a	a	c

7. Если интегрируемая на сегменте [a,b] функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл о этой функции в пределах от а до b также неотрицателен, т.е.

	b
f(x) ≥ 0	∫f(x)dx ≥ 0 .	(5.19)

a

8. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и f(x) ≥ m, где m=const, то

b
∫f(x)dx ≥ m(b −a).		(5.20)
a
9. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте [a,b] и f(x)
≥ ϕ(х) всюду на этом сегменте, то
b	b
∫f(x)dx ≥ ∫ϕ(x)dx .		(5.21)

aa

10.Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то |f(x)| также интегрируема на этом сегменте и справедливо неравенство

b	b
∫f(x)dx ≤ ∫			f(x)		dx .	(5.22)

aa

11.Если функции f(x) и ϕ(х)≥0 интегрируемы на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{ϕ(x)} на этом сегменте, то справедливы неравенства

b	b	b
m∫ϕ(x)dx ≤ ∫f(x) ϕ(x)dx ≤ M ∫ϕ(x)dx .			(5.23)
a	a	a

Теперь перейдем к получению формул среднего значения определенного интеграла.

Теорема 5.5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} являются точными гранями функции f(x) на этом сегменте, то найдется такое число µ, удовлетворяющего неравенству m ≤ µ ≤ M, что

153

	b
	∫f(x)dx = µ(b −a).						(5.24)
	a
	Доказательство. Если в (5.23) положить ϕ(х)=1, то получим
						b
			m(b-a)≤ ∫f(x)dx ≤M(b-a)
	или					a
				b
			1
	m ≤			∫f(x)dx ≤ M .			(5.25)
		b −a
				a
					1	b
	Полагая в (5.25)		µ =			∫f(x)dx ,	получим требуемое равенство
					b −a
						a

(5.24), которое представляет собой формулу среднего значения определенного интеграла.

Теорема 5.6. Если функции f(x) и ϕ(х) интегрируемы на сегменте

[a,b] и M=sup{f(x)}, m=inf{f(x)} и, кроме того, ϕ(х)≥0 (или ϕ(х)≤0) на всем сегменте [a,b], то найдется между m и М такое число µ, что

b	b
∫f(x)ϕ(x)dx = µ∫ϕ(x)dx .		(5.26)
a	a

В частности, если f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то на этом сегменте существует такое число ξ, что

b	b
∫f(x)ϕ(x)dx = f(ξ)∫ϕ(x)dx .		(5.27)
a	a

(5.27) представляет собой формулу среднего значения в обобщенной форме.

5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле НьютонаЛейбница

Определение 5.3. Пусть функция f(x) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а,b), и пусть с есть некоторая фиксированная точка этого интервала. Тогда для произвольного х (a,b)

154

функция f(x) интегрируема н сегменте [c,x]. Поэтому на интервале (a,b) определена функция

x
F(x)= ∫f(t)dt ,	(5.28)

c

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 5.7. Любая непрерывная на интервале (a,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразых является функция (5.28).

Доказательство. Достаточно доказать, что для фиксированного х из интервала (a,b) и для ∆х>0 существует

	lim	F(x + ∆x)− F(x)	= f(x) (т.е. F′(x)=f(x)).	(5.29)
		∆x
	∆x→0

В силу свойства 6 определенного интеграла (см. 5.18) с учетом

(5.28) имеем

		x+∆x	x	x
F(x + ∆x)− F(x)= ∫f(t)dt − ∫f(t)dt = ∫f					(t)dt +
		c	c	c	(5.30)
x+∆x	x	x+∆x
+ ∫f(t)dt − ∫f(t)dt = ∫f(x)dt
x	c	x
С другой стороны из (5.27) в случае ϕ(х)=1 имеем
			x+∆x
F(x + ∆x)− F(x)= f(ξ)			∫dt = f(ξ)∆x ,		(5.31)

x

где x<ξ<x+∆x (или ξ=х+θ∆х, 0<θ<1). (5.31) перепишем в виде

	F(x + ∆x)− F(x)	= f(ξ)	(5.32)
	∆x

и перейдем к пределу при ∆х→0 с учетом того, что функция f(x) непрерывна в точке ξ и справедливо

∆x→0

(

)

∆x→0

(

x +θ∆x

)

= f

(∆x→0(

x +θ∆x

))

= f

(

x

)

lim f

ξ

= lim f

lim

Имеем

155

	lim	F(x + ∆x)− F(x)	= F' (x)= lim f(ξ)= f(x),	(5.33)
		∆x
	∆x→0		∆x→0

что и требовалось доказать.

Теперь перейдем к получению формулы Ньютона-Лейбница для

b

вычисления определенного интеграла ∫f(x)dx , основываясь на теорему

a

(5.7).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b]. Обозначая через Ф(х) любую из первообразных этой функции на [a,b], согласно теореме (5.7) имеем

x
Ф(х)= ∫f(t)dt +c ,	(5.34)

a

где c=const.

Подставляя в (5.34) х=а и учитывая (5.14), получим

a
Ф(а)= ∫f(x)dx +c = c .	(5.35)
a
Если теперь подставим в (5.34) х=b, то получим
b	b
Ф(b)= ∫f(x)dx +c = ∫f(x)dx + Ф(а)
a	a
или
b
∫f(x)dx =Ф(b)-Ф(а),	(5.36)

a

что представляет собой и формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла. Принято (5.36) переписать и в другом виде:

b
∫f(x)dx = Ф(x)ab = Ф(b)− Ф(а).	(5.37)

a

Теорема 5.8. Если функции f(x) и ϕ(t) удовлетворяют следующим условиям:

1.функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b];

2.функция x=ϕ(t) определена на сегменте [α,β] и имеет непрерывную производную на этом сегменте;

3.ϕ(α)=a, ϕ(β)=b;

156

4.сегмент [a,b] является множеством значений функции ϕ(t), то справедлива формула

b	β
∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)]ϕ' (t)dt ,		(5.38)
a	α

которая называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.

В заключение этого раздела приведем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла

b		b
∫U(x)dV(x)= U(x) V(x)		ab − ∫V(x)dU(x).	(5.39)
a		a

5.5.Вычисление длин дуг плоских кривых

Вэтом пункте перейдем к рассмотрению вопроса о применении определенного интеграла для вычисления длины дуги плоской кривой.

Определение 5.4. Множество {M} всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), будем называть простой плоской кривой L, если различным значениям параметра t из сегмента [α,β] отвечают различные точки этого множества (кривая L не имеет точек самопересечения и участков самоналегания). При этом, если длина l кривой L конечное число, то кривая L называется спрямляемой.

1. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана параметрическии уравнениями x=ϕ(t), y=ψ(t), t [α,β] и ϕ′(t), ψ′(t) непрерывные функции. Можно доказать, что в этом случае длину l кривой L можно выразить по формуле

l = ∫β (x|t )2 +(y|t )2 dt = ∫β [ϕ' (t)]2 +[ψ' (t)]2 dt

(5.40)

αα

2.Пусть плоская спрямляемая кривая L задана уравнением y=f(x) на сегменте x [a,b] и пусть f′(x) непрерывна на этом сегменте (рис. 5.3).

157

y

y=f(x)

0

a

b

x

Рис. 5.3.

Тогда, как нетрудно заметить, можно считать, что кривая L задана параметрическими уравнениями вида

x(t)=t, y(t)=f(t),

(5.41)

причем

x′(t)=1, y′(t)=f′(t)=f′(x), t [a,b],

(5.42)

Подставляя (5.41) и (5.42) в (5.40), получим формулу для вычисления длины l кривой L в виде

b	b
l = ∫	1 +(y')2 dx = ∫ 1 +(f' (x))2 dx .	(5.43)
a	a

3. Пусть плоская спрямляемая кривая L задана в полярной системе координат полярным уравнением

ρ=ρ(θ), θ [θ1, θ2]

и пусть функция ρ′(θ) непрерывна на сегменте [θ1, θ2] (см. рис. 5.4).

158

y

ρ=ρ(θ)

θ2

θ1

0

p

x

Рис. 5.4.

Так как декартовые координаты x,y связаны с полярными координатами θ, ρ соотношениями:

x=ρ(θ)cosθ, y=ρ(θ)sinθ, (5.44)

то можно считать, что кривая L фактически задана следующими параметрическими уравнениями

x(θ)=ϕ(θ)=ρ(θ)cosθ, y(θ)=ψ(θ)=ρ(θ)sinθ. (5.55)

Подставляя (5.55) в (5.40) с учетом того, что

x′(θ)=ϕ′(θ)=ρ′(θ)cosθ-ρ(θ)sinθ, y′(θ)=ψ′(θ)=ρ′(θ)sinθ-ρ(θ)cosθ. (5.56)

после несложные преобразований получим формулу для вычисления длины в кривой l в полярной системе координат в виде

θ	(5.57)
l = ∫2 [ρ © (θ )]2 + [ρ (θ )]2 d θ

θ1

5.6.Вычисление площадей плоских фигур

Ниже покажем, как с помощью определенного интеграла можно вычислить площади плоских фигур (об этом уже было упомянуто в пункте 5.1).

159

Определение 5.5. Часть плоскости, ограниченной плоской спрямляемой замкнутой кривой L с нулевой площадью называется квадрируемой плоской фигурой, т.е. плоской фигурой имеющей конечную площадь.

Рассмотрим некоторые конкретные случаи квадрируемых фигур. 1. Квадрируемая фигура (криволинейная трапеция) ограничена

графиком непрерывной и неотрицательной функции y=y(x), заданная на сегменте [a,b], прямыми x=a и x=b и отрезком оси Ох между точками а и b (рис. 5.5)

y

y(x)

0

a

b

x

Рис. 5.5.

Тогда площадь этой криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определенного интеграла формулой (см. также пункт 5.1)

b
S = ∫y(x)dx	(5.58)

a

2. Квадрируемая фигура ограничена графиками непрерывных и неотрицательных функций y1=y1(x) и y2=y2(x) (y2(x)≥y1(x)) и прямыми x=a и x=b (рис. 5.6).

y

y2 (x)

y1 (x)

0

a

b

x

Рис. 5.6.

160