Т1 Предисловие и история

В работах по оптимальному управлению
этого периода наметилась тенденция к полной
математизации теории управления. Широкое
использование математических методов всегда
была присуща теории управления с самого
начала ее возникновения. Новый этап в данном
направлении был открыт работами Н. Винера, в
которых	были	предложены		методы
оптимального		синтеза	автоматических
устройств	на	основе	формального
математического аппарата (фильтр Винера). В
последующем математиками,			работающими в		Калман, Р.	– один из
области	теории	оптимального		управления,	основателей	современной
была поставлена более общая задача – создание					математической	теории

математической теории управления. Об этом управления. красноречиво говорит цитата из работы Р. Калмана92:

«Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с желаниями человека. Эта задача естественным образом распадается на две совершенно различные части:

1.Необходимо получить математическое описание динамических свойств физической системы, подлежащей управлению.

2.Необходимо найти «средство» достижения желаемого поведения объекта.

Первая из задач, по существу, есть задача моделирования.

Требуемая модель получается в результате физических экспериментов или с помощью известных физических законов. Построение конкретных моделей обычно относится к компетенции физиков и не входит в компетенцию ни специалистов по теории управления, ни даже по теории систем.

После того как модель объекта построена, можно переходить ко второй, чисто математической части задачи… вторая половина проблемы такова, что для ее решения требуется некоторый математический результат (теорема). Верно и обратное, каждое эффективное средство управления представляет собой некоторый математический результат.

Или еще в более категорической форме: теория управления не занимается исследованием реального мира, а лишь математическими моделями определенных аспектов реального мира. В связи с этим

92 Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М.

Арбиб. – М.: Мир, 1971. – C. 35–38.

31

аппарат, а также результаты теории управления являются математическими.

Эта история очень сильно напоминает историю превращения теории вероятностей в чисто математическую дисциплину …

Таким образом, наша задача чисто математическая.

Современные работы по теории управления обычно начинаются

словами:
	Пусть	объект		управления			описывается	обыкновенным
дифференциальным уравнением
					dx	f (t, x, u(t)),
					dt
где t R1 ,		x Rn ,	u(t) Rm , а			f : R1 Rn Rm Rn		- непрерывная

функция, которая по крайней мере является липшицевой по x … » и т. д.

Создание чисто математических теорий параллельно прикладным теориям отражает общие тенденции развития математики93. Однако, как это бывает в истории развития наук, энтузиазм по поводу создания новой науки - математической теории оптимального управления, иногда

превышал разумную меру. В этой связи можно привести цитату из работы П. Фалба94:

«Данная часть книги … посвящена проблемам оптимального управления. При этом мы часто будем опускать прилагательное «оптимальное», так как теория управления в устаревшем смысле этого слова нас вообще не интересует. Другими словами нас будут интересовать собственно научные основы теории управления, а не инженерные методы автоматики ….»

В этой связи необходимо остановиться на роли математики в науке об управлении. Фундаментальную роль математики в естественных и

93В этой связи приведем цитату из работы: Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики: пер. с англ. / Р. Голдблатт. - М.: Мир, 1983. – С.12. (Goldblatt, R. TOPOI. The categorial analysis of logic / R. Goldblatt. – North-Holland Publishing Company, 1979)

«… областям математики (таким, как абстрактная алгебра, аксиоматическая геометрия ...) понадобилось много времени, чтобы стать самостоятельными разделами умственного творчества, равно как живописи и даже музыке пришлось пройти долгий путь, чтобы преодолеть предметно-изобразительный характер и приобрести субъективные и интеллектуальные черты… При отсутствии внешнего воздействия (представления о вещах «извне») мы не можем так уж просто определить, что здесь ценно и значительно, равно как не всегда способны вынести суждение о многих современных направлениях в искусстве. Поскольку значимым принято считать лишь то, что сохраняет значение лишь длительное время, то, возможно, потребуется долгий период отвеивания, прежде чем мы сможем отделить пшеницу от плевел».

94Калман, Р. Очерки по математической теории систем / Р. Калман, П. Фалб, М.

Арбиб. – М.: Мир, 1971. –C. 82–83.

32

технических науках определил еще Галилей. Он первый указал, что объективное знание должно базироваться на фактах и математической обработке фактов. Факты в естественных и технических науках играют такую же фундаментальную роль как и математика. Это две неотъемлемые стороны объективного знания. При этом математика обеспечивает строгий и точный язык представления фактов, а также строгие и точные правила теоретических выводов на основе фактов. Однако здесь необходимо различать "чисто" математические теории, в которых ставятся задачи

развития математического аппарата исследования, и прикладные теории, в которых ставятся задачи целевых исследований в

соответствующих предметных областях действительности. В

прикладных науках предмет исследования существует объективно вне зависимости от описывающих его теорий. При этом предмет исследования может быть описан на любом языке: естественном, математическом, языке информационных технологий и др. Одному и тому же предмету исследования может соответствовать множество теоретических моделей, различающихся разной степенью детализации и аспектами освещения. Таким образом, в прикладных науках первичным является объективно существующий в действительности предмет исследований, а описывающие его теории являются вторичными. В математических теориях дело обстоит наоборот. В указанных теориях первичной является определенная математическая модель, на базе которой и развивается теория. Собственно говоря, приведенная выше цитата из Калмана свидетельствует именно об этом.

В связи со сказанным следует различать математическую теорию управления и практическую технологию95 управления. Математические теории строятся на основе абстрактных представлений, не всегда отражающих реалии практики. В результате «чисто» математические решения задач управления могут оказаться на практике неэффективными и даже физически нереализуемыми. Подобный отрыв теоретических методов управления от практической технологии самих объектов управления является методически ошибочным. При этом сама технология управления объектом должна развиваться в логическом единстве с технологией объекта управления. Она должна составлять с объектом управления

единый технологический комплекс. Эмпирические факты технологии управления должны быть первичными, математическая обработка фактов вторичной.

95 Слово «технология» имеет два смысловых значения. В соответствии с первым значением под технологией понимается совокупность практических способов построения технических систем определенного класса. В другом смысловом значении - это наука, которая изучает указанные способы.

33

Математическую теорию систем и математическую теорию управления следует рассматривать как области прикладной математики. Абстрактный характер указанных теорий придает им междисциплинарный статус. Поэтому они могут быть использованы в самых разнообразных областях приложений. Однако здесь важно правильно понимать место математических методов в практике управления.

Вэтой связи обратим внимание, что исторически первые технические системы автоматического регулирования конструировались чисто инженерными эвристическими методами. При этом, исходя из техники управления, система регулирования собиралась из отдельных технических устройств. Необходимость в математических исследованиях появилась здесь в связи с решением задачи устойчивости движения. Неустойчивость свидетельствовала о несогласованности в целом частных динамических процессов устройств в рамках всей системы в сборе. Поэтому возникла задача коррекции динамических процессов системы в целом, которая решалась на основе подбора параметров устройств в соответствии с математическими критериями устойчивости. Таким образом, математические расчеты устойчивости системы регулирования здесь представляют собой один из этапов инженерной технологии создания системы.

Вклассической теории управления технология построения систем автоматического управления осталась неизменной. Системы автоматического управления по-прежнему собирались из отдельных устройств в соответствии с определенной технологией управления. Однако коррекция динамических характеристик систем автоматического управления в сборе уже осуществлялась путем расчета частотными методами специальных корректирующих устройств, которые реализовывали в том или ином виде корректирующие математические операции.

Внастоящее время технология построения автоматизированных систем управления в своей основе не изменилась. Разница состоит в том, что в качестве управляющих подсистем стала применяться вычислительная техника, на основе которой можно реализовать весьма сложные алгоритмы управления системами широкого класса. Эти алгоритмы осуществляют законы управления процессами в рамках всей системы управления в целом. В итоге создается иллюзия, что математическая сторона дела является первичной, а предметная сторона – вторичной. Эта иллюзия рассеивается при столкновении с практикой построения автоматизированных систем управления для конкретных объектов. Технические условия при построении автоматизированных систем управления являются, безусловно, первичными. В соответствии с ними и определяются математические расчеты процессов управления в

34

системе. Поэтому приведенная выше цитата Р. Калмана будет справедливой, если математические расчеты абстрактной системы управления рассматривать как один из этапов создания конкретной системы.

Техническая неполнота абстрактно-математической теории оптимального управления ощущалась уже в начальный период ее становления. Преодоление этого недостатка многие авторы видели в учете инженерных критериев в постановках задач оптимального управления96, построении теории управления, учитывающей физические ограничения.

Общие черты теории управления, учитывающей физические ограничения, сформулированы в работе А.А. Красовского97:

« ... под физической теорией будем понимать такую теорию управления, которая базируется на фундаменте физических законов, учете ресурсов и приоритетах реального мира ... Отличие физической теории управления от абстрактно математической начинается с математических моделей и критериев систем и процессов управления.

В физической теории модели и критерии создаются в физических (физически значимых, с физическими размерностями) величинах и терминах. Эти модели должны учитывать законы сохранения, другие законы природы и технологии. В абстрактно-математических моделях учет многих ограничений, факторов и закономерностей, как правило,

	отсутствует.	Физическая	теория
	строится так,	чтобы заложенные в		Красовский, Александр Аркадьевич (р.
	математических моделях и критериях
				1921), известный ученый, академик
	реальные факторы и ограничения			РАН (1992), Герой Соц. Труда (1981),
	фигурировали	в	конечных	генерал-майор авиации (1963). Труды
	результатах,	определяя	границы	по	теории		автоматического
				регулирования		и	системам
	возможного	и невозможного в		автоматического			управления.
	управлении».			Государственная премия СССР (1976).

96См., например: Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления (для инженеров): пер. с англ. / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. - М.: Наука, 1970. – С. 585-589.

Александров, А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. - М.: Машиностроение, 1986.

Красовский, А.А. Неклассические целевые функционалы и проблемы теории оптимального управления (Обзор) / А.А. Красовский // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. – 1992. – №1.

97Красовский, А.А. Проблемы физической теории управления / А.А. Красовский

//Автоматика и телемеханика. – 1990. – № 11.

35

_____________________________

Оценивая роль оптимального управления в технологии автоматизированных систем управления, необходимо обратить внимание, что классическая теория управления исходит из традиционной схемы проектирования технических систем, когда принятие проектных решений осуществляется в два этапа: этап качественных содержательных решений,

основанный на инженерных эвристиках98, и этап формальных количественных расчетов на основе прикладных математических методов. Исходным пунктом проектирования является постановка технических условий, которым должна удовлетворять проектируемая система. Оптимальность проектируемой системы представляет собой дополнительное условие, которое желательно выполнить. С этой целью формулируются инженерные критерии оптимальности, например, минимум потребления определенных ресурсов и (или) достижение определенных максимальных функциональных эффектов.

Теория оптимального управления ставит своей целью решение задачи оптимального проектирования систем управления на основе формальных математических методов. Однако прямая постановка реальных задач оптимального проектирования на основе инженерных критериев приводит к сложным нелинейным задачам, которые в общем случае аналитически не решаются. Попытки аналитического решения определенных классов подобных задач фактически представляют собой математические эвристики, основанные на опыте и интуиции, но никак не дедуктивных вычислениях. Дедуктивные вычисления здесь возникают лишь после того, как руководящая идея решения найдена99. Таким путем, безусловно, было найдено и аналитическое решение задачи оптимального управления линейными системами при интегральных квадратичных критериях качества. В итоге была получена известная конструкция регулятора. Однако интегральные квадратичные критерии не отражают в общем случае инженерные критерии. Более того, было показано100, что соответствующим выбором весов квадратичного критерия можно для любой линейной системы указать критерий, по которому она

98 От греч. εΰρηκ ! - я нашел! Восклицание Архимеда при открытии им гидростатического закона, носящего его имя. Эвристика - наука, изучающая логику открытий; а также - конкретный способ, результат открытия.

99 Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа: пер. с англ. - М.: Наука, 1959. Пойа, Д. Математическое открытие / Д. Пойа: пер. с англ. - М.: Наука, 1970.

Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Д. Пойа. – М.: Наука,

1975.

100 Калман, Р.Е. Когда линейная система является оптимальной? / Р.Е. Калман // Труды амер. общ-ва инж-мех. Серия Д, №1. – М.: Мир,1964. – С. 69-84.

36

оптимальна101! Таким образом, само понятие оптимальности здесь фактически исчезает. При этом задача оптимизация переводится уже в иную плоскость – выбора весовых коэффициентов квадратичного критерия из условия оптимизации прямых технических показателей.

Эта задача аналитически не решается, ее решение ищется на основе численных расчетов и моделирования102. В итоге попытки аналитического решения задач оптимального управления приводят снова к классической схеме решения задач проектирования: на первом этапе – инженерные эвристики, на последующих этапах – численные оптимизационные расчеты. В этом нет ничего удивительного, так как технические системы во все времена создавались на основе изобретений, и системы управления здесь не являются исключением.

Далее, математизация теории управления, развитие вычислительной техники поставили вопрос о соотношении аналитических и алгоритмических методов в практике управления. В этой связи процитируем высказывание известного ученого в области автоматического управления Я.З. Цыпкина103:

«После того как проблема оптимальности сформулирована, т.е. после выбора критерия оптимальности, выяснения и установления ограничений … наступает пора решения этой проблемы. И хотя теперь принято говорить, что постановка проблемы составляет от 50 до 80% успеха (в зависимости от темперамента говорящего …), тем не менее, оставшиеся проценты часто настолько емки, что могут лишить нас этого успеха вообще.

Обычные подходы весьма разнообразны и охватывают аналитические и алгоритмические методы. Аналитические методы кажутся на первый взгляд наиболее привлекательными, так как они приводят к явному формульному решению задач, но эта

101В физике этот принцип известен давно, здесь динамика физических объектов может быть эквивалентно описана либо в дифференциальной форме, либо в соответствующей интегральной форме как минимум функционала энергии. См., например, Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. – М.: Наука, 1970. Представляет интерес обратить внимание читателя на название данной книги, в котором указана наука – математическая физика. Данное название представляется естественным, при этом исследователи, работающие в области математической физики, не претендуют на всю физику в целом, и поэтому никаких дискуссий в отличие от математической теории управления эта наука не вызывает.

102См., например: Александров, А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем / А.Г. Александров. - М.: Машиностроение, 1986.

103Цыпкин, Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах / Я.З. Цыпкин. – М.: Наука, 1968. – С. 22-28.

Цыпкин, Яков Залманович (1919-97), известный ученый, академик РАН (1991; академик АН СССР с 1990). Труды по теории импульсных, релейных, адаптивных и обучающихся систем управления.

37

привлекательность достигается весьма дорогой ценой, ценой резкого ограничения возможностей. Эти методы пригодны для решения относительно простых задач, которые часто могут быть сформулированы лишь благодаря далеко идущей идеализации, иногда настолько далекой, что фактически вместо поставленной задачи решается совсем иная ...

Алгоритмические методы не дают явного формульного решения задач, а лишь указывают алгоритм, т. е. последовательность действий, операций, осуществление которых приводит к искомому конкретному решению. Алгоритмические методы в связи с широким применением вычислительных машин приобретают доминирующее значение …

Уравнение оптимальности … в общем случае представляет собой нелинейное уравнение, и надежда получить его решение аналитическим путем отсутствует почти всегда, за исключением множества, как любят говорить математики, … «меры нуль». Правда в случае квадратичных критериев оптимальности и линейных ограничений … нелинейные ограничения превращаются в линейные, и появляется возможность применить … правило Крамера (т.е. решить в явном виде систему линейных уравнений – Л.К.). Применительно к таким линейным задачам множество «меры нуль» превращается в бедствие для читателей специальных технических журналов.

До самого последнего времени теория оптимальности строилась на этом элегантном с математической точки зрения и очень шатком с точки зрения практических задач основании.

Если еще заметить, что линейные аналитические методы могут выдержать испытание лишь при решении сравнительно простых задач малой размерности, то сразу становится очевидной необходимость в развитии и применении алгоритмических … методов, не требующих столь сильных ограничений, которые к тому же не вызываются сутью задачи».

___________________________________

Переходя к практике управления, необходимо, прежде всего, отметить, что литература здесь столь обширна, что бесполезно делать чтолибо большее, чем выбрать одно направление развития и кратко его прокомментировать. В качестве такого направления рассмотрим оптимизацию производственных процессов в промышленности, которая является одной из центральных проблем инженерных исследований.

Оптимизация управления производственными процессами может быть реализована, например, системами автоматической оптимизации,

осуществляющими с помощью экстремальных регуляторов оптимальные управляющие воздействия. При этом оптимальные управляющие

38

воздействия могут определяться как на основе поисковых методов, так и с использованием модельных представлений объектов управления. Так как рассматриваемые процессы оптимизации осуществляются в реальном времени, то соответствующие методы называются также методами динамической оптимизации. Если объект управления имеет ярко выраженные экстремальные характеристики по технико-экономическим показателям, то автоматические системы, задачей которых является достижение экстремума технико-экономических показателей, называются

экстремальными системами управления (регулирования). В общем случае задача оптимизации состоит не только в удержании вблизи экстремума параметров производственных процессов внутри областей их допустимых значений, но и на границах областей.

Постановка задачи экстремального регулирования, как нового направления автоматизации производственных процессов, и сам термин "экстремальное регулирование", были даны В.В. Казакевичем104 в 1944 г. В последующий период 1950-1980 гг. появилось большое количество работ, посвященных исследованию и построению различных типов экстремальных систем при регулярных и случайных возмущениях. Среди

них следует отметить работы А.А. Красовского105, Г.А. Медведева и В.П. Тарасенко106, Л.М. Либерзона и А.Б. Родова107, Б.А. Арефьева108, И.С. Моросанова109, А.Г. Ивахненко110, В.М. Кунцевича111, Ч. Дрейпера и И. Ли112, М. Хамзы113, Р. Перре, Ж. Элена и Р. Рукселя114 и др.

104Казакевич, В.В. Об экстремальном регулировании: диссертация … канд. техн. наук, МВТУ, 1944 / В.В. Казакевич // Автоматическое управление и вычислительная техника. – М.: Машиностроение, 1964. – Вып. 6. –С. 7-53.

105Красовский, А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем / А.А. Красовский - М.: Физматгиз, 1963. - 313 с.

106Медведев, Г.А. Вероятностные методы исследования экстремальных систем / Г.А. Медведев, В.П. Тарасенко. - М.: Наука, 1967. - 456 с.

107Либерзон, Л.М. Системы экстремального регулирования / Л.М. Либерзон А.Б. Родов. - М.: Энергия, 1965. - 158 с.

108Арефьев, Б.А. Оптимизация инерционных процессов / Арефьев Б. А. - Л.: Машиностроение, 1969. - 189 с.

109Моросанов, И.С. Методы экстремального регулирования / И.С. Моросанов // Автоматика и телемеханика. – 1957. – Т. XVIII. – №11. – С. 37-42.

Моросанов, И.С. Релейные экстремальные системы / И.С. Моросанов. - М.: Наука, 1964. – 268 с.

110Ивахненко, А.Г. Техническая кибернетика / А.Г. Ивахненко. - Киев: Гостехиздат УССР, 1963. – 305 с.

111Кунцевич, В.М. Системы экстремального управления / В.М. Кунцевич. - Киев: Гостехиздат УССР, 1961. – 152 с.

112Дрейпер, Ч.С. Принципы автоматической оптимизации / Ч.С. Дрейпер, И.Т. Ли // Автоматическая оптимизация управляемых систем. - М.: Изд-ство иностр. лит., 1960. – С. 5-28.

39

Систематическое изложение вопросов, связанных с системами экстремального управления содержатся в монографиях Л.А. Растригина115, В.В Казакевича и А.Б. Родова116. Из современных авторов следует отметить работу Э.Я. Рапопорта117 .

В более общей постановке проблемы исследованиям систем автоматической оптимизации посвящена обширная литература. Среди фундаментальных отечественных работ в данной области следует указать работы А.А. Фельдбаума118 и Я.З. Цыпкина119. Здесь необходимо также отметить работу А.И. Пропоя и Я.З. Цыпкина120, в которой был сформулирован общий подход к адаптивному синтезу оптимальных систем управления. В работе121 (Пропой, 1963) был описан алгоритм управления с движущимся горизонтом. Этот же принцип управления по интегральному критерию качества с усреднением не на всем интервале времени наблюдения, как принято в классических задачах оптимального управления, а с динамическим усреднением по текущему времени, был приведен в качестве перспективной задачи в работе Я.З. Цыпкина122. Идеи, изложенные в указанных работах, послужили основой разработок современных промышленных контроллеров, реализующих алгоритмы адаптивного и упреждающего управления.

__________________________________

Современные системы управления строятся как автоматизированные комплексы на базе высокопроизводительной вычислительной техники,

113Хамза, М. Синтез систем регулирования с поиском экстремума / М. Хамза // Автоматика и телемеханика. – 1964. – Т. XXV. – № 8. – С. 92-98.

Hamza, M.H. Extremum control of continuous systems/ Hamza M. H. // IEEE Trans., Autom. Control. – 1966. – №2. – Р. 182-189.

114Perret, R. Méthode dynamique d'optimisation / R. Perret, J. Helein, R. Rouxel // Automatisme. – 1964. – Vol. IX. – № 3 et 4.

115Растригин, Л.А. Системы экстремального управления / Л.А. Растригин. - М.: Наука, 1974. – 632 с.

116Казакевич, В.В. Системы автоматической оптимизации / В.В. Казакевич, А.Б. Родов. - М.: Энергия, 1977. – 288 с.

117Рапопорт, Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами / Э.Я. Рапопорт. – М: Высш. шк., 2009. – 677 с.

118Фельдбаум, А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А.А. Фельдбаум. - М.: Наука, 1966.

119Цыпкин, Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах / Я.З. Цыпкин. – М.: Наука, 1968. - 400 с.

120Пропой, А.И. Об адаптивном синтезе оптимальных систем / А.И. Пропой, Я.З. Цыпкин // Доклады АН СССР. – Т. 175. – 1967. – № 6.

121Propoi, A.I. Use of linear programming methods for synthesizing sampled-data automatic systems / A.I. Propoi // Automatic Remote Control. – 1963. –24(7). – P. 837-844.

122Цыпкин, Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах / Я.З. Цыпкин. – М.: Наука, 1968. – С. 232-234.

40