3.4. Вероятность.

В современном математическом подходе классическая (т. е. не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова. Вероятностью называется мера P, которая задаётся на множестве X, называемом вероятностным пространством. Эта мера должна обладать следующими свойствами:

1. P(X) = 1, P(0) = 0.

2. 

3. Мера Pобладает свойствомсчётной аддитивности(сигма-аддитивности): если множестваA₁,A₂, ...,A_n, ... не пересекаются, то

Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности: если множества A₁ и A₂ не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A₃, A₄, ... равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.

Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X. Достаточно определить её на сигма-алгебре Ω, состоящей из некоторых подмножеств множества X. При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X, то есть как элементы сигма-алгебры Ω.

4.

4.1. Геометрическая вероятность.

Что бы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно не применимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности– вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Если обозначить меру (длину, площадь, объем) области через mes, то вероятность попадания точки брошенной наудачу (в указанном выше смысле) в областьg– часть областиG, равна

P=mesg/mesG.

Замечание. В случае классического определения вероятность достоверного события (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно). В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.

5.

5.1. Условные вероятности.

Условной вероятностьюP_A(B) называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило

P_A(B) = P(AB)/P(A) (P(A) > 0).

Произведением двух событийAиBназывают событиеAB, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

5.2. Независимые события и их свойства.

Событие B называют независимым от событияA, если появление событияAне изменяет вероятностиB, т. е. если условная вероятность события B равна его безусловной вероятности:

P_A(B) =P(B).

Справедливо и выражение:

P_B(A) =P(A),

т. е. условная вероятность события A в предположении, что наступило событие B, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события B.

Итак, если событие Bне зависит от событияA, то и событиеAне зависит от событияB; это означает, чтосвойства независимости событий взаимно.

Для не зависимых событий теорема умножения P(AB) =P(A)P_A(B) имеет вид

P(AB) =P(A)P(B),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Выше приведенную формулу умножения независимых событий, также принимают в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называютзависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие» поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Свойство 1. Пусть события A и B – несовместны. Тогда независимы они будут только в том случае, если P(A) = 0 или P(B) = 0.

Свойство 2. Если события A и B независимы, то независимы и события Aи ~B, ~AиB, а также ~Aи ~B.

6.