7.2. Формула Бернулли.
Вероятность одного сложного события,
состоящего в том, что в n испытаниях
событие наступит kраз и
не наступитn–kраз, по теореме умножения вероятностей
независимых событий равнаpkqn-k.
Таких сложных событий может быть столько,
сколько можно составить сочетаний из
n элементов по k элементов, т. е.
.
Так как эти сложные события несовместны,
то по теореме сложения вероятностей
несовместных событий искомая вероятность
равна сумме вероятностей всех возможных
сложных событий. Поскольку же вероятности
всех этих сложных событий одинаковы,
то искомая вероятность (появленияkраз событияAвnиспытания) равна вероятности одного
сложно события, умноженной на их число:
Pn(k)
=
pkqn-k
или
Pn(k)
=
pkqn-k.
Полученную формулу называют формулой Бернулли.
8.
8.1. Случайные величины и функции распределения.
Случайной величинойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной(прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможны значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Непрерывнойназывают случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Законом распределения дискретной случайной величиныназывают соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Для непрерывной же случайной величины, значения которые она может принимать, удобнее задавать в виде функции распределения, при помощи которой также можно будет задать закон распределения дискретной случайной величины.
Функцией распределенияназывают функцию F(X), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение меньшее x, т. е.
F(x) =P(X<x).
8.2. Свойства функции распределения.
Свойство 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0, 1]:
0 <= F(x) <= 1.
Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т. е.
F(x2) >=F(x1), еслиx2>x1.
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: 1) F(x) = 0приx <= a; 2) F(x) = 1,приx >= b.
9.
9.1. Дискретные случайные величины.
Случайной величинойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Дискретной(прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможны значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной случайной величиныназывают соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.