- •Общие методические указания.
- •Указания к выполнению контрольных работ.
- •Указания к решению задач.
- •Программные вопросы Электрическое поле в вакууме.
- •Проводники в электрическом поле. Энергия электрического поля.
- •Постоянный электрический ток.
- •Примеры решения задач.
- •Задачи.
- •Раздел 4. Электромагнетизм.
- •Примеры решения задач.
- •Контрольная работа № 4 электромагнетизм Задачи.
- •Рекомендуемая литература.
Постоянный электрический ток.
20. Сила постоянного тока:
где Q – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.
21. Плотность тока:
где S – площадь поперечного сечения проводника.
Связь плотности тока со средней скоростью направленного движения заряженных частиц:
где Q – заряд частицы; n – концентрация заряженных частиц.
22. Закон Ома:
для участка цепи, не содержащего ЭДС, где1‑2= U разность потенциалов (напряжение) на концах участка цепи; R – сопротивление участка;
для участка цепи, содержащего ЭДС, где– ЭДС источника тока; R – полное сопротивление участка (сумма внешних и внутренних сопротивлений);
для замкнутой (полной) цепи, где R – внешнее сопротивление цепи; Ri– внутреннее сопротивление цепи.
23. Сопротивление R и проводимость G проводника:
где – удельное сопротивление;– удельная проводимость;l– длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.
24. Сопротивление системы проводников:
при последовательном соединении;
при параллельном соединении, где Ri – сопротивление i-го проводника.
25. Работа тока:
A = IUt, A = I2Rt, .
Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две – для участка, не содержащего ЭДС.
26. Мощность тока:
P = IU, P = I2R, P = U2/R.
27. Закон Джоуля-Ленца:
Q = I2Rt.
В случае переменного тока:
28. Закон Ома в дифференциальной форме:
где – удельная проводимость;– напряженность электрического поля;– плотность тока.
29. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
где w – удельная тепловая мощность электрического тока.
Примеры решения задач.
Пример 1. Два точечных заряда 9Q и –Q закреплены на расстоянииl= 50 см друг от друга. Третий заряд Q1, может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Q1, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Q1равновесие будет устойчивым?
Решение. Заряд Q1находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд Q1должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков I, II, III (рис. 6) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q1– положительный.
Рис. 6
На участке I (рис. 6а) на заряд Q1будут действовать две противоположно направленные силы: F1и F2. Сила F1, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы F2, действующей со стороны заряда –Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Q1, чем меньший (по модулю) заряд - Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.
На участке II (рис. 6б) обе силы F1, и F2направлены в одну сторону – к заряду –Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.
На участке III (рис. 6в) силы F1, и F2направлены в противоположные стороны, так же как и на участке I, но, в отличие от него, меньший заряд –Q всегда находится ближе к заряду Q1, чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы F1, и F2будут одинаковы по модулю, т. е.
(1)
Пусть x и l+ x – расстояния от меньшего и большего зарядов до заряда Q1. Выражая в равенстве (1) F1и F2в соответствии с законом Кулона, получим :
9QQ1/(l+ х)2= Q Q1/x2, илиl+ х = ± 3х,
откуда:
Корень x2не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F1и F2хотя и равны по модулю, но сонаправлены). Определим знак заряда Q1, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смешении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. Рассмотрим смещение заряда Q1в двух случаях: когда заряд положителен и когда отрицателен.
Если заряд Q1положителен, то при смещении его влево обе силы F1и F2возрастают. Так как сила F1возрастает медленнее, то результирующая сила, действующая на заряд Q1, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q1будет удаляться от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1вправо. Сила F2убывает быстрее, чем F1. Геометрическая сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда, равновесие является неустойчивым.
Если заряд Q1отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F1и F2, но сила F1возрастает медленнее, чем F2, т. е. |F2| > |F1|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Qlвозвращается к положению равновесия. При смещении Q1вправо сила F2убывает быстрее, чем F1, т. е. |F1|>|F2|, результирующая сила направлена влево и заряд Q1опять будет возвращаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие является устойчивым. Величина самого заряда Q1несущественна.
Пример 2.Три точечных заряда Q1= Q2= Q3= 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?
Рис. 7
Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q1, находился в равновесии. Заряд Q1будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 7):
(1)
где – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q1заряды Q2, Q3, Q4;– равнодействующая сил.
Так как силы направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F – F4 = 0, откуда F4 = F. Выразив в последнем равенстве F через F2и F3и учитывая, что F3=F2, получим:
(2)
Применив закон Кулона и имея в виду, что Q1= Q2= Q3, найдем:
(3)
откуда:
(4)
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что:
(5)
С учетом этого формула (4) примет вид:
Произведем вычисления:
Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 3. Два одинаковых заряженных маленьких шарика, подвешенных на тонких нитях одинаковой длины, находятся в керосине. Какова должна быть плотностьш шариков, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же ?
Плотность керосина к = 0.8103кг/м3; относительная диэлектрическая проницаемость= 2.
Рис. 8
Решение. Рассмотрим взаимодействие между двумя шариками в воздухе. Система шариков симметрична, поэтому достаточно рассмотреть силы, действующие на один из шариков. На шарик действует сила тяжести, сила Кулонаи сила натяжения нити. Так как шарик находится в равновесии, то:
(1)
Проектируя все векторы на оси X и Y, получим соответственно:
F – Tsin = 0. (2)
mg – Tcos = 0. (3)
Исключая T из этих выражений получим:
(4)
Рассмотрим взаимодействие между двумя шариками в керосине. На шарик в керосине будет действовать дополнительно сила Архимеда, поэтому
(5)
где выталкивающая сила Архимеда:
(Vш– объем шарика). (6)
Следовательно,
(7)
Учитывая, что tg = tgкполучим:
(8)
Откуда:
(9)
Так как:
(10)
т.е.
Пример 4. На тонком стержне длинной 20 см находится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии a = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q1= 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с силой F = 6 мкН. Определить линейную плотностьзаряда на стержне.
Рис. 9
Решение. Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q1зависит от линейной плотностизаряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применять нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне (см. рис. 9) малый участок dr с зарядом dQ =dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда согласно закону Кулона:
(1)
Интегрируя это выражение в пределах от a до a + l, получаем:
(2)
откуда:
(3)
Произведем вычисления:
Пример 5. Электростатическое поле создается бесконечно длинным цилиндром радиусом R=7мм, равномерно заряженным с линейной плотностью= 15 нКл/м. Определить: 1) напряженность поля E в точках, лежащих от оси цилиндра на расстояниях r1= 5 мм и r2= 1 см; 2) разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии r3= 1 см и r4= 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.
Рис. 10
Решение. Воспользуемся теоремой Гаусса:
(1)
взяв в качестве вспомогательной замкнутой поверхности коаксиальный цилиндр радиусом r и высотой l(рис. 10).
Так как r1< R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не имеет, поэтому в этой области= 0.
Рассмотрим случай r2> R. Поток векторасквозь торцы коаксиального цилиндра равен 0, т.к. торцы параллельны линиям напряженности. Сквозь боковую поверхностьE = 2r2 lE2. По теореме Гаусса:
(2)
Так как = –grad, то данная формула для поля с осевой симметрией запишется в виде:
(3)
Подставив сюда выражение для напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром, получим:
(4)
Проинтегрировав это выражение, найдем искомую разность потенциалов:
(5)
Вычисляя получаем:
Пример 6.Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью1=2106 м/с, чтобы его скорость возросла в n = 3 раза.
Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, применяя закон сохранения энергии. В данном случае работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии электрона:
(1)
где Т1и Т2– кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля.
С другой стороны:
A=e U, (2)
где e – заряд электрона, U – разность потенциалов.
Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим:
(3)
где отсюда искомая разность потенциалов:
(4)
Производим вычисления:
Пример 7.Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено двумя слоями диэлектриков: стекла толщиной d1= 0.1 см и слоя парафина толщиной d2= 0.2 см. Разность потенциалов между обкладками U = 200 В. Определить падение потенциала в каждом из слоев и напряженность поля в каждом слое диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость стекла1= 6, парафина2= 2.
Рис. 11
Решение. Рассмотрим конденсатор емкостью С как систему двух конденсаторов С1и С2, соединенных последовательно. Для последовательно соединенных конденсаторов общая емкость:
Заряд Q1 на первом конденсаторе равен заряду Q2и равен общему заряду Q. Q1= Q2= Q, из этого следует, что:
C1U1=C2U2=CU. (1)
Подставляя значение общей емкости конденсатора, получим:
(2)
Емкость плоского конденсатора:
(3)
где S – площадь пластин, d – расстояние между пластинами.
Из равенства (2) с учетом (3) следует, что:
Напряженность поля:
Пример 8. Батарея элементов, замкнутая на сопротивление R1 =2 Ом дает силу тока I1 = 1.6 А. Та же батарея, замкнутая на сопротивление R2 = 10 Ом, дает силу тока I2= 2 А. Найти потери мощности P внутри батареи элементов и КПД батареив обоих случаях.
Решение.Для нахождения потери мощности P внутри батареи элементов необходимо знать внутреннее сопротивление батареи r, т.к. P = I2r, а для определения КПД батареи в первом и во втором случае необходимо знать(ЭДС) батареи. Для нахождения этих величин используем закон Ома для полной цепи.
В первом случае: (1)
Решая совместно эти два равенства, получим:
(2)
Мощность, которая теряется внутри источника в первом случае:
(3)
Потери мощности во втором случае:
(4)
КПД элемента:
В первом случае:
Во втором случае:
Произведя вычисления, получим: P1= 7,68 Вт; P2= 12 Вт;1= 40%;2= 25%.
Контрольная работа № 3
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Таблица вариантов.
Варианты |
Номера задач | |||||||
0 |
310 |
320 |
330 |
340 |
350 |
360 |
370 |
380 |
1 |
301 |
311 |
321 |
331 |
341 |
351 |
361 |
371 |
2 |
302 |
312 |
322 |
332 |
342 |
352 |
362 |
372 |
3 |
303 |
313 |
323 |
333 |
343 |
353 |
363 |
373 |
4 |
304 |
314 |
324 |
334 |
344 |
354 |
364 |
374 |
5 |
305 |
315 |
325 |
3 3 5 |
3 4 5 |
355 |
365 |
375 |
6 |
306 |
316 |
326 |
336 |
346 |
356 |
366 |
376 |
7 |
307 |
317 |
327 |
337 |
347 |
357 |
367 |
377 |
8 |
308 |
318 |
328 |
338 |
348 |
358 |
368 |
378 |
9 |
309 |
319 |
329 |
339 |
349 |
359 |
369 |
379 |