- •Часть 1
- •Глава 1
- •§1 Понятие множества. Операции над множествами.
- •§ 2 Арифметическое векторное пространство.
- •§ 3 Системы векторов в r.
- •Глава 2 Матрицы
- •§1 Действия с матрицами.
- •§2 Квадратные матрицы.
- •Эти условия могут быть переписаны в виде
- •§3. Определители.
- •Глава 3 Системы линейных уравнений
- •§1. Системы линейных уравнений. Крамеровские системы.
- •§ 2. Общие свойства систем линейных уравнений.
Часть 1
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
Глава 1
Линейные арифметические пространства
§1 Понятие множества. Операции над множествами.
О с н о в н ы е о п р е д е л е н и я. Понятие множества настолько общее, что трудно дать ему какое-либо определение, которое не сводилось бы просто к замене слова “множество” его синонимами: совокупность, собрание элементов и т.п. Не ставя своей задачей сколько-нибудь полное изложение теории множеств, мы здесь лишь введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия, используемые в дальнейшем.
Множества мы будем обозначать прописными буквами А, В, . . . , а их элементы - малыми x, y, . . . Утверждение “элемент x принадлежит множеству А” символически записывается так: xA ; запись xA означает, что элемент не принадлежит А. Множество, как совокупность элементов, удовлетворяющих свойству Р, будем записывать в виде
A={ x: x удовлетворяет Р}.
П р и м е р. Пусть Z- множество целых чисел. Тогда, А={ x : x=2k , k Z}- множество четных чисел.
Мы будем говорить , что множество А есть подмножество множества B, и писать АВ (или ВА), если каждый элемент множества А является элементом множества В.
Если АВ и ВА, то мы будем писать А=В.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Пустое множество служит подмножеством любого множества.
О п е р а ц и и н а д м н о ж е с т в а м и. Пусть А и В - произвольные множества; их суммой, или объединением С=А В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В.
А
В
Рис. 1
Аналогично определяется сумма любого конечного числа множеств: если А(k=1, . . . , n) -произвольные множества, то их суммаАесть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А.
Назовем пересечением ( или произведением ) С=А В множеств А и В множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.
А В
Рис. 2
Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, будет множество всех чисел, делящихся на шесть. Пересечением любого конечного числа множеств Аназывается совокупностьАk элементов, принадлежащих каждому из множеств А.
Назовем разностью С=А\ В множеств А и В совокупность тех элементов из А, которые не содержатся в В.
Т е о р е м а . Операции сложения и пересечения коммутативны и ассоциативны, т.е.
А В = В А, (А В ) С = А(В С),
А В = В А, (А В) С = А (В С).
Кроме того, выполняется закон дистрибутивности
А (В С) = (А В) (А С).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнение первых двух законов очевидно. Докажем дистрибутивность. Допустим, что xА(ВС). Тогда, xА и xВС, т.е. xВ или xС (или и то и другое). Значит, xАВ или xАС, так что x(АВ)(АС). Таким образом,
(А В) С (А В) (А С).
Предположим теперь, что x(АВ)(АС). Тогда xАВ или xАС. Таким образом, xА и xВС. Значит, xА(ВС), так что
(А В) (А С) (А В) С.
Следовательно А (В С) = (А В) (А С).