Расчет показателей малой выборочной совокупности.

1. Средняя арифметическая величина:

а) по ряду х:

б) по ряду y:

2. Среднеквадратическое отклонение:

а) по ряду х:

б) по ряду у:

Обращаем ваше внимание, что в качестве N используется количество вариант малой выборочной совокупности.

3. Коэффициент изменчивости по ряду х:

по ряду у:

4. Основные ошибки средних величин:

;

Практическая работа. Расчет характеристик связи между показателями

1. Коэффициент корреляции:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Положительные значения коэффициента корреляции указывают на прямую связь между показателями, отрицательные – на обратную связь. Нулевое значение коэффициента корреляции свидетельствует об отсутствии связи. Коэффициент корреляции равный 1 (или -1) свидетельствует о функциональной связи.

В нашем случае мы можем говорить о наличии тесной прямой связи между исследуемыми показателями.

2. Основная ошибка коэффициента корреляции:

3. Среднеквадратическое отклонение от линии регрессии:

4. Коэффициент изменчивости вдоль линии регрессии:

5. Выборочная стандартная ошибка:

6. Точность опыта по ряду у в корреляции:

Получение уравнения регрессии по данным взаимосвязи

На базе расчетов для установления показателей связи можно вывести уравнение, характеризующее взаимозависимость признаков. Оно имеет вид:

, где а и b – коэффициенты, вычисляемые для конкретного ряда распределения.

1. Расчет коэффициента регрессии b:

4. Расчет коэффициента а:

Для расчета коэффициента а мы преобразуем общую форму уравнения и затем подставим вместо значений переменных соответствующие среднеарифметические значения:

Отсюда конкретное уравнение регрессии будет иметь вид:

3. Основная ошибка коэффициента регрессии:

4. Критерий достоверности коэффициента регрессии:

Графическое отражение взаимосвязи

Взаимосвязь между двумя показателями может быть отражена и графически. При этом в качестве значений абсцисс и ординат используются значения исследуемых показателей.

Поскольку причинно-следственная зависимость между показателями нами не устанавливается, за независимый принимается показатель, более удобный для измерения в натуре.

При выполнении работы нами принято, что по оси абсцисс мы будем откладывать значения х, а по оси ординат – значения у. При этом мы используем малую выборочную совокупность.

График зависимости у от х

Рис. 3

По форме графика мы можем сделать ряд выводов:

- поскольку степень рассеивания точек от линии регрессии невысока, коэффициент корреляции будет близок к 1 а связь является тесной;

- поскольку при увеличении значений х, значения у также увеличиваются, зависимость прямая и коэффициент корреляции будет положительным;

Лабораторная работа. Корреляция большой выборочной совокупности

Показатели корреляции большой выборочной совокупности рассчитываются с использованием группировки по классовым интервалам. Но группировка выполняется одновременно по двум показателям – в двухмерной таблице, вертикаль которой представляет собой классы по ряду у, а горизонталь – классы по ряду х.

Классы по ряду х у нас уже сформированы (см. группировка выборочной совокупности). Необходимо сформировать классы по ряду у. Делается это по тем же правилам, что и для ряда х: сначала определяется оптимальное количество и размер класса (количество классов может отличаться от ряда х), затем определяются границы и средние значения классов.

Наибольшее		0,0463	+0,0001		0,0464
Наименьшее		0,0066	-0,0002		0,0064
Амплитуда		0,0397	8		9		10
			0,00496		0,00441		0,00397
		~	0,0050		0,0045		0,0040
Искусственное расширение
8	0,0050	0,0003
9	0,0045	0,0008
10	0,0040	0,0003

На основании расчетов мы выделяем в ряде у 8 классов с размером класса 0,0050.

Группировка данных выполняется в виде таблицы распределения вариант. Строки в этой таблице соответствуют классам по ряду у, а столбцы – классам по ряду х. Каждое дерево (для которых измерены исследуемые показатели) проверяется на принадлежность к классам по каждому из показателей. На основании этого определяется строка и столбец, к которым относятся показатели дерева и на их пересечении ставится точка.

Таблица 12

Таблица распределения вариант

		от	9,1		10,9		12,6		14,3		16		17,7		19,4		21,1		22,8		ny		px		хфакт
		до	10,8		12,5		14,2		15,9		17,6		19,3		21		22,7		24,4
от	до	хср уср	9,95		11,65		13,35		15,05		16,75		18,45		20,15		21,85		23,55
0,0064	0,0114	0,0089	6		14																20		222,8		11,14
0,0115	0,0164	0,0139			4		22		4												30		400,5		13,35
0,0165	0,0214	0,0189							27		7										34		523,6		15,4
0,0215	0,0264	0,0239									18		7								25		430,65		17,226
0,0265	0,0314	0,0289											13		8						21		401,05		19,09762
0,0315	0,0364	0,0339													9		3				12		246,9		20,575
0,0365	0,0414	0,0389															. 1				1		21,85		21,85
0,0415	0,0464	0,0439																	3		3		70,65		23,55
nx				6		18		22		31		25		20		17		4		3		146
py				0,0534		0,1802		0,3058		0,5659		0,5625		0,543		0,5363		0,1406		0,1317
уфакт				0,0089		0,0100		0,0139		0,0182		0,0225		0,0271		0,0315		0,0351		0,0439

В качестве проверки правильности выполнения группировки можно использовать данные по частотам ряда х. Они должны точно соответствовать строке n_x таблицы распределения. При обнаружении несоответствия нужно найти и исправить ошибку, которая содержится либо в таблице распределения, либо в таблице группировки данных по ряду х. В последнем случае необходимо выполнить перерасчет всех связанных с таблицей данных параметров.

Строка py и столбец px представляют собой последовательное суммирование по столбцам и по строкам соответственно произведений данных группировки на среднее значение класса.

у_факт и х_факт рассчитываются по формулам:

;

Для расчета характеристик связи большой выборочной совокупности необходимо построение корреляционной таблицы. В ней используются результаты группировки данных по двум показателям.

Для вычисления показателей рядов и взаимосвязи используются начальные отклонения а по ряду х и b по ряду у (методика расчета приведена в разделе «Вычисление начальных моментов по способу произведений»).

Строка na (столбец nb) представляет собой произведение частоты соответствующего класса на начальное отклонение по этому классу.

Строка pb  (столбец pа) получен путем суммирования произведений частот, указанных в клетках таблицы на начальные отклонения, соответствующие этим клеткам.

Корреляционная таблица обладает несколькими проверочными суммами. Они показаны стрелками и должны совпадать.

Для расчета показателей мы должны получить начальные моменты.

Таблица 13

Корреляционная таблица

	xср	9,95	11,65	13,35	15,05	16,75	18,45	20,15	21,85	23,55	ny	nb	nb^2	pa	bpa
уср	a b	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
0,0089	-2	6	14								20	-40	80	-46	92
0,0139	-1		4	22	4						30	-30	30	-30	30
0,0189	0				27	7					34	0	0	7	0
0,0239	1					18	7				25	25	25	32	32
0,0289	2						13	8			21	42	84	50	100
0,0339	3							9	3		12	36	108	39	117
0,0389	4								1		1	4	16	4	16
0,0439	5									3	3	15	75	15	75
nx		6	18	22	31	25	20	17	4	3	146	52	418	71	462
na		-18	-36	-22	0	25	40	51	16	15	71
na^2		54	72	22	0	25	80	153	64	75	545
pb		-12	-32	-22	-4	18	33	43	13	15	52
apb		36	64	22	0	18	66	129	52	75	462
(pb)^2		144	1024	484	16	324	1089	1849	169	225
(pb)^2/nx		24,000	56,888	22,000	0,516	12,960	54,450	108,764	42,250	75,000	396,829